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MAPA CONCEPTUAL SOBRE CONCEPTOS ESTADISTICOS BASICOS
EL PAPEL DE LA ESTADÍSTICA
CONCEPTOS
BASICOS
CLASIFICACION DE
LA ESTADISTICA
ESCALAS
DE MEDIDA
POBLACION
Y
PARAMETROS
DECRIPTIVA
INFERENCIAL
CUANTITATIVAS
NOMINAL
VARIABLES
DISCRETAS
ORDINAL
DE INTERVALO
DE RAZÓN
CONTINUAS CUALITATIVAS
En las diversas áreas y especialidades de la formación profesional y científica la estadística constituye una ciencia
auxiliar y complementaria ,que utiliza técnicas, métodos, modelos y procedimientos para el análisis cuantitativo y
cualitativos de los fenómenos y hechos que les interesa estudiar a los profesionales. 1
MUESTRA
Y
ESTADÍSTICAS
Estadística descriptiva e inferencia estadística
Es una área de la ciencia que se ocupa de la extracción de información a partir
de datos numéricos y su uso en las inferencias acera de una población de la cual
se obtienen los datos .La estadística es capaz de evaluar la exactitud de dichas
inferencias.
Estadística
Estadística descriptiva
En presenta la información proporcionada por un conjunto de datos u observaciones en forma
conveniente ,útil y compresible, eso se logra :
a) Organizando los datos (tabla de distribución de frecuencias).
b) Presentando los datos en forma grafica (histograma, polígono de frecuencias y ojiva).
c) Analizando los datos (medidas de tendencia central y de dispersión).
Inferencia Estadística(estadística inductiva).
Se ocupa de generalizar la información que proporciona la estadística descriptiva. (^2)
Variables y tipos de variables Características de interés acerca de cada elemento de una población o una muestra .las variables se representan con letras mayúscula ,teles como X,Y,Z, etc. Clasificación de variables
Variable cualitativa o categórica:
Resultado de un proceso que categoriza o describe un elemento o unidad elemental de una población. Ejemplos: X: Calidad del servicio del supermercado(malo, bueno, muy bueno, excelente). Y: Tipo de establecimiento comercial Z: Estado civil o conyugal. W: Régimen de tenencia de la vivienda (alquilada, propia, propia por invasión ,cedida por el centro de trabajo, etc.). Pueden ser : Nominal .- Son aquellos datos con lo que no se puede establecer un orden. Ejemplos: Las variables: Y, Z y W son variables cualitativas nominales. Jerarquía u ordinal.- son aquellos datos con los que se puede establecer un orden entre sus atributos. Ejemplos: Las variables :X y V son variables cualitativas jerárquicas.
Variable cuantitativa o numérica :
Es el resultado de un proceso que cuantifica.
Ejemplos:
X: Número de ventas diarias de cierto establecimiento.
Y: Número total de habitantes que tiene la vivienda
Z: Facturación diaria de cierto establecimiento (en
u.m.)
W: Frecuencia de compra
V: Gasto en alquiler de vivienda (en u.m)
Puede ser:
Discreta .-son aquellas que toman valores enteros
Continua .- son aquellas que toman cualquier valor
numérico de un intervalo.
Ejemplos:
La variables X ,Y y W son variables cuantitativas
discretas ,mientras que las variables Z y V son
variables cuantitativas continuas.
Dato u observación
Es el valor de la variable, asociado a un elemento o unidad elemental de una población o una
muestra ;pueden ser: dato cualitativo (atributo) o dato cuantitativo(numérico); se representan con
letras minúsculas ,por ejemplo: ,,, etc.
= regular ,significa que la calidad del servicio del supermercado es regular
= 978,00u.m,significa que el día 26 se facturo 978,00u.m.
= casada, significa que la persona numero 89, su estado civil es casada
= 2,significa que el numero de habitaciones que tiene la vivienda es 2
Parámetro y valor estadístico
Parámetro
Es una constante que describe una característica numérica de una población.
Principales parámetros:
Medidas de tendencia central : media, mediana y moda
Medidas de variabilidad: la varianza ,desviación estándar ,coeficiente de variación etc.
Valor estadístico
Característica numérica de una muestra y son análogos a los parámetros. La notación difiere respecto a
los parámetros.
ORGANIZACIÓN Y RESUMEN DE DATOS
1) Cálculo de la longitud (o recorrido)
2) Cálculo del numero de intervalos
Como:y podemos comparar R y donde si: no hay dificultad no hay dificultad necesita corrección Y se comenzara a construir la tabla con.
