¡Descarga Combinatoria de números naturales y más Apuntes en PDF de Álgebra solo en Docsity!
Combinatoria
Susana Puddu
Ejemplo 1. Dados dos conjuntos A y B, donde A tiene k elementos y B tiene m ele- mentos, queremos determinar cu´antos elementos tiene A × B. Recordemos que A × B es el conjunto de pares ordenados cuya primera coordenada es un elemento de A y cuya segunda coordenada es un elemento de B. Entonces, la primera coordenada puede tomar k valores y, para cada uno de ellos, la segunda coordenada puede tomar m valores: si A = {a 1 , a 2 ,... , ak} y B = {b 1 , b 2 ,... , bm} entonces hay m pares con primera coordenada a 1 , que son (a 1 , b 1 ), (a 1 , b 2 ),... , (a 1 , bm), hay m pares con primera coordenada a 2 , que son (a 2 , b 1 ), (a 2 , b 2 ),... , (a 2 , bm),.. ., hay m pares con primera coordenada ak, que son (ak, b 1 ), (ak, b 2 ),... , (ak, bm). Por lo tanto, A×B tiene m ︸ + m +︷︷ · · · + m︸ k sumandos
= k.m elementos.
Si A es un conjunto finito denotaremos por #A a la cantidad de elementos que tiene A.
Ejemplo 2. Dados los conjuntos A 1 , A 2 ,... , An, donde #Ai = ki (1 ≤ i ≤ n), ¿cu´antos elementos tiene A 1 × A 2 ×... An? Como A 1 tiene k 1 elementos y A 2 tiene k 2 elementos entonces, por lo visto en el ejemplo 1. resulta que A 1 × A 2 tiene k 1 .k 2 elementos. Como A 1 × A 2 tiene k 1 .k 2 elementos y A 3 tiene k 3 elementos entonces A 1 × A 2 × A 3 tiene k 1 .k 2 .k 3 elementos. En general, A 1 × A 2 ×... An tiene k 1 .k 2.... .kn elementos.
Ejemplo 3. i) Si A es un conjunto de n elementos y B es un conjunto de k elementos, ¿cu´antas funciones de A en B se pueden definir? Si A = {a 1 , a 2 ,... , an} entonces cada funci´on ϕ : A −→ B queda determinada por los valores que toma en a 1 ,... , an, es decir, ϕ queda determinada por la n-upla
(ϕ(a 1 ), ϕ(a 2 ),... , ϕ(an)) ∈ B × B ×... × B
Luego, pueden definirse tantas funciones de A en B como elementos haya en B ︸ ×.. .︷︷ × B︸
n factores
Luego, la cantidad de funciones es
#B ×... × #B ︸ ︷︷ ︸ n factores
= k ︸ ×.. .︷︷ × k︸ n factores
= kn
ii) ¿De cu´antas maneras se pueden ubicar n bolitas numeradas en k cajas numeradas? Notemos que esto es lo mismo que determinar cu´antas funciones hay de A = { 1 , 2 ,... , n} en B = { 1 , 2 ,... , k} ya que cada ubicaci´on de las bolitas en las cajas puede verse como la funci´on definida por f (i) = n´umero de caja donde est´a ubicada la bolita i. Luego, hay kn maneras de ubicar las bolitas.
Ejemplo 4. i) Si A es un conjunto de n elementos y B es un conjunto de m elementos, ¿cu´antas funciones inyectivas de A en B se pueden definir? Es claro que si n > m entonces no se puede definir ninguna funci´on inyectiva de A en B. Por lo tanto supondremos que n ≤ m. Si A = {a 1 , a 2 ,... , an}, las funciones inyectivas ϕ : A −→ B quedan determinadas por las n-uplas (ϕ(a 1 ), ϕ(a 2 ),... , ϕ(an)) ∈ B × B ×... × B que tienen todas sus coordenadas distintas. Como la primera coordenada puede tomar m valores, la segunda puede tomar m−1 valores, la tercera m − 2, etc. y hay n coordenadas, entonces la cantidad de funciones inyectivas es
m(m − 1)(m − 2)... (m − (n − 1)) = m(m − 1)(m − 2)... (m − n + 1) = m! (m − n)!
