Conceptos básicos de vectores., Apuntes de Física

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VECTORES

Contenidos

Artículos

Vector (física) 1 Producto escalar 10 Producto vectorial 15

Referencias

Fuentes y contribuyentes del artículo 20 Fuentes de imagen, Licencias y contribuyentes 21

Licencias de artículos

Licencia 22

Vector (física) (^2)

Representación de los vectores.

Se representa como un segmento orientado, con una dirección, dibujado de forma similar a una "flecha". Su longitud representa el modulo del vector y la "punta de flecha" indica su dirección.

Notación

Las magnitudes vectoriales se representan en los textos impresos por letras en negrita , para diferenciarlas de las magnitudes escalares que se representan en cursiva. En los textos manuscritos, las magnitudes vectoriales se representan colocando una flechita sobre la letra que designa su módulo (que es un escalar). Ejemplos:

• ... representan, respectivamente, las magnitudes vectoriales de módulos A , a , ω , ... El módulo de una magnitud vectorial también se representa encerrando entre barras la notación correspondiente al vector: ...
• En los textos manuscritos escribiríamos: ... para los vectores y ... o ... para los módulos. Cuando convenga, representaremos la magnitud vectorial haciendo referencia al origen y al extremo del segmento orientado que la representa geométricamente; así, designaremos los vectores representados en la Figura 2 en la forma , ... resultando muy útil esta notación para los vectores desplazamiento. Además de estas convenciones los vectores unitarios o versores, cuyo módulo es la unidad, se representan frecuentemente con un circunflejo encima, por ejemplo.

Tipos de vectores

Según los criterios que se utilicen para determinar la igualdad o equipolencia de dos vectores, pueden distinguirse distintos tipos de los mismos:

• Vectores libres: no están aplicados en ningún punto en particular.
• Vectores deslizantes: su punto de aplicación puede deslizar a lo largo de su recta de acción.
• Vectores fijos o ligados: están aplicados en un punto en particular. Podemos referirnos también a:
• Vectores unitarios: vectores de módulo unidad.
• Vectores concurrentes: sus rectas de acción concurren en un punto propio o impropio (paralelos).
• Vectores opuestos: vectores de igual magnitud, pero dirección contraria.
• Vectores colineales: los vectores que comparten una misma recta de acción.
• Vectores coplanarios: los vectores cuyas rectas de acción son coplanarias (situadas en un mismo plano).

Vector (física) (^3)

Componentes de un vector

Componentes del vector.

Un vector en el espacio se puede expresar como una combinación lineal de tres vectores unitarios o versores perpendiculares entre sí que constituyen una base vectorial. En coordenadas cartesianas, los vectores unitarios se representan por , , , paralelos a los ejes de coordenadas x , y , z positivos. Las componentes del vector en una base vectorial predeterminada pueden escribirse entre paréntesis y separadas con comas:

o expresarse como una combinación de los vectores unitarios definidos en la base vectorial. Así, en un sistema de coordenadas cartesiano, será

Estas representaciones son equivalentes entre sí, y los valores ax , ay , az , son las componentes vector que, salvo que se indique lo contrario, son números reales. Una representación conveniente de las magnitudes vectoriales es mediante un vector columna o un vector fila, particularmente cuando están implicadas operaciones matrices (tales como el cambio de base), del modo siguiente:

Con esta notación, los versores cartesianos quedan expresados en la forma:

Operaciones con vectores

Suma de vectores

Para sumar dos vectores libres vector y vector se escogen como representantes dos vectores tales que el extremo final de uno coincida con el extremo origen del otro vector.

Método del paralelogramo.

Método del paralelogramo Consiste en disponer gráficamente los dos vectores de manera que los orígenes de ambos coincidan en un punto, completando un paralelogramo trazando rectas paralelas a cada uno de los vectores, en el extremo del otro (ver gráfico a la derecha). El resultado de la suma es la diagonal del paralelogramo que parte del origen común de ambos vectores.

Vector (física) (^5)

Producto de un vector por un escalar

Producto por un escalar.

El producto de un vector por un escalar es otro vector cuyo módulo es el producto del escalar por el módulo del vector, cuya dirección es igual a la del vector, o contraria a este si el escalar es negativo. Partiendo de la representación gráfica del vector, sobre la misma línea de su dirección tomamos tantas veces el módulo de vector como indica el escalar.

