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La teoría de números es la rama de las matemáticas que estudia las propiedades de los números, en particular los enteros, pero más en general, estudia las propiedades de los anillos de números: anillos íntegros que contienen a {\displaystyle \mathbb {Z} }\mathbb{Z} a través de un morfismo finito e inyectivo {\displaystyle \mathbb {Z} \hookrightarrow A}{
displaystyle \mathbb {Z} \hookrightarrow A}. Contiene una cantidad considerable de problemas que podrían ser comprendidos por "no matemáticos". De forma más general, este campo estudia los problemas que surgen con el estudio de los números enteros. Tal como cita Jürgen Neukirch: La teoría de números ocupa entre las disciplinas matemáticas una posición idealizada análoga a aquella que ocupan las matemáticas mismas entre las otras ciencias. Los números enteros pueden considerarse en sí mismos o como soluciones de ecuaciones (geometría diofántica). Las cuestiones de la teoría de los números suelen entenderse mejor a través del estudio de los objetos del analítico (por ejemplo, la función zeta de Riemann) que codifican propiedades de los números enteros, los primos u otros objetos de la teoría de los números de alguna manera (Teoría analítica de números). También se pueden estudiar los números reales en relación con los números racionales, por ejemplo, como aproximación de estos últimos (aproximación diofántica). El término "aritmética" también era utilizado para referirse a la teoría de números. Este es un término bastante antiguo, aunque ya no tan popular. De allí la teoría de números suele ser denominada alta aritmética,3 aunque el término también ha caído en desuso. Este sentido del término aritmética no debe ser confundido con la aritmética elemental, o con la rama de la lógica que estudia la aritmética de Peano como un sistema formal. Los
matemáticos que estudian la teoría de números son llamados teóricos de números. Historia Orígenes The Plimpton 322 tablet Amanecer de la aritmética El hallazgo histórico más antiguo de carácter aritmético es un fragmento de tabla: la tablilla de arcilla rota Plimpton 322 (Larsa, Mesopotamia, ca. 1800 a. C.) contiene una lista de "triples pitagóricos", es decir, enteros {\displaystyle (a,b,c)}{\displaystyle (a,b,c)} tales que {\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}{\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}. Los triples son demasiados y demasiado grandes para haber sido obtenidos por fuerza bruta. El título sobre la primera columna dice: "El takiltum de la diagonal que se ha restado tal que el ancho..." La disposición de la tabla sugiere5 que se construyó mediante lo que equivale, en lenguaje moderno, a la identidad {\displaystyle \left({\frac {1}{2}}\left(x-{\frac {1}{x}}\right)
right)^{2}+1=\left({\frac {1}{2}}\left(x+{\frac {1}{x}}\right)
right)^{2},}{\displaystyle \left({\frac {1}{2}}\left(x-{\frac {1}{x}}\right)
right)^{2}+1=\left({\frac {1}{2}}\left(x+{\frac {1}{x}}\right)
right)^{2},}
los babilonios. Fuentes muy anteriores15 afirman que Tales y Pitágoras viajaron y estudiaron en Egipto. Euclides IX 21-34 es muy probablemente pitagórico;16 es un material muy simple ("impares por pares es par", "si un número impar mide [= divide] un número par, entonces también mide [= divide] la mitad de éste"), pero es todo lo que se necesita para demostrar que {\displaystyle {\sqrt {2}}}{\sqrt {2}} es un irracional.17 Los místicos pitagóricos daban gran importancia a los pares e impares.18El descubrimiento de que {\displaystyle {\sqrt {2}}} {\sqrt {2}} es irracional se atribuye a los primeros pitagóricos (preTeodoro).19 Al revelar (en términos modernos) que los números podían ser irracionales, este descubrimiento parece haber provocado la primera crisis fundacional de la historia de las matemáticas; su demostración o su divulgación se atribuyen a veces a Hipaso, que fue expulsado o escindido de la secta pitagórica.20 Esto obligó a distinguir entre los números (los enteros y los racionales -los sujetos de la aritmética-), por un lado, y las longitudes y las proporciones (que identificaríamos con los números reales, sean racionales o no), por otro. La tradición pitagórica hablaba también de los llamados poligonal o números figurados.21 Mientras que los números cuadrados, cúbicos, etc., se ven ahora como más naturales que los números triangulares, pentagonales, etc., el estudio de las sumas de números triangulares y pentagonales resultaría fructífero a principios de la época moderna (del siglo xvii a principios del siglo xix). No conocemos ningún material claramente aritmético en las fuentes antiguas egipcias o védicas, aunque hay algo de álgebra en ambas. El