ii) Sea n ≤ m. ¿De cu´antas maneras se pueden ubicar n bolitas numeradas en m cajas numeradas de manera que haya a lo sumo una bolita por caja? Esto es lo mismo que determinar cu´antas funciones inyectivas hay de A = { 1 , 2 ,... , n} en B = { 1 , 2 ,... , k} ya que cada ubicaci´on de las bolitas en las cajas puede verse como la funci´on definida por f (i) = n´umero de caja donde est´a ubicada la bolita i y que en cada caja haya a lo sumo una bolita significa que f (i) 6 = f (j) para todo i 6 = j, es decir, que f sea inyectiva. Luego, hay (^) (mm−!n)! maneras de ubicar las bolitas.
Ejemplo 5. Si A y B son conjuntos finitos, #(A ∪ B) = #A + #B − #(A ∩ B). Luego, si A y B son disjuntos entonces #(A ∪ B) = #A + #B
Ejercicio. Probar por inducci´on que si A 1 , A 2 ,... An son conjuntos finitos disjuntos dos a
dos, es decir, tales que Ai∩Aj = ∅ para todo i 6 = j, entonces #(A 1 ∪A 2 ∪.. .∪An) =
∑^ n
i=
#Ai
Ejemplo 6. ¿Cu´antas funciones ϕ : { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } −→ { 1 , 2 , 3 ,... , 11 } hay que verifiquen
i) ϕ(2) = 10 y ϕ(3) = 1? ii) ϕ(2) = ϕ(6)? iii) ϕ(3) > ϕ(2)? iv) ϕ es inyectiva, ϕ(2) = 10 y ϕ(3) = 1?
i) Las funciones ϕ : { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } −→ { 1 , 2 , 3 ,... , 11 } tales que ϕ(2) = 10 y ϕ(3) = 1 quedan determinadas por las 6-uplas de la forma (ϕ(1), 10 , 1 , ϕ(4), ϕ(5), ϕ(6)). Como la primera coordenada puede tomar 11 valores, la segunda 1 valor, la tercera 1, la cuarta 11, la quinta 11 y la sexta 11 entonces hay en total 11^4 funciones que satisfacen lo pedido.
ii) Ahora las cinco primeras coordenadas pueden tomar 11 valores y la ´ultima uno solo (el valor que tiene ϕ(2)). Luego hay 11^5 funciones que satisfacen ϕ(2) = ϕ(6).
iii) Sea U = {ϕ : { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } −→ { 1 , 2 , 3 ,... , 11 } / ϕ(3) > ϕ(2)}. Queremos determinar #U. Haremos esto de dos maneras distintas.
iv) Las funciones ϕ : { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } −→ { 1 , 2 , 3 ,... , 11 } tales que ϕ es inyectiva, ϕ(2) = 10 y ϕ(3) = 1 quedan determinadas por las 6-uplas de la forma (ϕ(1), 10 , 1 , ϕ(4), ϕ(5), ϕ(6)) que tienen todas sus coordenadas distintas. La primera coordenada puede tomar 11−2 = 9 valores (cualquiera de los n´umeros entre 1 y 11 menos 10 y 1). Ahora, la cuarta coordenada puede tomar 8 valores (cualquiera menos 10, 1 y el valor que tiene la primera coordenada), la quinta puede tomar 7 valores y la sexta 6. Luego, hay 9. 8. 7 .6 funciones que satisfacen lo pedido. Otra manera de calcular esto es notar que es lo mismo que determinar la cantidad de funciones inyectivas ϕ : { 1 , 4 , 5 , 6 } −→ { 2 , 3 ,... , 9 , 11 }, es decir, la cantidad de funciones inyectivas de un conjunto de 4 elementos en un conjunto de 9 elementos, que es
9! (9 − 4)!
Ejemplo 7. Sea A un conjunto de n elementos. ¿Cuantas funciones biyectivas f : A −→ A se pueden definir? Si A = {a 1 , a 2 ,... , an}, entonces f (a 1 ) puede tomar n valores, f (a 2 ) puede tomar n − 1 valores (cualquiera de los n elementos de A menos el valor que tom´o f (a 1 )), f (a 3 ) puede tomar n − 2 valores,.. ., f (an− 1 ) puede tomar 2 valores y f (an) s´olo uno. Luego, hay n(n − 1)(n − 2)... 2 .1 = n! funciones biyectivas de A en A.
