TAREA III ´
ALGEBRA SUPERIOR I
DIANA AVELLA ALAMINOS
1. Prueba que para a, b, c ∈N, si ac =bc yc6= 0 entonces a=b.
2. Prueba que para a, b, c, d ∈N, si a < c yb < d entonces a+b<c+dy
ab < cd.
3. Prueba que
n
P
k=0
k2=n(n+1)(2n+1)
6.
4. Prueba que n < 2nsi n∈N(donde para a∈N\ {0}se define a0= 1, a1=
a, en general an+1 =ana).
5. Prueba que 2n< n! para toda n≥4.
6. Prueba que la suma de los ´angulos internos de un pol´ıgono de nlados es
(n−2)180◦usando inducci´on sobre n(da por hecho que la suma de los ´angulos
internos de un tri´angulo es 180◦).
7. Prueba que el principio del buen orden implica el principio de inducci´on
modificado.
8. ¿Cu´antas placas hay con 3 n´umeros (del 0 al 9) y 3 letras (contando 27
en el alfabeto)?
9. ¿Cu´antos n´umeros telef´onicos hay con 8 d´ıgitos (del 0 al 9) que empiecen
con 5?
10. Entre un grupo de 30 personas se debe elegir una mesa directiva con un
presidente, un secretario y dos vocales ¿de cu´antas maneras lo puedo hacer?
11. De un grupo de 30 personas debe elegirse un comit´e con 4 personas. Por
ciertas razones en ´el debe figurar Don Perpetuo o su hermano pero no los dos
porque se ver´ıa mal. ¿Cu´antos comit´es pueden resultar electos?
12. ¿Cu´antas manos de p´oker hay que tengan ful (un par y una tercia)?
¿cu´antas que tengan p´oker (4 cartas del mismo n´umero)?
13 ¿Cu´antas diagonales se pueden trazar en un pol´ıgono regular de nlados?
14. Prueba que: a)
n
P
k=0
¡n
k¢= 2ny b) si n≥1 entonces
n
P
k=0
(−1)k¡n
k¢= 0.
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