teorema del resto chino aparece como un ejercicio 22 en Sunzi Suanjing (siglos III, IV o V de la era cristiana). 23 (Hay un paso importante que se pasa por alto en la solución de Sunzi:note 1 es el problema que posteriormente resolvió el Āryabhaṭa de Kuṭṭaka - ver abajo). También existe cierto misticismo numérico en las matemáticas chinas,note 2 pero, a diferencia del de los pitagóricos, parece no haber llevado a ninguna parte. Al igual que los números perfectos de los pitagóricos, los cuadrados mágicos han pasado de la superstición a la recreación. La Grecia clásica y el período helenístico temprano Artículo principal: Matemática griega Aparte de algunos fragmentos, las matemáticas de la Grecia clásica nos son conocidas o bien por los informes de los no matemáticos contemporáneos o bien por las obras matemáticas de la primera época helenística.24 En el caso de la teoría de los números, esto significa, en general, Platón y Euclides, respectivamente. Aunque las matemáticas asiáticas influyeron en el aprendizaje griego y helenístico, parece ser que las matemáticas griegas son también una tradición autóctona. Eusebio de Cesarea, PE X, en el capítulo 4 menciona a Pitágoras: En efecto, dicho Pitágoras, mientras estudiaba afanosamente la sabiduría de cada nación, visitó Babilonia, y Egipto, y toda Persia, siendo instruido por los
divisor de dos números (el algoritmo de Euclides; Elementos, Prop. VII.2) y la primera prueba conocida de la nfinitud de los números primos (Elementos, Prop. IX.20). En 1773, Lessing publicó un epigrama que había encontrado en un manuscrito durante su trabajo como bibliotecario; pretendía ser una carta enviada por Arquímedes a Eratóstenes.28 29 El epigrama proponía lo que se conoce como problema del ganado de Arquímedes; su solución, ausente en el manuscrito, requiere resolver una ecuación cuadrática indeterminada, que se reduce a lo que más tarde se denominaría erróneamente ecuación de Pell. Por lo que sabemos, tales ecuaciones fueron tratadas por primera vez con éxito por la escuela india. No se sabe si el propio Arquímedes tenía un método de solución. Diofanto de Alejandría Portada de la edición de 1621 de la Arithmetica de Diofanto, traducida al latín por Claude Gaspard Bachet de Méziriac. Se sabe muy poco sobre Diofanto de Alejandría; probablemente vivió en el siglo iii de nuestra era, es decir, unos quinientos años después de Euclides. Seis de los trece libros de la Aritmética de Diofanto se conservan en el griego original y cuatro más en una traducción al árabe. La Arithmetica es una colección de problemas elaborados en los que la tarea consiste invariablemente en encontrar soluciones racionales a un sistema de ecuaciones polinómicas, normalmente de la forma {\displaystyle f(x,y)=z^{2}}{\displaystyle f(x,y)=z^{2}} o {\displaystyle f(x,y,z)=w^{2}}{\displaystyle f(x,y,z)=w^{2}}. Así, hoy en día, hablamos
de "ecuaciones diofánticas" cuando hablamos de ecuaciones polinómicas a las que hay que encontrar soluciones racionales o enteras. Se puede decir que Diofanto estudiaba los puntos racionales, es decir, los puntos cuyas coordenadas son racionales, en curvas y variedades algebraicas; sin embargo, a diferencia de los griegos de la época clásica, que hacían lo que hoy llamaríamos álgebra básica en términos geométricos, Diofanto hacía lo que hoy llamaríamos geometría algebraica básica en términos puramente algebraicos. En lenguaje moderno, lo que hizo Diofanto fue encontrar parametrizaciones racionales de las variedades; es decir, dada una ecuación de la forma (digamos) {\displaystyle f(x_{1},x_{2},x_{3})=0} {\displaystyle f(x_{1},x_{2},x_{3})=0}, su objetivo era encontrar (en esencia) tres funciones racionales {\displaystyle g_{1},g_{2},g_{3}}{
displaystyle g_{1},g_{2},g_{3}} tales que, para todos los valores de {
displaystyle r}r y {\displaystyle s}s, establezcan {\displaystyle x_{i}=g_{i}(r,s)}{\displaystyle x_{i}=g_{i}(r,s)} para {