Si A es un conjunto de n elementos llamaremos permutaciones a las funciones biyectivas de A en A.
Ejemplo 8. ¿De cu´antas maneras podemos ubicar 17 personas en 25 asientos numerados? La primera persona se puede ubicar en cualquiera de los 25 asientos, la segunda en 24, la tercera en 23, etc, la ´ultima en 9. Luego, la cantidad de maneras es 25. 24.... 10 .9. Otra forma de ver esto es pensar que cada asignaci´on de los asientos a las personas es una funci´on del conjunto de personas en el conjunto de asientos (ϕ(k) es el n´umero de asiento que le asignamos a la persona k) y que esta funci´on debe ser inyectiva pues cada asiento debe ser asignado a una sola persona. Luego, la cantidad de maneras es
25! (25 − 17)!
Ejemplo 9. ¿Cu´antos n´umeros de cuatro cifras se pueden formar con los d´ıgitos 1,2,4,6,9? Cada una de las cuatro cifras puede tomar 5 valores. Luego, hay 5^4 n´umeros.
Ejemplo 10. ¿Cu´antos n´umeros se pueden obtener permutando los d´ıgitos del n´umero 53871? La diferencia con el ejemplo anterior es que en este caso las cifras son cinco y no se pueden repetir. Ahora la primera cifra puede tomar 5 valores, la segunda 4, la tercera 3, la cuarta 2 y la quinta 1. Hay entonces 5! n´umeros.
Ejemplo 11. ¿De cu´antas maneras podemos elegir k asientos de un conjunto n asientos numerados (0 ≤ k ≤ n)?
Supongamos que la respuesta sea x. Calcularemos cu´anto vale x resolviendo de dos maneras distintas el problema: ¿De cu´antas maneras podemos ubicar k personas en n asientos numerados (0 ≤ k ≤ n)?
Por un lado, procediendo como en el ejemplo 8., llegamos a la conclusi´on de que la respuesta es (^) (nn−!k)!. Pero por otro lado, para ubicar k personas en n asientos numerados basta elegir k de los n asientos y, para cada una de esas elecciones, ubicar las k personas en los k asientos elegidos. Luego, la respuesta es x. (^) (k−k!k)! = x.k!
Por lo tanto resulta que (^) (nn−!k)! = x.k! de donde obtenemos que
x = n! k!.(n − k)!
n k
Conclusi´on: La cantidad de maneras en que podemos elegir k objetos de un conjunto de n objetos es
(n k
, es decir, un conjunto de n elementos tiene
(n k
subconjuntos de k elementos.
Ejemplo 12. ¿Cu´antos subconjuntos tiene un conjunto de n elementos? Por lo anterior, un conjunto de n elementos tiene
(n 0
(n 1
(n 2
( (^) n n− 1
(n n
subconjuntos (los subconjuntos de 0 elementos, los de 1 elemento, los de dos elementos, etc.). Calculemos esto de otra manera. Si A = {a 1 , a 2 , a 3 } determinemos todos los sub- conjuntos de A usando las 3-uplas de ceros y unos: si la primera coordenada es 0 entonces el subconjunto no contiene a a 1 y si es 1 entonces s´ı continene a a 1 , y lo mismo para las otras dos coordenadas (0, 0 , 0) ←→ ∅ (1, 0 , 0) ←→ {a 1 } (0, 1 , 0) ←→ {a 2 } (0, 0 , 1) ←→ {a 3 } (1, 1 , 0) ←→ {a 1 , a 2 } (1, 0 , 1) ←→ {a 1 , a 3 } (0, 1 , 1) ←→ {a 2 , a 3 } (1, 1 , 1) ←→ {a 1 , a 2 , a 3 }
Luego, hay tantos subconjuntos de A como 3-uplas de ceros y unos. Como cada coordenada puede tomar 2 valores y hay 3 coordenadas, entonces A tiene 2^3 subconjuntos. En general, un conjunto de n elementos tiene 2n^ subconjuntos. Por lo tanto,
∑^ n
k=
n k
= 2n
iii) Dado un conjunto de 15 diplom´aticos, queremos seleccionar uno para enviar a Austria, dos para enviar a Brasil, dos para Colombia, dos para Dinamarca, dos para EEUU, tres para Finlandia y tres para Grecia. ¿De cu´antas maneras podemos hacer esto?
