conjunto cantor, Apuntes de Derecho Civil

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MISCELANEA MATEMÁTICA 24 (1996) 23-37 SMM <> El Conjunto de Cantor José Galavíz Casas Instituto de Matemáticas, Universidad Nacional Autónoma de México Resumen Este trabajo es una recopilación de casi todos aquellos teo- temas, lemas y proposiciones referentes al conjunto de Cantor que generalmente se analizan, o por lo menos se mencionan, en los cursos de matemáticas a nivel licenciatura. Algunos de ellos se demuestran en los mismos cursos o en los textos uti- lizados, pero muchos otros no. Por otra parte, los resultados acerca de este conjunto se encuentran dispersos en la literatura, no es posible encontrar una fuente donde se encuentren todos juntos, en parte porque los conocimientos necesarios para com- prenderlos son disímiles. Estas son las razones fundamentales que motivaron este trabajo. Las demostraciones que aparecen en él son originales en el sentido de que no fueron extraídas de ningún texto, fueron inventadas por el autor. Se asume que el lector recuerda algunos resultados acerca de series y posee un conocimiento elemental de topología. 1 Introducción El conjunto de Cantor de tercio medio es, probablemente, el más usual ejemplo y contraejemplo de cuantos se utilizan en el estudio de ciertas áreas de las matemáticas. Fue construido por primera vez a fines del siglo XIX por Georg Cantor para resolver un problema que se había planteado en el marco de la naciente topología, a saber, si existía o nó un subconjunto compacto no vacío de R que fuera totalmente disconexo y denso en sí mismo. Cantor probó que sí existe, más tarde ya en el siglo XX se demostró que todos los conjuntos con estas características son topológicamente equivalentes (homeomorfos). El presente trabajo 24 JosÉ GALAVÍZ CASAS reune una buena cantidad de los resultados más interesantes respecto a este famoso objeto. Antes que nada se recordará cual es el proceso de construcción del conjunto de Cantor. Supóngase que al intervalo cerrado [0,1] se le divide en tres subintervalos de igual longitud: [0,1/3), (1/3, 2/3) y (2/3, 1] y que se le quita el tercio medio, a saber el intervalo (1/3, 2/3). El conjunto que queda está constituido por los intervalos [0,1/3] y (2/3, 1]. Supóngase ahora que cada uno de estos intervalos es dividido a su vez en tres partes iguales y que se quitan los tercios medios de cada intervalo. Si repetimos este proceso una infinidad de veces obtendremos el conjunto de Cantor. Es decir, si denotamos por C, a la unión de todos los intervalos cerrados que permanecen hasta el paso n (o n-ésima iteración), el conjunto de Cantor es € = ¿lim Cn. Denotemos por J,; al i-ésimo intervalo presente en la n-ésima ¡te- ración y por f,¿ al j-ésimo ausente en la misma iteración. Como se puede observar en la tabla siguiente qn Ca= Uds. k=1 Además o c=NC, n=1 Iteración n Cn 0 do, = [0,1] 1 41,1 = (0, ha = E, 1] 2 3 3 (cont.) 2 Medida y cardinalidad Sea y la función de medida (Jongitud) en RR, C el conjunto de Cantor de tercio medio y C“ el complemento del mismo ( €* =[0,1]1 € ) 26 JosÉ GALavíz CASAS [n= s,] Al construir los conjuntos ./, dentro de J(s-1),1 Para el siguiente nivel de iteración tenemos: pS e y ES en. 3s* gs 3s >” 3s Dado que FR es par R = 2g para alguna q € N y 3R = 3(29) =2(3q) es par. Por lo tanto 3R+1 es impar. Además R+1) Ry1 3 TF gai el cual era impar por hipótesis. nm Ahora se utilizarán las expresiones ternarias de los números en el intervalo unitario, recuérdese que en dichas expresiones solo son posibles los dígitos 0, 1 y 2 y cada posición en el número corresponde a una potencia de 1/3, Proposición 2 Si x es un múltiplo impar de una potencia de 1/3 en- tonces existe una expresión ternaria finita para z. Demostración: ]y no 2-1 yy 0-0) -E0) es-0(5)=E ( y esta sumatoria, evidentemente se expresa en, a lo más, n dígitos ternarios, » Proposición 3 Si zx es un múltiplo impar de una potencia de 1/3 con representación ternaria finita 0.tit...t, entonces existe i € (1,2, ..., n) tal que t;= 1. Demostración: (por reducción al absurdo) x es múltiplo impar de una potencia de 1/3, por lo tanto == (25-112). EL CONJUNTO DE CANTOR 27 Supóngase que tiene una representación ternaria finita (0.t, ta, ...ta) donde para toda ¿ € (1,2, ..., 1) se tiene que t, € (0,2). Sea di, da, ..., d, la sucesión creciente de índices tales que tq =2 para toda jE(1,2,...,r) entonces 8 Il 2 G)- 2 ON +..