displaystyle i=1,2,3}{\displaystyle i=1,2,3} da una solución a {\displaystyle f(x_{1},x_{2},x_{3})=0.}{\displaystyle f(x_{1},x_{2},x_{3})=0.} Diofanto también estudió las ecuaciones de algunas curvas no racionales, para las que no es posible una parametrización racional. Consiguió encontrar algunos puntos racionales en estas curvas (curva elípticas, en lo que parece ser su primera aparición conocida) mediante lo que equivale a una construcción tangente: traducido a la geometría de coordenadas (que no existía en la época de Diofanto), su método se visualizaría como dibujar una tangente a una curva en un punto racional conocido, y luego encontrar el otro punto de intersección de la tangente con la curva; ese otro punto es un
resolverse en Occidente hasta la época de Fermat y Euler. Le seguirían autores sánscritos posteriores, utilizando la terminología técnica de Brahmagupta. Un procedimiento general (el chakravala, o "método cíclico") para resolver la ecuación de Pell fue finalmente encontrado por Jayadeva (citado en el siglo xi; su obra se ha perdido por lo demás); la exposición más antigua que se conserva aparece en el Bīja-gaṇita de Bhāskara II (siglo xii). Las matemáticas indias permanecieron en gran medida desconocidas en Europa hasta finales del siglo xviii; 36 La obra de Brahmagupta y Bhāskara fue traducida al inglés en 1817 por Henry Colebrooke. La aritmética en la edad de oro islámica Al-Haytham visto por Occidente: en el frontispicio de Selenographia Alhasen [sic] representa el conocimiento a través de la razón y Galileo el conocimiento a través de los sentidos. A principios del siglo ix, el califa Al-Ma'mun ordenó traducir muchas obras matemáticas griegas y al menos una obra sánscrita (el Sindhind, que puede 38 o puede no39 ser el Brahmagupta de Brāhmasphuṭasiddhānta). La principal obra de Diofanto, la Aritmética, fue traducida al árabe por Qusta ibn Luqa (820-912). Parte del tratado al-Fakhri (de al-Karajī, 953 - ca. 1029) se basa en él en cierta medida. Según Rashed Roshdi, el contemporáneo de Al- Karajī Ibn al-Haytham conocía40 lo que posteriormente se llamaría teorema de Wilson. Europa Occidental en la Edad Media
Aparte de un tratado sobre los cuadrados en la progresión aritmética de Fibonacci -que viajó y estudió en el norte de África y en Constantinopla-, durante la Edad Media no se hizo teoría de los números en Europa occidental. Las cosas empezaron a cambiar en Europa a finales del Renacimiento, gracias a un renovado estudio de las obras de la antigüedad griega. Un catalizador fue la emendación textual y la traducción al latín de la Arithmetica de Diofanto. Campos Según los métodos empleados y las preguntas que se intentan contestar, la teoría de números se subdivide en diversas ramas. Teoría elemental de números En la teoría elemental de números, se estudian los números enteros sin emplear técnicas procedentes de otros campos de las matemáticas. Pertenecen a la teoría elemental de números las cuestiones de divisibilidad, el algoritmo de Euclides para calcular el máximo común divisor, la factorización de los enteros como producto de números primos, la búsqueda de los números perfectos y las congruencias. Son enunciados típicos el pequeño teorema de Fermat y el teorema de Euler que lo extiende, el teorema chino del resto y la ley de reciprocidad cuadrática. En esta rama se investigan las propiedades de las funciones multiplicativas como la función de Möbius y la función φ de Euler; así como las sucesiones de números enteros como los factoriales y los números de F. Diversos cuestionamientos dentro de la teoría elemental de números parecen simples, pero requieren consideraciones muy profundas y nuevas aproximaciones, incluyendo las siguientes:
La teoría algebraica de números es una rama de la teoría de los números en la cual el concepto de número se expande a los números algebraicos, los cuales son las raíces de los polinomios con coeficientes racionales. Teoría geométrica de números La teoría geométrica de números (tradicionalmente llamada geometría de números) incorpora todas las formas de geometría. Comienza con el teorema de Minkowski acerca de los puntos comunes en conjuntos convexos e investigaciones sobre superficies esféricas. Teoría combinatoria de números La teoría combinatoria de números trata los problemas de la teoría de números involucrando ideas combinatorias y sus formulaciones o soluciones. Paul Erdős es el creador de esta rama de la teoría de números. Los temas típicos incluyen sistemas cubiertos, problemas de suma cero, diversos conjuntos restringidos y progresiones aritméticas en un conjunto de enteros. Los métodos algebraicos o analíticos son bastante poderosos en este campo. Teoría computacional de números La teoría computacional de números estudia los algoritmos relevantes de la teoría de números. Los algoritmos rápidos para evaluar números primos y factorización de enteros tienen importantes aplicaciones en criptografía. «La evolución de la computación ha hecho que la aritmética deje de ser una ciencia contemplativa y de especialistas para transformarse en una verdadera rama aplicada. La necesidad de nuevos algoritmos de