De los 15 diplom´aticos debemos elegir uno para Austria, de los 14 restantes dos para Brasil, de los 12 que quedan dos para Colombia, de los 10 restantes dos para Dinamarca, de los 8 que quedan dos para EEUU, de los 6 restantes 3 para Finlandia y los tres que quedan ir´an a Grecia. Luego, la cantidad de maneras en que podemos hacer esto es
( 15 1
Notar que esto es lo mismo que determinar la cantidad de anagramas que se pueden formar con las letras de de ABBCCDDEEFFFGGG
Ejemplo 16. i) ¿Cu´antas palabras se pueden formar permutando las letras de ARBOLES con la condici´on de que las vocales deben estar juntas? Esto es lo mismo que hallar las permutaciones de VRBLS y luego reemplazar V en cada una por una permutaci´on de AOE. Luego, hay 5!.3! palabras que satisfacen lo pedido.
ii) Idem i) para la palabra ELECTROCARDIOGRAMA Como antes, esto es hallar las permutaciones de VLCTRCRDGRM y luego reemplazar V en cada una por una permutaci´on de EEIOOAAA. Luego, la cantidad de palabras es
11! 2!.3!
Ejemplo 17. ¿Cu´antos n´umeros mayores o iguales que 1237 y menores o iguales que 3837 se pueden formar con los d´ıgitos 1, 3, 6, 8, 9 (se pueden repetir d´ıgitos). Debemos ubicar los d´ıgitos 1, 3, 6, 8, 9 en 4 lugares de manera que el n´umero formado est´e entre 1237 y 3837. Luego, en el primer lugar s´olo podemos poner un 1 o un 3. Los que empiezan con 1 no pueden tener un 1 en el segundo lugar. Luego, en el primer lugar hay un 1, el segundo lugar puede tomar 4 valores (3, 6, 8 o 9) y el tercer y cuarto lugares pueden tomar 5 valores cada uno. Luego hay 4. 5 .5 n´umeros que empiezan con 1 y satisfacen lo pedido. Veamos cu´antos empiezan con 3. En el segundo lugar no puede haber un 9. Si en el segundo lugar hay un 1, un 3 o un 6, los restantes dos lugares pueden tomar 5 valores (1, 3, 6, 8,
- cada uno (estos son 3. 5 .5 n´umeros). Pero si en el segundo lugar hay un 8 entonces el tercer lugar puede tener un 1, en cuyo caso el ´ultimo lugar puede tomar 5 valores, o un 3 en cuyo caso el ´ultimo lugar puede tomar s´olo 3 valores (1, 3, 6). En resumen, la cantidad de n´umeros que empiezan con 3 y satisfacen lo pedido es 3. 52 + 5 + 3.
Por lo tanto con los d´ıgitos 1, 3, 6, 8, 9 se pueden formar 4. 52 + 3. 52 + 5 + 3 n´umeros mayores o iguales que 1237 y menores o iguales que 3837.
Ejemplo 18. Si A es un conjunto de n elementos y B es un conjunto de k elementos. ¿Cu´antas funciones suryectivas de A en B se pueden definir? Si n < k entonces no puede definirse ninguna funci´on suryectiva de A en B. Por lo tanto veamos qu´e pasa si 1 ≤ k ≤ n. Sea F (n, k) la cantidad de funciones suryectivas de un conjunto de n elementos en un conjunto de k elementos. Determinar una f´ormula para F (n, k) es dif´ıcil. En lugar de eso, haremos algo m´as sencillo: hallaremos una relaci´on de recurrencia que nos permitir´a calcular F (n + 1, k) conociendo F (n, k) y F (n, k − 1). Dejamos como ejercicio verificar que, cualquiera sea n, F (n, 1) = 1 y F (n, n) = n!. Veremos que para 2 ≤ k ≤ n vale que F (n + 1, k) = k.[F (n, k) + F (n, k − 1)].