𝐾 = 1 +3,3 log 𝑛
Donde n = numero de observaciones Además K debe ser siempre entero Usualmente “K” Debe redondearse al entero inmediato superior. Otra expresión que se puede emplear es k=
3) Calculo de la amplitud (o ancho de la clase)
𝐴 = 𝑅 𝐾 = 𝑥𝑚𝑎𝑥 − 𝑥𝑚𝑖𝑛 𝐾 Ese valor de A debe ser un numero exacto. No se reduce la amplitud del recorrido. Una vez obtenidos los intervalos ,establecido los limites se representa como ; son :limite inferior y :limite superior del intervalo respectivamente. Podemos obtener si fuese necesario , la marca de clase que demostraremos minúscula) 𝑥𝑖 =marca de clase= 𝐿𝑖 + 𝐿𝑠 2 Se puede determinar con la regla de sturges La tabla exprésa los pesos (en kg) de una muestra de mujeres adultas de una localidad. Ejemplo 93 63 83 96 103 100 96 104 100 94 96 101 89 100 125 132 102 94 106 101 102 100 101 99 101 103 132 104 94 101 95 80 98 118 114 101 101 102 127 97 101 90 102 103 121 71 99 81 95 123 100 73 108 100 107 82 107 104 115 68 100 80 94 98 97 85 104 88 96 107 84 125 108 70 93 105 87 98 116 100 93 75 92 103
Hallemos el tamaño de la muestra
Cálculo de la longitud o recorrido (R) de la variable:
Cálculo del número de intervalos
Cálculo de la amplitud de los intervalos :
Los intervalos son:
Por conteo simple, el numero de cantidades es n=
Según sturges:
(Recuerda que K debe ser entero) 𝑊 = 𝑅 𝐾 = 70 7 ⇒ 𝑊 (^) ¿ 10 ∣ 63 ∣ 73 ∣ 83 ∣ 93 ∣ 103 ∣ 113 ∣ 123 ∣ 133
2 𝐼^^3
6
TABULACIÓN
Se ocupa de generalizar la información que proporciona la estadística descriptiva. intervalos Marca de clase Tarjas Numero de elementos por intervalo Frecuencia absoluta ∣∣∣∣ 4 ∣∣∣∣∣ 6 ∣∣∣∣ ∣∣∣ 8 ∣∣∣∣ ∣∣∣∣ ∣∣∣∣ ∣∣∣∣ ∣∣∣∣ ∣∣∣∣ ∣∣∣∣ ∣∣∣∣ 40 ∣∣∣∣ ∣∣∣∣ ∣∣∣∣ 14 ∣∣∣∣ ∣ 6 ∣∣∣∣ ∣ 6 n=
Frecuencia absoluta ()
Es el numero de veces que se repite el valor de una variable. En el cuadro ultimo mostrado : los puntajes efectuados por los alumnos.
Frecuencia absoluta acumulada ()
Resulta de ir sumando sucesivamente las frecuencias absolutas y se representa por: donde Frecuencia relativa () Es el cociente entre la frecuencia absoluta y el numero total de datos. Es decir: Marca de clase () Propiedades de las Frecuencias Frecuencia relativa acumulada () Resulta de ir sumando sucesivamente las frecuencias relativas simples se representa por. con de la forma: Las frecuencias tanto absolutas como acumuladas son números enteros II. Generalmente las frecuencias relativas acumuladas positivos. son números decimales positivas y menores (o igual) que 1. Es el punto medio de cada intervalo y es representativo del mismo.
2. Mediana
Es la medida de tendencia central que divide un conjunto ordenado (en forma creciente o decreciente)en dos grupos iguales de modo que la mitad (50%) de las observaciones tendrá valores que son menores que la mediana y la otra mitad (50%)alcanzara valores mayores que esta. Posición de la mediana : ,si es una muestra ,si es una población.
Si n es impar:
La mediana es la observación que esta en el lugar (n+1)/2, esto es:
Si n es par:
La mediana es el promedio de las observaciones n/2 y n/2+1,esto es :
Ejemplo
- Encuentra la mediana para el siguiente conjunto de datos :9,12,5,16,8,3,
Solución
Primero se ordenan los datos: 3 5 8 9 11 12 16 Una vez ordenados ,como el numero de datos impar (7),se busca el que tiene la posición o sea. este numero es el 9 y representa la mediana.
Propiedades
- La mediana no esta afectada por valores extremos (no pierde representatividad).
2. Si k es una constante ⇨
3. Si k es una constante ⇨
3. Moda
Es el valor que se presenta con mayor frecuencia en un conjunto de datos mo = observación con mayor frecuencia
Ejemplo:
Muestra: 2;4;5;5;0;6;8;8;8;3;3;6;6; Mo = 8 Dist. Monomodal Población: 5;6;7;8;7;6;7;12;12; Mo´=7 Mo´´=12 Dist. bimodal Muestra: 1;5;4;3;7; No hay moda Dist. amodal o uniforme
( 𝑛 + 1 2 ) 𝑚𝑒 = 𝑋
𝑛
𝑛
2 +^1 )
2
- Moda es una medida de tendencia central muy inestable porque cambia de valor al pasar de una muestra a otra.
