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Conceptos Básicos del Sistema Diédrico: Teoría.
PARALELISMO
4.1.- RECTAS PARALELAS. Dos rectas paralelas en el espacio, lleva consigo el paralelismo de sus proyecciones,puesto que los planos proyectantes que las contienen, son necesariamente paralelosentre si. Este teorema es cierto siempre que estemos en la proyección cilíndrica, esdecir aquellas en la que los proyectantes son paralelos entre sí.Siendo dos los planos de proyección en el sistema diédrico, plano horizontal y planovertical, la condición establecida ha de cumplirse en ambas proyecciones, luego sitenemos dos rectas R y S en el espacio paralelas entre sí, tiene que cumplirse que lasproyecciones r’, s’ y r, s son paralelas entre sí. Recíprocamente, cuando dos rectastienen sus proyecciones tanto horizontales como verticales paralelas respectivamente,estas son paralelas en el espacio.
Fig. 89.-
Rectas Paralelas.
Para dibujar una recta, que pase por el punto A y que sea paralela a otra recta dada R,basta con dibujar por cada proyección del punto a’ a, una recta paralela a la proyeccióndel mismo nombre de la recta r’ r.
Conceptos Básicos del Sistema Diédrico: Teoría.
Fig. 90.-
Recta Paralela que pasa por un Punto.
4.2.-PLANOS PARALELOS. Para que una recta sea paralela a un plano, es necesario que la recta sea paralela a unarecta contenida en ese plano. Don planos son paralelos entre si cuando tienen sustrazas paralelas, tanto la horizontal como la vertical.
Fig. 91.-
Planos Paralelos.
Podríamos encontrarnos con el problema de que no conociésemos las trazas de losplanos; en este caso y para comprobar que dos planos son paralelos sería suficientecon que comprobemos que la dirección de horizontales y frontales de ambos planossean paralelas. En el caso de que ambas rectas fueran paralelas entre sí, podemosafirmar que dichos planos son paralelos entre sí.
Conceptos Básicos del Sistema Diédrico: Teoría.
4.3.-CASOS PRÁCTICOS. 1º)
Dibujar por un punto A, un plano paralelo a otro
. Trazamos una recta horizontal
cualquiera en el plano dado P’ P y por el punto a´ a, que es por donde queremosdibujar un plano paralelo a P, haremos pasar una recta paralela a la recta horizontaldel plano P. Esta recta denominada r’ r, cuando corta a la línea de tierra nos da aconocer el punto v’ v. Si por v’ trazamos Q’ paralela a P’ y donde encuentre a la líneade tierra, trazamos Q paralelo a P, obtendremos el plano Q’ Q paralelo a P’ P por elpunto a’ a.
Fig. 92.-
Plano Paralelo a Otro y que Pasa por un Punto.
Trazar por un punto A, un plano paralelo a dos rectadas dadas.
Bastará con que
por el punto a´a tracemos, dos rectas paralelas a las anteriores T y S y hallar las trazasdel plano que nos determinan las trazas de las rectas. En este caso, el plano Q esparalelo a las rectas S y T, por contener dos rectas paralelas a las indicadas.
Fig. 93.-
Plano Paralelo a dos Rectas que se Cortan.
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3º) Trazar por un punto A un plano paralelo a otro P que además sea paralelo a lalínea de tierra
. Para la resolución de este ejercicio, utilizaremos un plano de perfil que
pase por a’ a y abatimos el punto, para obtenerlo en verdadera magnitud. Abatimos elplano P en el plano de perfil. Por el punto A, pasamos el plano Q paralelo al plano P ydeshaciendo el abatimiento trazamos Q Q’ paralelo a P P’, obteniéndose por tanto lasolución.
Fig. 94.-
Plano Paralelos a la Línea de Tierra.
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Fig. 97.-
Perpendicularidad Entre Recta y Plano.
Planos Perpendiculares entre sí. Este
problema
admite
infinitas
soluciones,
puesto
que para
que
un
plano
sea
perpendicular
a
otro,
basta
que
este
ultimo
contenga
a
una
recta
que
sea
perpendicular al plano inicial 3º) Trazar un Plano perpendicular a otro y que pase por el punto A.
Por el punto a´a,
trazamos la recta r perpendicular a las trazas del plano P, la cual define las trazas delplano Q coincidente con r por ser proyectante, y Q´, por dicho motivo perpendicular ala línea de tierra. El punto a´a pertenece a ambos planos, por encontrarse en la recta rde intersección de ambos.
Fig. 98.-
Perpendicularidad Entre Planos.
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4º)
Trazar
la proyección cilíndrica ortogonal sobre un plano P’ P de la recta r’ r.
Primeramente tendremos que explicar que es la proyección cilíndrica ortogonal de unarecta sobre un plano. La proyección cilíndrica ortogonal es la proyección de la rectasobre el plano. Si hablamos de la proyección de una recta sobre los planos deproyección, entendemos que estamos hablando de las proyecciones, verticales yhorizontales, de la recta sobre los planos de proyección, es decir r´y r. En este caso, elplano de proyección es el plano dado y por lo tanto
podremos determinar la
“ proyección o sombra
” de la recta sobre ese plano.