Para probar esta igualdad, consideremos el siguiente problema: sea k ≤ n. ¿De cu´antas maneras se pueden ubicar n bolitas numeradas en k cajas numeradas de manera que en cada caja haya por lo menos una bolita (es decir, no queden cajas vac´ıas)? Esto es lo mismo que determinar cu´antas funciones suryectivas hay de A = { 1 , 2 ,... , n} en B = { 1 , 2 ,... , k} ya que cada ubicaci´on de las bolitas en las cajas puede verse como la funci´on definida por f (i) = n´umero de caja donde est´a ubicada la bolita i y que en cada caja haya al menos una bolita significa que para todo j ∈ B existe i ∈ A tal que f (i) = j, es decir, que f sea suryectiva. Luego, F (n, k) es la cantidad de maneras en que se pueden ubicar n bolitas numeradas en k cajas numeradas sin dejar cajas vac´ıas. Ahora, usando esto, probemos que si 2 ≤ k ≤ n entonces F (n + 1, k) = k.[F (n, k) + F (n, k − 1)].
Es claro que F (n + 1, k) no depende de la forma que elijamos para hacer la distribuci´on de las bolitas. Por lo tanto, F (n + 1, k) es igual a la cantidad de maneras en que puede colocarse la bolita n + 1 sola en una de las k cajas y luego distribuir las primeras n bolitas en las otras k − 1 cajas de forma que ninguna de ellas est´e vac´ıa (esto cuenta todos los casos en los que la bolita n + 1 se encuentra sola en una caja) m´as la cantidad de maneras en que pueden distribuirse las primeras n bolitas en las k cajas de forma que ninguna est´e vac´ıa y luego colocar la bolita n + 1 en alguna de esas k cajas (esto cuenta todos los casos en los que la bolita n + 1 no se encuentra sola en una caja). El primer sumando es igual a k.F (n, k − 1) pues hay k maneras de elegir una caja para la bolita n + 1 y F (n, k − 1) maneras de ubicar las primeras n bolitas en las restantes k − 1 cajas sin dejar cajas vac´ıas y el segundo es igual a k.F (n, k) pues hay F (n, k) maneras de ubicar las primeras n bolitas en las k cajas sin dejar cajas vac´ıas y k maneras de ubicar la bolita n + 1 en alguna de las k cajas. Luego, F (n + 1, k) = k.F (n, k − 1) + k.F (n, k) como quer´ıamos probar.
Ahora calculemos F (n, k) para n = 1, 2 , 3 , 4 , 5 y 1 ≤ k ≤ n usando que F (n, 1) = 1, F (n, n) = n! y F (n + 1, k) = k.F (n, k) + k.F (n, k − 1) para 2 ≤ k ≤ n. Para n = 1 el ´unico valor posible de k es 1. En este caso F (1, 1) = 1. Para n = 2 los valores posibles de k son 1 y 2. En este caso F (2, 1) = 1 y F (2, 2) = 2! = 2. Para n = 3 los valores posibles de k son 1, 2 y 3. En este caso se tiene que F (3, 1) = 1, F (3, 2) = 2.[F (2, 2) + F (2, 1)] = 2.3 = 6 y F (3, 3) = 3! = 6. Para n = 4 y 1 ≤ k ≤ 4 se tiene que F (4, 1) = 1, F (4, 2) = 2.[F (3, 2) + F (3, 1)] = 2.7 = 14,
Ejemplo 20. ¿De cu´antas maneras se pueden ubicar 15 bolitas indistinguibles en 7 cajas numeradas con la condici´on de que ninguna caja quede vac´ıa? Primero colocamos una bolita en cada caja (de esta manera nos aseguramos de que no haya cajas vac´ıas) lo que puede hacerse de una sola manera ya que las bolitas son todas iguales. Ahora colocamos las restantes 8 bolitas en las 7 cajas sin condiciones. Luego, esto puede hacerse de (^) ( 8 + 7 − 1 8
maneras
Ejemplo 21. ¿De cu´antas maneras se pueden ubicar 15 bolitas indistinguibles en 7 cajas numeradas con la condici´on de que la primera caja no puede quedar vac´ıa, la cuarta caja debe contener al menos 3 bolitas y la quinta caja debe tener exactamente 1 bolita? Primero colocamos una bolita en la primera caja, 3 en la cuarta y 1 en la quinta, lo que puede hacerse de una ´unica manera ya que las bolitas son indistinguibles. Ahora nos llevamos la quinta caja para que no caigan m´as bolitas en ella y colocamos las 10 restantes bolitas en las 6 cajas que quedan sin restricciones. Luego, la cantidad de maneras es
( 10 + 6 − 1 10
Ejemplo 22. ¿De cu´antas maneras se pueden ubicar 10 bolitas blancas y 13 bolitas negras en 8 cajas numeradas? Primero colocamos las bolitas blancas en las 8 cajas, esto puede hacerse de
10
maneras. Ahora, para cada una de estas colocamos las bolitas negras en las 8 cajas y esto puede hacerse de
13
maneras. Por lo tanto, en total hay ( 10 + 8 − 1 10
maneras de ubicar las bolitas.