Sean un escalar y un vector, el producto de por se representa y se realiza multiplicando cada una de las componentes del vector por el escalar; esto es,

Con la notación matricial sería

Derivada de un vector

Dado un vector que es función de una variable independiente

Calculamos la derivada del vector con respecto de la variable t , calculando la derivada de cada una de sus componentes como si de escalares se tratara:

teniendo en cuenta que los vectores unitarios son constantes en módulo y dirección. Con notación matricial sería

Vector (física) (^6)

Veamos un ejemplo de derivación de un vector, partiendo de una función vectorial:

Esta función representa una curva helicoidal alrededor del eje z , de radio unidad, como se ilustra en la figura. Podemos imaginar que esta curva es la trayectoria de una partícula y la función representa el vector de posición en función del tiempo t. Derivando tendremos:

Realizando la derivada:

La derivada del vector de posición respecto al tiempo es la velocidad, así que esta segunda función determina el vector velocidad de la partícula en función del tiempo, podemos escribir:

Este vector velocidad es un vector tangente a la trayectoria en el punto ocupado por la partícula en cada instante. Si derivásemos de nuevo obtendríamos el vector aceleración.

Vector (física) (^8)

Cambio de base vectorial.

Ejemplo En el caso simple en el que el giro tenga magnitud alrededor del eje z , tendremos la transformación:

Al hacer la aplicación del operador, es decir, al multiplicar la matriz por el vector, obtendremos la expresión del vector en la nueva base vectorial:

siendo

las componentes del vector en la nueva base vectorial.

Requerimientos físicos de las magnitudes vectoriales

No cualquier n -tupla de funciones o números reales constituye un vector físico. Para que una n -tupla represente un vector físico, los valores numéricos de las componentes del mismo medidos por diferentes observadores deben transformarse de acuerdo con ciertas relaciones fijas. En mecánica newtoniana generalmente se utilizan vectores genuinos, llamados a veces vectores polares, junto con pseudovectores, llamados vectores axiales que realmente representan el dual de Hodge de magnitudes tensoriales antisimétricas. El momento angular, el campo magnético y todas las magnitudes que en cuya definición interviene el producto vectorial son en realidad pseudovectores o vectores axiales. En teoría especial de la relatividad, sólo los vectores tetradimensionales cuyas medidas tomadas por diferentes observadores pueden ser relacionadas mediante alguna transformación de Lorentz constituyen auténticas magnitudes vectoriales. Así las componentes de dos magnitudes vectoriales medidas por dos observadores y deben relacionarse de acuerdo con la siguiente relación:

Vector (física) (^9)

Donde son las componentes de la matriz que da la transformación de Lorentz. Magnitudes como el momento angular, el campo eléctrico o el campo magnético o el de hecho en teoría de la relatividad no son magnitudes vectoriales sino tensoriales.

Véase también

• Producto escalar
• Producto vectorial
• Doble producto vectorial
• Producto mixto
• Producto tensorial
• Espacio vectorial
• Combinación lineal
• Sistema generador
• Independencia lineal
• Base (álgebra)
• Base ortogonal
• Base ortonormal
• Coordenadas cartesianas
• Coordenadas polares

Referencia

Bibliografía

• Ortega, Manuel R. (1989-2006). Lecciones de Física (4 volúmenes) (en español). Monytex. ISBN 84-404-4290-4, ISBN 84-398-9218-7, ISBN 84-398-9219-5, ISBN 84-604-4445-7.
• Resnick,Robert & Krane, Kenneth S. (2001). Physics (en inglés). New York: John Wiley & Sons.
• Serway, Raymond A.; Jewett, John W. (2004). Physics for Scientists and Engineers , 6ª edición (en inglés), Brooks/Cole. ISBN 0-534-40842-7.
• Tipler, Paul A. (2000). Física para la ciencia y la tecnología (2 volúmenes) (en español). Barcelona: Ed. Reverté. ISBN 84-291-4382-3.

Enlaces externos

• Juega con vectores (http://www.frontiernet.net/~imaging/vector_calculator.html)
• Demostración gráfica de operaciones básicas con Vectores (http://www.mis-algoritmos.com/fisica)

Producto escalar (^11)

Definición geométrica del producto escalar en un espacio euclídeo real

A • B = | A | | B | cos(θ). | A | cos(θ) es la proyección escalar de A en B.

