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Ejercicios propuestos de compuestos
Tipo: Resúmenes
1 / 17
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“Ejercicios Prácticos”
CURSO:
MATERIALES COMPUESTOS
CICLO:
VIII
DOCENTE:
ING. VEGA ANTICONA, Alexander Y.
INTEGRANTES:
Benalcazar Abanto, Dayanna Ilanyt Pozo Méndez, Marco Christopher Rodriguez Montañez, Leonardo Andre Solano Alva, Jamil
I. Ejercicios propuestos por los integrantes
1. Un material compuesto con matriz metálica está formado por 75% en volumen de la aleación de aluminio 7075-T6 y 25% en volumen de fibras de carburo de silicio (SiC). La densidad de la aleación 7075-T6 es 2. 80 𝑔/𝑐𝑚³ y la de las fibras SiC es 3. 20 𝑔/𝑐𝑚³. Determine la densidad promedio del material compuesto. SOLUCIÓN: Datos: - Fracción en volumen de la matriz: 𝑉𝑚 = 0. 75 - Fracción en volumen de la fibra: 𝑉𝑓 = 0. 25 - Densidad de matriz: ρ𝑚 = 2. 80 𝑔/𝑐𝑚^3 - Densidad de matriz y fibra: ρ𝑓 = 3. 20 𝑔/𝑐𝑚^3
Comenzamos con la teoría de la mezcla por fracciones volumétricas, la cual se basa en el principio de conservación de la masa y el volumen, ya que la densidad del compuesto depende directamente de las fracciones volumétricas de sus fases (matriz y refuerzo):
ρ𝑐 = 𝑉𝑚ρ𝑚 + 𝑉𝑓ρ𝑓
Reemplazamos:
ρ𝑐 = 2. 10𝑔/𝑐𝑚^3 + 0. 80 𝑔/𝑐𝑚^3
ρ𝑐 = 2. 90 𝑔/𝑐𝑚^3
Al estar el material formado por dos fases distribuidas en volumen conocido, usamos esta fórmula que nos permite aplicar el modelo de regla de mezclas volumétricas.
Densidad promedio con la regla de mezclas volumétrica: ρ𝑐 = 𝑉𝑚ρ𝑚 + 𝑉𝑓ρ𝑓
ρ𝑐 = 0. 65(1. 78) + 0. 35(1. 20)
ρ𝑐 = 1. 577 𝑔/𝑐𝑚³
Ahora, hallamos la masa total: 𝑚 = ρ𝑐𝑉
Reemplazamos: 𝑚 = (1. 577 𝑔/𝑐𝑚³ ) 3053. 6 𝑐𝑚³( ) 𝑚 = 4815. 53 𝑔 ≡ 4. 82 𝑘𝑔 Por último, calculamos el costo total: 𝐶 = 4. 82 × 65 $/𝑘𝑔 𝐶 = $313. 3
La densidad del material de la fibra es 2.55 g/cm³, y el diámetro promedio de cada filamento es 9 μm. Determinar el número total de filamentos en el cable. SOLUCIÓN Datos: Longitud del filamento: 𝐿 = 1 𝑚 = 100 𝑐𝑚 Densidad lineal: λ = 0. 225 𝑔/𝑚
Densidad de la fibra: ρ𝑓 = 2. 55 𝑔/𝑐𝑚³
Diámetro promedio de cada filamento: 𝑑𝑓 = 9 μ𝑚 = 9 × 10−4𝑐𝑚
El dato que nos dan de densidad lineal (g/m) representa la masa del cable por metro de longitud total, por lo que:
λ = 𝑁× 𝑚𝑓
Siendo:
Número de filamentos: 𝑁
Debemos tener en cuenta que cada filamento es un cilindro delgado, por ende, el volumen por metro se halla de la siguiente forma:
𝑉 = 𝐴 × 𝐿 (1)