Ejemplo 23. ¿De cu´antas maneras se pueden ubicar 100 bolitas indistinguibles en 12 cajas numeradas con la condici´on de que haya exactamente 3 cajas vac´ıas? Primero elegimos 3 cajas para dejarlas vac´ıas, eso lo podemos hacer de
3
maneras. Ahora colocamos una bolita en cada una de las 9 cajas que no fueron elegidas para asegurar que no haya ninguna otra caja vac´ıa y ubicamos las 91 bolitas restantes en las 9 cajas, eso lo podemos hacer de
91
maneras. Luego, en total hay ( 12 3
maneras.
Ejemplo 24. ¿De cu´antas maneras se pueden ubicar 100 bolitas indistinguibles en 12 cajas numeradas con la condici´on de que haya a lo sumo 3 cajas vac´ıas? Esto es lo mismo que sumar la cantidad de maneras se pueden ubicar 100 bolitas indistin- guibles en 12 cajas numeradas sin dejar ninguna caja vac´ıa m´as la cantidad de maneras en que se pueden ubicar 100 bolitas indistinguibles en 12 cajas numeradas dejando ex- actamente 1 caja vac´ıa m´as la cantidad de maneras en que se pueden ubicar 100 bolitas indistinguibles en 12 cajas numeradas dejando exactamente 2 cajas vac´ıas m´as la cantidad de maneras en que se pueden ubicar 100 bolitas indistinguibles en 12 cajas numeradas dejando exactamente 3 cajas vac´ıas, es decir,
( 88 + 12 − 1 88
Ejemplo 25. ¿De cu´antas maneras se pueden ubicar 100 bolitas indistinguibles en 12 cajas numeradas con la condici´on de que haya por lo menos 3 cajas vac´ıas? Estas son todas las maneras de ubicar las bolitas sin restricciones menos la cantidad de maneras en que se pueden ubicar 100 bolitas indistinguibles en 12 cajas numeradas con la condici´on de que haya a lo sumo 2 cajas vac´ıas, es decir
[(
)]
Ejemplo 26. ¿De cu´antas maneras se pueden ubicar 8 bolitas indistinguibles en 17 cajas numeradas con la condici´on de que en cada caja haya a lo sumo una bolita? Esto es lo mismo que elegir 8 de las 17 cajas y poner una bolita en cada una de ellas. Esto puede hacerse de
8
maneras.
Ejemplo 27. ¿De cu´antas maneras se pueden ubicar 8 bolitas blancas y 7 bolitas negras en 17 cajas numeradas con la condici´on de que en cada caja haya a lo sumo una bolita blanca? Colocando primero las blancas y luego las negras, se tiene que la cantidad de maneras es
( 17 8
Ejercicio. ¿De cu´antas maneras se pueden ubicar 9 bolitas blancas y 6 bolitas rojas en 19 cajas con la condici´on de que en cada caja haya a lo sumo una bolita de cada color? (es decir, en cada caja puede no haber ninguna bolita o puede haber s´olo una bolita blanca o puede haber s´olo una bolita roja o puede haber una bolita blanca y una roja).
Si ahora el experimento es tirar 3 veces una moneda, el espacio muestral tiene 8 elementos (¿porque?). El evento A = “salen dos caras y una ceca” tiene 3 elementos. Si repiti´eramos el experimento muchas veces, cada uno de los elementos de A ocurrir´a un octavo de las veces y por lo tanto el evento A ocurrir´a aproximadamente 18 + 18 + 18 = 38 de las veces. Definimos entonces su probabilidad como
P (A) =
#A
En general, sea Ω el conjunto de posibles resultados de un experimento aleatorio. Si al repetir el experimento muchas veces cada elemento de Ω ocurre con la misma frecuencia (por ejemplo, al tirar un dado que no est´e cargado cada n´umero entre 1 y 6 ocurre 16 de las veces), para cada evento A definimos la probabilidad de A como
P (A) =
#A
Propiedades.
