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REVISIÓN DE CONCEPTOS BÁSICOS CIENCIAS 1
Semana 1
Ángulos
¿SABEN MATEMÁTICAS LAS ABEJAS?
Este hecho fue comprobado por Papus de Alejandría, matemático griego que vivió del año 284 al 305.
Las abejas, cuando guardan la miel, tienen que resolver varios problemas. Necesitan guardar la miel en celdillas individuales, de tal manera que formen un mosaico sin huecos ni salientes entre las celdillas, ya que hay que aprovechar el espacio al máximo.
Solo podrían hacerlo con triángulos, cuadrados y hexágonos. ¿Por qué eligieron los hexágonos si son más difíciles de construir?
La respuesta es un problema del perímetro. Papus demostró que, entre todos los polígonos regulares con el mismo perímetro, encierran más área aquellos que tengan mayor número de lados. Por eso, la figura que encierra área para un perímetro determinado es el círculo, que posee un número infinito de lados.
Por eso las abejas construyen sus celdillas de forma hexagonal, ya que, gastando la misma cantidad de cera en las celdillas, consiguen mayor superficie para guardar su miel.
Y la pregunta es: ¿Quién les enseñó esto a las abejas? Las abejas, en virtud de una cierta intuición geométrica, saben que el hexágono es mayor que el triángulo y que el cuadrado y que podrá contener más miel con el mismo número de material.
Tomado de:
http://mfranco.wordpress.com/category/curiosidades-matematicas/
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ÁNGULO
Se denomina ángulo plano a la porción de plano comprendida entre dos rayos con un origen común denominado vértice. Otra concepción dice que un ángulo es la figura formada por dos rayos con origen común. Sin embargo, en ambos casos, el ángulo no se puede medir pues son subconjuntos de puntos del plano (subconjuntos infinitos) y solo se puede medir la abertura del ángulo. Por ello, cuando hablamos de "medida del ángulo" estamos hablando de medir su abertura.
Las unidades de medida son grados o radianes.
Así, en la figura:
NOTACIÓN: AOB o BOA; AOˆB o BOˆA; O u Oˆ
BISECTRIZ DE UN ÁNGULO
La bisectriz de un ángulo es el rayo, que tiene por origen el vértice y divide al ángulo en dos ángulos congruentes (ángulos de igual medida).
OX : bisectriz de AOB
B
A
O
B
X
A
O
ELEMENTOS NOTACIÓN
LADOS
Son dos rayos OA y OB
VÉRTICE Punto de origen de los rayos
O
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II. SEGÚN SUS CARACTERÍSTICAS
TIPOS DE ÁNGULOS GRÁFICOS CARACTERÍSTICAS
COMPLEMENTARIOS
Dos ángulos son complemen- tarios cuando suman 90°.
Complemento de = 90º –
SUPLEMENTARIOS
Dos ángulos son suplemen- tarios cuando suman 180°
Suplemento de = 180° –
Ejemplos
Completa:
- Complemento de 42° =
- Suplemento de 105° =
- Complemento del suplemento de 120° =
- Suplemento del complemento de 56° =
- Complemento del suplemento del suplemento del complemento de 40 = _______________________
III. SEGÚN SU POSICIÓN
TIPOS DE ÁNGULOS GRÁFICOS CARACTERÍSTICAS
CONSECUTIVOS (^) y son ángulos consecutivos
ADYACENTES ^ y^ ^ son^ ángulos^ adyacentes + = 180°
OPUESTOS POR EL
VÉRTICE
y son ángulos opuestos por el vértice =
C B
O A
B
C O A
B' A
A'
O
B
Nota: C = 90 ‒ S = 180 ‒ CC = SS = SC = 180‒ (90 ‒ ) CS = 90 ‒ (180 ‒ )
REVISIÓN DE CONCEPTOS BÁSICOS CIENCIAS 5
Ejemplos
- Un ángulo mide la sexta parte de la medida de un ángulo recto y otro ángulo mide los 5/9 de la medida de un ángulo llano. Determina el suplemento de la suma de las medidas de dichos ángulos. 2. En la figura, OM es la bisectriz del DOC. Si se traza ON, bisectriz del ángulo agudo BOC, halla la medida del NOD.
- Se tienen los ángulos adyacentes AOB y BOC cuyas bisectrices son OM y ON, respectivamente. Si AOB = 140 , halla la medida del ángulo que forman las bisectrices de AOM y NOC.
- Se tiene dos ángulos adyacentes cuyas medidas se diferencian en 40 . Calcula la medida del ángulo formado por el lado común y la bisectriz del ángulo formado por las bisectrices de los ángulos dados.
O
A
D
M
C
B
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Propiedad: Si L 1 // L 2 ,
Se cumple: 1 + 2 + 3 = θ 1 + θ 2 + θ 3
Propiedad: Si L 1 // L 2 ,
Se cumple: x = + +
Ejemplos
- Si L 1 // L 2 , calcula el valor de . 2.^ Si^ L^1 // L^2 , halla x.
L 1
L 2
θ 1 2 θ 2 3 θ 3
L 2
L 1
x
(^) (^)
L 1
L 2
x
L 1
L 2
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En la figura, L 1 // L 2. Halla el valor de x. (^4). En la figura, las rectas L 1 y L 2 son paralelas. Halla el valor de x.
Si L 1 // L 2 y L 3 // L 4 y
^ , calcula el valor de x.
x 30°
L 1
L 2
L 1
L 2
3x 4x
2 (^) 29 53
^
L 1
L 2
x
L 4
L 3
^