Ahora, para calcular el área de la sección transversal circular empleamos lo siguiente:
𝐴 = π (^) ( 𝑑 2 ) (2)
2
Reemplazo (2) en (1):
𝑉 = π (^) ( 𝑑 2 )
2 × 𝐿
𝑉 = π 9×
−4𝑐𝑚 ( 2 )
2 × (100 𝑐𝑚 )
𝑉 = 0. 000063617251235 𝑐𝑚^3 ≈ 6. 36 × 10−5^ 𝑐𝑚^3 /𝑚
Obtenemos la masa por unidad de longitud con la siguiente ecuación:
𝑚𝑓 = ρ𝑓 × 𝑉𝑓
Reemplazamos datos:
1 ρ𝑐𝑜𝑚𝑝^ =^ ∑𝑖^
𝑤𝑖 ρ𝑖
Siendo: Fracción en peso de cada componente: 𝑤𝑖
Reemplazando: 1
1 ρ𝑐𝑜𝑚𝑝^ = 0. 22 + 0. 17 + 0. 29 1 ρ𝑐𝑜𝑚𝑝^ = 0. 68
ρ𝑐𝑜𝑚𝑝 = (^) 0.68^1
ρ𝑐𝑜𝑚𝑝 = 1. 47 𝑔/𝑐𝑚^3
Empleamos esta forma inversa porque no podemos promediar densidades directamente por peso porque la densidad relaciona masa y volumen, además el dato que tenemos son fracciones en peso (w), por lo que debemos convertirlo en términos de volumen equivalente para mantener dicha relación, esto se logra usando recíprocos, es decir, fracción en peso de cada componente entre la densidad de cada
Fibra de vidrio 2.55 12 Resina epoxi 1.20 8 Nota: Elaboración propia
Determinar:
a) La densidad promedio del compuesto b) La masa total de la placa c) El costo del material
SOLUCIÓN:
Nos dicen que el 60% en volumen es de la fibra, por lo que:
𝑉𝑓 = 0. 60 ∧ 𝑉𝑚 = 1 − 0. 60 = 0. 40
a) Hallamos la densidad promedio: ρ𝑐 = 𝑉𝑚ρ𝑚 + 𝑉𝑓ρ𝑓
ρ𝑐 = 1. 53 + 0. 48
ρ𝑐 = 2. 01 𝑔/𝑐𝑚^3
b) Calculamos la masa total de la placa Primero, obtenemos el volumen de la placa con los datos proporcionados por el ejercicio: 𝑉 = 𝐿 × 𝑊 × 𝑡
𝑉 = 40 𝑐𝑚 × 25 𝑐𝑚 × 0. 4 𝑐𝑚
𝑉 = 400 𝑐𝑚^3 Ahora: 𝑚 = ρ𝑐 × 𝑉
Para fabricar esa placa debemos invertir $8.88 en materiales, teniendo en cuenta que la fibra representa un 80% del costo, siendo esta la mayor parte.
II. Ejercicios propuestos para reforzar
Ejercicio 2. Se preparó una placa de fibra de carbono-epoxi de espesor 𝑡 mediante el curado de𝑁 capas de preimpregnado de igual espesor. El número de hilos de fibra por unidad de ancho de preimpregnado es 𝑛, y el peso del hilo por unidad de longitud es 𝑊𝑦. Demuestre que la fracción de volumen de fibra en la placa es:
𝑣𝑓 =
𝑊𝑦𝑛𝑁 𝑡ρ𝑓𝑔
donde ρ es la densidad de la fibra y 𝑔es la aceleración debida a la gravedad SOLUCIÓN:
𝑚𝑓 × 𝑔 = 𝑊𝑓𝑖𝑏𝑟𝑎𝑠, 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
𝑚𝑓 =
𝑊𝑓𝑖𝑏𝑟𝑎𝑠, 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑔
Entonces:
𝑚𝑓 =
𝑛𝑊𝑦𝑁 𝑔
𝑉𝑓 =
𝑚𝑓 ρ𝑓^ =^
𝑛𝑊𝑦𝑁 ρ𝑓𝑔
𝑉𝑓 𝑉𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
υ𝑓 =
𝑛𝑊𝑦𝑁 ρ𝑓𝑔
υ𝑓 =
𝑊𝑦𝑛𝑁 𝑡ρ𝑓𝑔
Quedó demostrada la expresión de fracción de volumen de fibra en la placa.
Ejercicio 2.