+2 5) 2 [0 + 0 ++ 6) 1 EA. Sea s =3%-=% 4 3-4 4... 41 entonces Ly 4 x= 2st= Ñ (5) lo que contradice la hipótesis de que x es múltiplo impar de una potencia de 1/3. u Teorema 2 Para todo n € N la expresión ternaria de los elementos de TI, 4 para toda k € (1,2,..., 2” — 1) tiene, al menos, un 1 involucrado. Demostración: De las proposiciones 2 y 4 se deduce que para toda n € N.los extremos derechos de los intervalos J,,, que son los extremos izquierdos de los 7, ; tienen una representación ternaria con, al menos un 1 involucrado. Además, dado que todos los elementos de /,¿ dis- tan de su extremo izquierdo en menos que (1/3) entonces la expresión ternaria de dicho extremo es un subconjunto de la expresión correspon- diente a cualquier elemento de /, 4. Es decir, si la expresión ternaria del extremo izquierdo de un /, ¿ es 0.a¡a2...a, entonces la expresión ternaria de cualquier punto de J,, « es 0,a102...anbib2... donde, al menos uno de los dígitos a; es 1. " Proposición 4 El conjunto de Cantor tiene una cardinalidad mayor o igual a la del intervalo (0, 1). EL CONJUNTO DE CANTOR 29 Demostración: x € Cn => zx E Js para alguna k € (1,2,..., 221), Sean yi y ya los extremos de dicho J, 4. Tenemos que: YyS|z- yl entonces Con C* se denota el conjunto derivado de C (es decir, el conjunto de puntos de acumulación de C). Teorema 4 CCC”. Es decir, el conjunto de Cantor es denso en sí mismo; todos sus puntos son de acumulación. Demostración: Sea z € C > zx € C, para todo n € N. Por lo tanto para cada n € N existe y(n) € C tal que: 1 [a — y <> y 1 4 y (por la proposición anterior). Sea e >0 y N tal que In(3 1 A 1yY $ —loga (e) < N > —logz (e) < N 1082 (8) e ¿ < No 6) <€ N entonces existe y (NV) tal que y 4 x y le —y| < (5) < e por lo tanto: rec =>ccc” Proposición 6 Para todo n € N , C,, es cerrado. 30 José GALAVÍZ CASAS Demostración: Por definición: 2"-1 CG= Uds k=1 y cada Jn 4 es un intervalo cerrado. La unión finita de conjuntos cer- rados es un conjunto cerrado. Por lo tanto para todo n € N, C,, es cerrado. -] Teorema 5 C es cerrado. Demostración: Para todo n € N, C, es cerrado, por la proposición anterior. Por definición: c=NMc De i=1 C es la intersección numerable de conjuntos cerrados, luego C es cerrado. ” Teorema 6 C es perfecto (cerrado y denso en sí mismo). Demostración: Del teorema 4 y el teorema 5 se deduce inmediatamente lo deseado. ” Por B,(x) se denotará la bola abierta de radio r y centro en z. Proposición 7 Sizx€C, , (n> 0) entonces B,(1) NC: 4 0 con: 1 r= 2n (por C;. denotamos [0, 1]X €, ). Demostración: Si x € Cn =>x € Jay para alguna k € (1,2,..., 2? — 1). Sean y y yz los extremos de dicho intervalo. Es decir, Jn, = [yr yo]. Por construcción del conjunto de Cantor: h p=lol Y YA = 3 7 Dado que z € [y,, yo] ocurre: yy < x < yo así que 1 1 aloe lim ad. < o 32 JosÉ GALAvÍz CASAS Definición 2 La cerradura de un conjunto A es la intersección de todas las cubiertas cerradas de A. Es decir, es el mínimo conjunto cerrado que contiene a A. La cerradura de A se denotará con 47. Definición 3 Un conjunto A es denso en ninguna parte sí y sólo sí el interior de la cerradura de A es vacío, Teorema 8 € es denso en ninguna parte.. Demostración: C— =C y el interior de C es vacío, por lo tanto el interior de C” es vacío. n 4 Algo más Proposición 8 Se tiene que 1/4 € C. Demostración: Observación K 1/3-1/9<1/4<1/3 1 1/3-1/9<1/4< 1/3 1/9+1/27 2 1/3 — 1/9+1/27— 1/81 < 1/4 <1/3—1/9+1/27 3 1/3 —1/9 + 1/27 - 1/81 < 1/4 < 1/3 —1/9+ 1/27 —1/814+1/243 | 4 En general Ñ con k impar: Ggy1 <= 1 con k par: 4 < q < Oh Donde E ana Ñ 2) Ev” n=1 Por construcción az € € para todo k € N dado que a, es un extremo de los intervalos cerrados que van quedando en €, a los que hemos llamado ¿,'S. qyn 5.=((5) ) con nEN. Definimos La sucesión S, es decreciente y de términos mayores que cero para todo n € N. Además 1 Jim (5) =0. EL CONJUNTO DE CANTOR 33 Entonces, por la prueba de las series alternantes de Leibniz Ear n=1 CONVETge. Sea 2% qyn (5) ya n=1 3 ahora bien, dado que todos los puntos de acumulación de € están en € y dado que, para cada k € N la suma parcial k 11? 