- Si la moda se calcula con datos no agrupados (desagrupados) entonces coincide con algunas de sus observaciones.
- Si , k es una constante
- Si , k es una constante
Propiedades
4.- Media ponderada
Sea los pesos asociados a los valores de una variable
entonces la media de X o media ponderada de :
la formula dada para la media o promedio automático asume
que todos las observaciones son de igual importancia pero
existen excepciones donde cada valor de la variable tiene una
importancia o peso propio
Medidas de tendencia central para datos
agrupados.
1. Media:
Donde : marca de la clase i. frecuencia absoluta de la clase i
Donde:
i =clase mediana ,posición (n+2)/2(la clase mediana es el intervalo dado un conjunto de datos agrupados de clase donde en la columna de los acumulo a supero el 50% de los datos ) Limite inferior de la clase mediana Frecuencia absoluta de la clase i anterior a la clase mediana. Frecuencia de la clase mediana.
2. Mediana
3. Moda :
∑ 𝑖 = 1 𝑘 𝑋 (^) 𝑖 𝐹𝑖 𝑛 , 𝑋 =∑ 𝑖 = 0 𝑘 𝑋 (^) 𝑖 h 𝑖 𝑀𝑒≅ 𝐿𝐼𝑖 +
[
𝑛 2 − 𝐹𝑖 − 1
]
𝑓 (^) 𝑖 𝑊
[
𝑑 1 + 𝑑 2 ]
𝑋 (^) 𝑝 = ∑ 𝑖 = 1 𝑘 𝑋𝑖 𝑊 (^) 𝑖 ∑ 𝑖 = 1 𝑘 𝑊 (^) 𝑖
Donde:
i =clase modal ,es el intervalo de clase de mayor frecuencia absoluta. Limite inferior de la clase modal diferencia entre la frecuencia absoluta de la clase modal y la clase pre- modal: diferencia entre la frecuencia absoluta de la clase modal y la clase post modal:
3.5 Medias de variabilidad o dispersión
1. Rango (amplitud o recorrido).
Es la diferencia entre el mas alto y el mas pequeño de los valore observados.
Muestra : a
Población : A
Rango = (valor mas alto)-(valor mas pequeño) El rango es una medida de variabilidad absoluta expresada en las unidades de las observaciones, qué nos da una idea imprecisa e inestable de la variabilidad.
2.Varianza
Es una medida de la variación absoluta expresada en las unidas de las observaciones ,elevadas al cuadrado. Es el promedio de los cuadrados de las desviaciones con respecto ala media
Población:
Muestra:
numero de la variables linealmente independientes que defines a una variable dependiente.
Donde :
es el i-ésimo dato o observación
es la media aritmética para datos no agrupados
es el numero de datos
La primera formula es la definición de la varianza y la
segunda formula es resultado de desarrollar el binomio al
cuadrado de la primera formula y aplicarle las propiedades
de la sumatoria.
𝑆^2 =
𝑖 = 1 𝑛 ( 𝑋 (^) 𝑖 − 𝑋 ) 2 𝑛 − 1 =
𝑖 = 1 𝑛 𝑋𝑖 2 − 𝑛 𝑋 2 𝑛 − 1 ( 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑑𝑖𝑔𝑟𝑎𝑓𝑜 ) 𝜎^2 =
𝑖 = 1 𝑁 ( 𝑋𝑖 − 𝜇^ ) 2 𝑁 =
∑ 𝑋^ 𝑖
2 − 𝑁 𝜇 2 𝑁 =
∑ 𝑋^ 𝑖
2 𝑁
− 𝜇^2 ( parametro) 13
3. Desviación estándar
4. Coeficiente de variabilidad
Es una medida de variación absoluta expresada en las unidades de la observación. Es la raíz cuadrada de la varianza. Ejemplo: Calcular la desviación estándar para el siguiente conjunto de datos. 5 9 12 7 15 3 Solución Con el calculo de la varianza previo 4, La varianza o la desviación estándar se utiliza para comparar 2
conjuntos d datos expresados en las mismas unidades y cuyos valores
medio ( promedio) son aproximadamente iguales.
Ejemplo :
Como la desviación de variación estándar de la empresa B es mayor que la A. Los sueldos de la empresa B son ms variables que los sueldos de la empresa A. Es una medida de variación relativa que no tiene unidades ,y que expresa el numero de veces que la desviación estándar contiene a la media. Muestra : Población :
Ejemplo
Calcular el coeficiente de la variación para el siguiente conjunto de datos : 5 9 12 7 15 3
Solución:
Del ejemplo anterior la media aritmética resulto 8,5 y la desviación estándar 4, La desviación estándar para este conjunto de datos representa el 47,88% de su media aritmética. El coeficiente de variabilidad se usa para comparar un conjunto de datos que tiene diferente unidades o cuyos valores medios (promedios)son muy diferentes