Las propiedades fundamentales de P son: i) P (A) ≥ 0 para todo A ⊆ Ω ii) P (Ω) = 1 iii) Si A y B son eventos excluyentes entonces P (A ∪ B) = P (A) + P (B)
De i), ii) y iii) pueden deducirse otras propiedades, por ejemplo, iv) Si A ⊆ B entonces P (A) ≤ P (B) v) P (A) ≤ 1 para todo A ⊆ Ω vi) P (∅) = 0 vii) P (A′) = 1 − P (A) para todo A ⊆ Ω viii) P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B) ix) Si A 1 , A 2 ,... , An son eventos excluyentes dos a dos entonces
P (A 1 ∪ A 2 ∪... An)) = P (A 1 ) + P (A 2 ) + · · · + P (An)
Ejemplos.
- Si extraemos al azar una carta de un mazo de 40 cartas espa˜nolas, ¿cu´al es la probabi- lidad de que salga
i) un as? ii) un as de espadas? iii) una copa?
Respuestas: i) 404 , ii) 401 , iii) (^1040)
- Al tirar dos monedas, ¿cu´al es la probabilidad de que salga una cara y una ceca?
Notar que si queremos que al repetir el experimento muchas veces cada elemento de Ω ocurra con la misma frecuencia debemos distinguir las monedas: si no hacemos esto, el espacio muestral ser´ıa
Ω = {2 caras, 1 cara y 1 ceca, 2 cecas}
Pero entonces los elementos “2 caras” y “1 cara y 1 ceca” de Ω no ocurrir´ıan con la misma frecuencia. Intuitivamente, la mitad de las veces saldr´a lo mismo en las dos monedas (ambas caras o ambas cecas) y la mitad de las veces saldr´a una cara y una ceca, es decir, un cuarto de las veces saldr´an dos caras, un cuarto de las veces dos cecas y la mitad de las veces una cara y una ceca. Para evitar este inconveniente distinguimos las monedas pintando una de rojo y una de verde a los efectos de poder calcular la probabilidad. Ahora, el espacio muestral es
Ω = {1 cara roja y 1 cara verde, 1 cara roja y 1 ceca verde, 1 cara verde y 1 ceca roja, 1 ceca roja y 1 ceca verde}
y al repetir muchas veces el experimento todos sus elementos ocurren con aproximadamente la misma frecuencia. Luego, la probabilidad de que salga una cara y una ceca es 24.
- Si tiramos tres dados, ¿cu´al es la probabilidad de que el producto de los n´umeros que salieron sea 12?
Como en el ejemplo anterior, distinguimos los dados pintando uno de verde, uno de rojo y uno de azul. El espacio muestral Ω consiste de las 3-uplas donde la primer coordenada (dado verde) puede tomar 6 valores, la segunda (dado rojo) puede tomar 6 valores y la tercera (dado azul) 6 valores. Luego, #Ω = 6^3. El evento A = “el producto de los n´umeros que salieron es 12” consiste de las 3-uplas (1, 2 , 6) y todas sus permutaciones (3! = 6 elementos) (1, 3 , 4) y todas sus permutaciones (3! = 6 elementos) (2, 2 , 3) y todas sus permutaciones ( 3!2! = 3 elementos)
Luego, P (A) =
- En un sal´on hay 50 personas, 10 de las cuales son japonesas y las 40 restantes son espa˜nolas. Si extraemos al azar 15 personas, una a la vez y con reposici´on (es decir, extraemos la primera persona, anotamos su nombre y la reponemos, luego extraemos la segunda, anotamos su nombre y la reponemos, etc.). ¿Cu´al es la probabilidad de que exactamente 6 de las 15 personas extra´ıdas sean espa˜nolas?
Aqu´ı el espacio muestral son las 15-uplas donde cada una de las 15 coordenadas puede ser cualquiera de las 50 personas. Luego, #Ω = 50^15.