25) Eo n=1 es elemento de €, se tiene que a es elemento de € dado que es punto de acumulación de la sucesión de sumas parciales y cada suma parcial está en C. Ahora se mostrará que Q == 1/4. Para ello se separará la serie original en dos series 1. La suma de términos negativos o 11m oo ¿11 2m c= Y (5) >0+1=53 (5) ma NS mao NS Esta es una serie geométrica con razón (1/3)? < 1 y por lo tanto converge a 1 9 C+l= 1-17 3 de donde cl 8 2. La suma de los términos positivos Así que finalmente: 3 =B-C =*- a=B >a 3 EL CONJUNTO DE CANTOR 35 fractales y se denomina autosimilitud. En el caso particular de objetos autosimilares tan sencillos como el conjunto de Cantor y el triángulo de Sierpinski, la dimensión fractal es el cociente: p= In(y) ln (2) donde N es el número de veces que se reproduce el objeto inicial en la primera generación y e es la escala a la que se encuentran las di- mensiones de las reproducciones. En caso del conjunto de Cantor en la primera generación quedan dos (N = 2) intervalos iguales al [0, 1] pero a escala 1/3 (e = 1/3) del original; así que la dimensión fractal del conjunto de Cantor es: _ ln(2) MO) 2 (5) 16) lo que corresponde con la idea intuitiva de que el conjunto de Cantor es más gordo que los puntos pero mas deshilado que un segmento de recta. En el caso del triángulo de Sierpinski donde quedan 3 triángulos equiláteros con lado igual a la mitad del original: 2 0.63 _— In(3) In) 9) 0 que análogamente coincide con la idea de que el objeto en cuestión es algo que está entre una línea y un plano. Así como el triángulo de Sierpinski existen muchos otros objetos = 1.58 extraños y fascinantes, hablar de ellos rebasaría con mucho los obje- tivos de un artículo sobre el conjunto de Cantor. Sin embargo el lector interesado podrá consultar las obras sobre fractales mencionadas al fi- nal de este documento. Especialmente recomendables son los primeros capítulos del libro de Mandelbrot y el apéndice sobre curvas patológicas del libro de Kasner y Newman. 6 Conclusiones Como se ha visto, el conjunto de Cantor reune las características más aparentemente contradictorias e interesantes. Tiene una infinidad no numerable de puntos pero ningún intervalo cabe en él, es denso en sí 36 JOSÉ GALAVÍZ CASAS mismo pero también denso en ninguna parte y contiene muchos más puntos que los extremos de los intervalos que se forman durante el proceso de construcción. Por si esto fuera poco nos abre las puertas de la geometría fractal, una rama muy joven y sin embargo muy extensa de las matemáticas. A pesar de que este artículo se ba dedicado casi exclusivamente al conjunte de Cantor no agota la exploración de este objeto. Hay aún cosas interesantes que hacer. Por ejemplo: hacer un programa de computadora que reciba como dato n y que mediante recurrencia dibuje en la pantalla las primeras n generaciones del proceso de construcción del conjunto; o bien considerar el intervalo [0,1] como una barra de material con masa unitaria y sin volumen (objetos de uso común en la física) y pensar que siempre que se retira un intervalo la masa de éste se redistribuye uniformemente entre los que quedan, de tal forma que la masa total del conjunto se conserva y luego dibujar la gráfica de cada una de las funciones: gn(z) = / "onda donde p, es la densidad lineal de los segmentos de barra de la generación n; gn(x) es la cantidad de masa contenida desde 0 hasta x en el conjunto de Cantor de generación n, así que siempre gn(1) = 1 para toda n. El lector curioso sin duda pronto averiguará por qué a la función g(=) = lima>00 9níx) se le denomina la escalera del diablo. También con ayuda de una computadora es posible explorar otros objetos igualmente fascinantes, como el ya mencionado triángulo de Sierpinski y algunos otros que se encuentran en la literatura mencionada a continuación. Referencias [1) Barnsley, M. Fractals Everywhere. Academic Press Inc. 1988. [2] Bartle, R. Introducción al Análisis Matemático. Limusa, 1982. [8] Falconer, K. Fractal Geometry, Mathematical Foundations and Ap- plications. John Wiley $ Sons. 1990. [4] García-Maynez, A. y Tamariz Mascarúa, A. Topología General, Ed. Porrúa. 1988.