computación requiere- como dice Enzo R. Gentile- vastos y profundos conocimientos aritméticos». Historia Los matemáticos en la India se interesaron en encontrar soluciones enteras a las ecuaciones diofánticas desde mediados del I milenio a. C. El primer uso geométrico de las ecuaciones diofánticas se remonta a los Shulba-sutras, los cuales fueron escritos entre los siglos V y III a. C. El religioso Baudhaiana (en el siglo IV a. C.) encontró dos conjuntos de enteros positivos a un conjunto de ecuaciones diofánticas simultáneas, y también se usan ecuaciones diofánticas simultáneas con más de cuatro incógnitas. Apastamba (en el siglo III a. C.) usaba ecuaciones diofánticas simultáneas con más de cinco incógnitas.* Los matemáticos yainas fueron los primeros en descartar la idea de que todos los infinitos son los mismos o iguales, pero ya se venían estudiando desde años atrás. Reconocen cinco tipos de infinitos diferentes: infinito en una o dos direcciones (unidimensionales), infinito en superficies (bidimensional), infinito en todas partes (tridimensional) y perpetuamente infinito (en un número infinito de dimensiones). La teoría de números fue una de las disciplinas de estudio favoritas entre los matemáticos griegos de Alejandría (en Egipto) a partir del siglo III a. C., quienes tenían conciencia del concepto de ecuación diofántica en sus casos particulares. El primer matemático helenístico que estudió estas ecuaciones fue Diofanto.
fue encontrada 100 años más tarde por Joseph-Louis de Lagrange en 1767. Sin embargo, varios siglos antes, la ecuación de Pell fue trabajada por Bhaskara II en 1150 utilizando una versión modificada del método chakravala de Brahmagupta, encontrando la solución general de otras ecuaciones cuadráticas intermedias indeterminadas y ecuaciones diofánticas cuadráticas. El método chakravala para encontrar la solución general de la ecuación de Pell era más simple que el método utilizado por Lagrange 600 años más tarde. Bhaskara encuentra también la solución de otras ecuaciones cuadráticas indeterminadas, cúbicas, cuárticas y polinómicas de mayores grados. Naraian Pandit perfeccionó aún más las demás cuadráticas indeterminadas para las ecuaciones de grados superiores. Véase también Problemas de Hilbert Sucesión de Fibonacci Número áureo Teorema chino del resto Sophie Germain Notas Sunzi Suanjing, cap. 3, problema 26, in Lam y Ang, 2004, pp. 219–20: 26] Ahora hay un número desconocido de cosas. Si contamos de tres en tres, hay un resto 2; si contamos de cinco en cinco, hay un resto 3; si contamos de siete en siete, hay un resto 2. Encuentra el número de cosas. Respuesta:
Método: Si contamos de tres en tres y hay un resto 2, anota 140. Si contamos de cinco en cinco y sobra 3, anota 63. Si contamos de siete en siete y sobra un 2, anotamos 30. Suma para obtener 233 y resta 210 para
obtener la respuesta. Si contamos de tres en tres y sobra 1, ponemos 70. Si contamos de cinco en cinco y sobra 1, anota 21. Si contamos de siete en siete y sobra un 1, anotamos 15. Cuando [un número] supera el 106, el resultado se obtiene restando el 105. Véase, por ejemplo, Sunzi Suanjing, cap. 3, problema 36, en Lam y Ang, 2004, pp. 223-24: 36] Ahora hay una mujer embarazada cuya edad es de 29 años. Si el período de gestación es de 9 meses, determine el sexo del niño por nacer. Respuesta: Varón. Método: Poner 49, sumar el periodo de gestación y restar la edad. Del resto quita 1 que representa el cielo, 2 la tierra, 3 el hombre, 4 las cuatro estaciones, 5 las cinco fases, 6 las seis trompetas, 7 las siete estrellas [de la Osa Mayor], 8 los ocho vientos y 9 las nueve divisiones [de China bajo Yu el Grande]. Si el resto es impar, [el sexo] es masculino y si el resto es par, [el sexo] es femenino. Este es el último problema en el tratado de Sunzi, que por lo demás es práctico.