El producto escalar de dos vectores en un espacio euclídeo se define como el producto de sus módulos por el coseno del ángulo que forman.

En los espacios euclídeos, la notación usual de producto escalar es Esta definición de carácter geométrico es independiente del sistema de coordenadas elegido y por lo tanto de la base del espacio vectorial escogida.

Proyección de un vector sobre otro

Puesto que A cos θ representa el módulo de la proyección del vector A sobre la dirección del vector B , esto es A cos θ = proy AB, será

de modo que el producto escalar de dos vectores también puede definirse como el producto del módulo de uno de ellos por la proyección del otro sobre él.

Ángulos entre dos vectores

De la expresión geométrica del producto escalar es posible calcular el coseno del ángulo existente entre los vectores, despejándolo desde la ecuación.

=

Es decir, el ángulo existente entre dos vectores es el arco cuyo coseno sea el valor de la razón existente entre el producto escalar (entre los dos vectores) y el producto de sus módulos.

Producto escalar (^12)

Vectores ortogonales

Dos vectores son ortogonales o perpendiculares cuando forman ángulo recto entre sí. Si el producto escalar de dos vectores es cero, ambos vectores son ortogonales.

En un ángulo recto, el valor del coseno es cero, por lo tanto al multiplicarse por el producto de los módulos, da lugar a que el producto escalar sea cero a su vez.

Vectores paralelos o en una misma dirección

Dos vectores son paralelos o llevan la misma dirección si el ángulo que forman es de 0 grados o de 180 grados. Cuando dos vectores forman un ángulo cero, el valor del coseno es la unidad, por lo tanto el producto de los módulos vale lo mismo que el producto escalar.

Propiedades del producto escalar

1. Conmutativa:
2. Distributiva respecto a la suma vectorial:
3. Asociativa respecto al producto por un escalar m :
4. Propiedades de la norma de un vector: a.

b.

c.

Expresión analítica del producto escalar

Si los vectores A y B se expresan en función de sus componentes cartesianas rectangulares, tomando la base canónica en formada por los vectores unitarios {i , j , k} tenemos:

El producto escalar se realiza como un producto matricial de la siguiente forma:

Producto escalar (^14)

Referencias

Véase también

• Portal:Matemática. Contenido relacionado con Matemática.
• Portal:Física. Contenido relacionado con Física.
• Espacio vectorial
• Combinación lineal
• Sistema generador
• Independencia lineal
• Matriz de Gram
• Base (álgebra)
• Base Ortogonal
• Base Ortonormal
• Coordenadas cartesianas
• Producto vectorial
• Producto mixto
• Producto tensorial

Bibliografía

• Ortega, Manuel R. (1989-2006). Lecciones de Física (4 volúmenes) (en español). Monytex. ISBN 84-404-4290-4, ISBN 84-398-9218-7, ISBN 84-398-9219-5, ISBN 84-604-4445-7.
• Resnick,Robert & Krane, Kenneth S. (2001). Physics (en inglés). New York: John Wiley & Sons.
• Serway, Raymond A.; Jewett, John W. (2004). Physics for Scientists and Engineers , 6ª edición (en inglés), Brooks/Cole. ISBN 0-534-40842-7.
• Tipler, Paul A. (2000). Física para la ciencia y la tecnología (2 volúmenes) (en español). Barcelona: Ed. Reverté. ISBN 84-291-4382-3.
• Navarro Camacho, Jorge y otros (julio 2007). Cuerpo de Profesores de Enseñanza Secundaria ; Matemáticas (Volumen III) (en español). MAD. ISBN 84-665-7931-1,.
• Marsden, J.E.;Tromba, A.J. (2004). Cálculo vectorial , 5ª edición (en español), Pearson educación, S.A.. ISBN 84-7829-069-9.
• Reinhardt, Fritz;Soeder,Heinrich (1984). DTV Atlas zur Mathematik Band 1 Grundlagen, Algebra und Geometrie (en español). Alianza universidad. ISBN 84-206-6203-8, ISBN 84-206-6998-9.

Producto vectorial (^15)

Producto vectorial

Esquema

En álgebra lineal, el producto vectorial es una operación binaria entre dos vectores de un espacio euclídeo tridimensional que da como resultado un vector ortogonal a los dos vectores originales. Con frecuencia se lo denomina también producto cruz (pues se lo denota mediante el símbolo ×) o producto externo (pues está relacionado con el producto exterior).