Determine el peso y el costo del preimpregnado necesario para producir un tubo hueco de material compuesto (diámetro exterior = 50 mm, espesor de pared = 5 mm y longitud = 4 m) si se contiene un 60% en volumen de fibras de carbono AS-4 (a
● Densidad de la matriz epóxica (obtenida como un promedio del rango de
valores de la tabla 2.8): ρ𝑚 = 1. 25 𝑔/𝑐𝑚^3
● Fracción volumétrica de la fibra: υ𝑓 = 0. 60 ● Radio exterior: 𝑅𝑜 = 25 𝑚𝑚 = 2. 5𝑐𝑚 ● Espesor de pared: 𝑡 = 5 𝑚𝑚 = 0. 5 𝑐𝑚, lo cual nos permite inducir que el radio interior es 𝑅𝑖 = 20 𝑚𝑚 = 2. 0 𝑐𝑚
● Longitud: 𝐿 = 4 𝑚 = 400 𝑐𝑚 Teniendo en cuenta que se va envolver un tubo hueco, entonces:
𝑉 = π(𝑅𝑜^2 − 𝑅𝑖^2 )𝐿
𝑉 = π((2. 5 𝑐𝑚)^2 − (2. 0 𝑐𝑚)^2 ) × 400 𝑐𝑚
Calculamos el volumen de la matriz y del refuerzo (fibra de carbono AS-4)
𝑉𝑓 = υ𝑓 × 2827. 43 𝑐𝑚^3 = 0. 6 × 2827. 43 𝑐𝑚^3
𝑉𝑓 = 1696. 46 𝑐𝑚^3
𝑉𝑚 = 2827. 43 𝑐𝑚^3 − 1696. 46 𝑐𝑚^3
𝑉𝑚 = 1130. 97 𝑐𝑚^3
Calculamos las masa de la matriz, del refuerzo (fibra de carbono AS-4) y total
𝑚𝑓 = 𝑉𝑓 × ρ𝑓 = 1696. 46 𝑐𝑚^3 × 1. 80 𝑔/𝑐𝑚^3
𝑚𝑓 = 3053. 63 𝑔
𝑚𝑚 = 𝑉𝑚 × ρ𝑚 = 1130. 97 𝑐𝑚^3 × 1. 25 𝑔/𝑐𝑚^3
𝑚𝑚 = 1413. 71 𝑔
Calculamos el costo del preimpregnado
𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑝𝑟𝑒𝑖𝑚𝑝𝑟𝑒𝑔𝑛𝑎𝑑𝑜 = 𝑚𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 × $70/𝑘𝑔 = 4. 46734 𝑘𝑔 × $70/𝑘𝑔
𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑝𝑟𝑒𝑖𝑚𝑝𝑟𝑒𝑔𝑛𝑎𝑑𝑜 = $312. 72
El costo de preimpregnado necesario para producir un tubo compuesto hueco es de $312. 72.
Ejercicio 2.
El material de una viga compuesta es fibra de carbono AS-1 reforzada con epoxi (υ𝑓 = 0. 60). Para ahorrar costo, las fibras de carbono se reemplazan por el mismo
porcentaje volumétrico de fibras E-glass. Para compensar el menor módulo de las fibras E-glass, el espesor de la viga se incrementa tres veces. Suponiendo que los costos de las fibras de carbono, fibras E-glass y epoxi son $40/kg, $4/kg y $6/kg, respectivamente, determine el porcentaje de ahorro en el costo de material. La
densidad del epoxi es 1.25 𝑔/𝑐𝑚^3
SOLUCIÓN:
● Masas
𝑚𝑓 = 1. 8 𝑚^3 × 2540 𝑘𝑔/𝑚^3 = 4572 𝑘𝑔
𝑚𝑚 = 1. 2 𝑚^3 × 1250 𝑘𝑔/𝑚^3 = 1500 𝑘𝑔
● Costos 𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜𝑚𝑎𝑡𝑒𝑟𝑖𝑎𝑙 𝑛𝑢𝑒𝑣𝑜 = 4572 𝑘𝑔 × $4/𝑘𝑔 + 1500 𝑘𝑔 × $6/𝑘𝑔
𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜𝑚𝑎𝑡𝑒𝑟𝑖𝑎𝑙 𝑛𝑢𝑒𝑣𝑜 = $27 288
Ahorro porcentual
% 𝑑𝑒 𝑎ℎ𝑜𝑟𝑟𝑜 = (
𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙−𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜𝑚𝑎𝑡𝑒𝑟𝑖𝑎𝑙 𝑛𝑢𝑒𝑣𝑜 𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜𝑚𝑎𝑡𝑒𝑟𝑖𝑎𝑙 𝑛𝑢𝑒𝑣𝑜^ ) × 100
El porcentaje de ahorro en el costo del nuevo material reemplazado por fibra E-glass y con un incremento del espesor de viga de tres veces a comparación del inicial es de 40-94% Ejercicio 2. Un material compuesto con matriz metálica está hecho con 80% en volumen, de la aleación de aluminio 2124-T6 y 20% en volumen, de fibras de SiC. La densidad de la aleación 2124-T6 es 2.77g/cm3 y las de las fibras es 3.10g/cm3. Calcule la densidad promedio del material compuesto.
Solución:
La base es 1 m³ del material, así se tienen 0,80 m³ de aleación 2124 y 0,20 m³ de fibra SiC en 1 m³ de material.
Masa de aleación 2124 en 1 m³ = (0,80 m³)(2,71 mg/m³) = 2,22 mg
Masa de fibras de SiC en 1 m³ = (0,20 m³)(3,10 mg/m³) = 0,62 mg
Masa total en 1 m³ de compuesto = 2,84 mg
Promedio:
La densidad lineal de un cable de fibra de carbono seco es de 0.198g/m. La densidad de fibra de carbono es de 1.76g/cm3 y el diámetro medio del filamento es de 7um. Determine la cantidad de filamentos en el remolque.
Solución:
−4𝑐𝑚)^2 4
−2𝑔/𝑐𝑚 6.77𝑥10−7^ 𝑐𝑚𝑔