Para la resolución de este ejercicio hallaremos primeramente la intersección de larecta r’ r con el plano P’ P que nos da el punto b’ b. Posteriormente desde un puntocualquiera de la recta r’ r como el punto a’ a, se traza la recta perpendicular a P’ P quedenominaremos s’ s y se halla la intersección de s’ s con P’ P, que resulta ser el puntoc’ c. Uniendo b’ con c’ y b con c, obtenemos la sombra o proyección de la recta r’ r ensu tramo ab y a’b’ sobre el plano P’ P con luz perpendicular al plano inclinado P’ P.
Fig. 99.-
Proyección Cilíndrica ortogonal.
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DISTANCIAS
6.1.- INTRODUCCIÓN. La distancia verdadera entre dos puntos dados por sus proyecciones, en el sistemadiédrico, no se manifiesta directamente sobre los planos de proyección,
salvo que el
segmento de unión de ambos puntos se muestre paralelo a uno de los planos
, en
cuyo caso la proyección paralela será la longitud buscada. La verdadera magnitudentre dos puntos puede obtenerse mediante métodos directos, que se van a ver eneste tema, o mediante la realización de giros, abatimientos y cambios de plano, que severán con posterioridad.Así el triangulo ABC, se proyecta ortogonalmente según el triangulo a b c, menor queel primitivo. El segmento d e es menor en longitud que el del espacio, en cambio elsegmento m n, paralelo al plano de proyecciones, se proyecta según m n igual al delespacio.
Fig. 100.-
Proyección de Objetos.
Fig. 101.-
Proyección de Segmentos en Verdadera Magnitud.
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La distancia entre dos puntos A y B, figura 102, es la longitud del segmento D cuyosextremos son los puntos dados. Conocida la proyección ortogonal del segmento sobreel plano P, es decir ab, observamos que las alturas de cada uno de los puntos, son lasperpendiculares al mismo trazadas por cada uno de ellos. Trazando por el punto A, unaparalela al segmento ab tendremos construido un triangulo, el A-B-B1, del cualconocemos el cateto A-B1 y el cateto B-B1. La hipotenusa de este triangulo es ladistancia buscada D.
Por lo que, para determinar la distancia entre dos puntos, basta
con determinar la hipotenusa del triangulo rectángulo cuyos catetos conocemos
Fig. 102.-
Distancia de un Segmento.
En el sistema diédrico, para determinar la distancia D, podemos operar con laproyección horizontal d, en cuyo caso el triangulo rectángulo se formará tomandocomo cateto base esta proyección, y a partir de ésta trazaremos una perpendicular delongitud h igual a la diferencia de cotas medida en proyección vertical, puesto que éstaes la diferencia de distancias de cada uno de los extremos A B al plano de proyecciónhorizontal tomado. Una vez determinados los dos catetos, bastará con que cerremos eltriangulo rectángulo y la hipotenusa será la Distancia D del segmento en Verdaderamagnitud.
Fig. 103.-
Verdadera Magnitud de un Segmento.
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Fig. 106.-
Distancia de un Punto a una Recta.
6.4.- DISTANCIA ENTRE DOS RECTAS PARALELAS. La distancia entre dos rectas paralelas R y S se determina por la longitud del segmentoAB, perpendicular común a ambas rectas. Trazamos un plano P perpendicular a ambasrectas, por lo que las trazas del plano, serán perpendiculares a las proyecciones de lasrectas.
Determinamos
las
intersecciones
de
las
Rectas
R
y
S
con
el
plano
P;
Recordamos que para determinar la intersección entre una recta y un plano, hay quecontener la recta en un plano y determinamos la intersección entre los dos planos. Larecta intersección cortará a la inicial en el punto de corte que buscamos. Contenemoslas rectas R y S en los planos proyectantes Q y T y determinamos las intersecciones conel plano P. Esas rectas cortarán a las rectas R y S en los puntos A y B. Una vezdeterminados los puntos, solo nos queda determinar la verdadera magnitud medianteel método de la diferencia de cotas, siendo la distancia buscada la marcada con la letraD.
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Fig. 106.-
Distancia Entre Dos Rectas Paralelas.
6.5.- DISTANCIA ENTRE DOS PLANOS PARALELOS. La distancia entre dos planos paralelos es la longitud del segmento AB contenido enuna recta perpendicular a ambos planos. Partiendo de los planos paralelos, trazamosuna recta R, perpendicular a ambos planos y determinamos la intersección de dicharecta con los planos. Estas intersecciones son los puntos A y B, que son los extremosdel segmento cuya distancia queremos determinar. La distancia real D, se hallamediante el método de la diferencia de alturas.
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Fig. 107.-
Distancia Entre Dos Planos Paralelos.