Definición

Relaciones entre los vectores.

Sean dos vectores y en el espacio vectorial ℝ^3. El producto vectorial entre y da como resultado un nuevo vector,. Para definir este nuevo vector es necesario especificar su módulo y dirección:

• El módulo de está dado por

donde θ es el ángulo determinado por los vectores a y b.

• La dirección del vector c , que es ortogonal a a y ortogonal a b , está dada por la regla de la mano derecha. El producto vectorial entre a y b se denota mediante a × b , por ello se lo llama también producto cruz. En los textos manuscritos, para evitar confusiones con la letra x , es frecuente denotar el producto vectorial mediante a ∧ b. El producto vectorial puede definirse de una manera más compacta de la siguiente manera:

Producto vectorial (^17)

Ejemplo

El producto vectorial de los vectores y se calcula del siguiente modo:

Expandiendo el determinante:

Puede verificarse fácilmente que a × b es ortogonal al vector a y al vector b efectuando el producto escalar y verificando que éste es nulo (condición de perpendicularidad de vectores).

Propiedades

Cualesquiera que sean los vectores , y :

1. , (anticonmutatividad)
2. Si y , entonces implica que ; esto es, la anulación del producto vectorial proporciona la condición de paralelismo entre dos direcciones. 3..
3. , conocida como regla de la expulsión.
4. , conocida como identidad de Jacobi.
5. , siendo el ángulo menor entre los vectores y ; esta expresión relaciona al producto vectorial con el área del paralelogramo que definen ambos vectores.
6. El vector unitario es normal al plano que contiene a los vectores y.

Bases ortonormales y producto vectorial

Sea un sistema de referencia en el espacio vectorial ℝ^3. Se dice que es una base ortonormal derecha si cumple con las siguientes tres condiciones:

1. ; es decir, los tres vectores son ortogonales entre sí.
2. ; es decir, los vectores son vectores unitarios (y por lo tanto, dada la propiedad anterior, son ortonormales).
3. , , ; es decir, cumplen la regla de la mano derecha.

Vectores axiales

Cuando consideramos dos magnitudes físicas vectoriales, su producto vectorial es otra mangitud física aparentemente vectorial que tiene un extraño comportamiento respecto a los cambios de sistema de referencia. Los vectores que presentan esas anomalías se llaman pseudovectores o vectores axiales. Esas anomalías se deben a que no todo ente formado de tres componentes es un vector físico.

Dual de Hodge

En el formalismo de la geometría diferencial de las variedades riemannianas la noción de producto vectorial se puede reducir a una operación de dual de Hodge del producto de dos formas diferenciales naturalmente asociadas a dos vectores. Así el producto vectorial es simplemente:

Donde denotan las 1-formas naturalmente asociadas a los dos vectores.

Producto vectorial (^18)

Generalización

Aunque el producto vectorial está definido solamente en tres dimensiones, éste puede generalizarse a dimensiones, con y sólo tendrá sentido si se usan vectores, dependiendo de la dimensión en la que se esté. Así, por ejemplo, en dos dimensiones el producto vectorial generalizado sólo tiene sentido si se usa un vector, y el resultado es un vector ortogonal. Desde un punto de vista tensorial el producto generalizado de n vectores vendrá dado por:

Otros productos vectoriales

Dados dos vectores, se definen tres operaciones matemáticas de tipo producto entre ellos:

• producto escalar
• producto vectorial
• producto tensorial El producto escalar de vectores permite determinar ángulos y distancias (véase operador norma) de una forma fácil y directa. El producto vectorial proporciona un modo para determinar ángulos y áreas de paralelogramos definidos por dos vectores de una forma tal que permitirá expresar volúmenes fácilmente mediante el llamado producto mixto de tres vectores. En el espacio afín bidimensional, , el producto vectorial es una operación externa, ya que da como resultado un vector que no pertenece al mismo espacio vectorial, esto es al plano definido por los dos vectores que se operan, por ser un vector perpendicular a dicho plano. En el espacio afín tridimensional, , el producto vectorial es una operación interna.

Véase también

• Producto escalar
• Doble producto vectorial
• Producto mixto
• Producto tensorial
• Espacio vectorial
• Combinación lineal
• Sistema generador
• Independencia lineal
• Base (álgebra)* Base ortogonal
• Base ortonormal
• Coordenadas cartesianas