La gravitación, Apuntes de Física

¡Descarga La gravitación y más Apuntes en PDF de Física solo en Docsity!

47. 48. VI. Gravitación Un satélite arl l se lanza, en dirección paralela a la superficie de la Tierra, desde una altura h=500km. Determinar su velocidad inicial, vo, para que describa una órbita circular. Suponer que los únicos datos, además de la altura h, son el radio de la Tierra (R =6.371km) y la aceleración de la gravedad en la superficie de la Tierra (y =9,8m/s?). Solución: Como nos dicen que el movimiento será circular. tendrá que cumplir mn % Mm RENT REN? donde M es la masa de la Tierra y m la masa del satélite. En primer lugar vemos que la masa del sai aparece en los dos miembros de la ecuación, por lo que puede simplificarse, de forma que no interviene en la solución del problema. Para calcular la masa de la Tierra suponemos el satélite justo en la superficie terrestre, de forma que la segunda ley de Newton nos dice que v= que sustituyendo los valores nos da, vo = 7,6kms”* Una partícula está sometida a una fuerza atractiva que varía en razón inversa del cuadrado de la distancia, F =—k/r?. La trayectoria seguida por la partícula es una circunferencia de radio r. Demostrar: a) que su energía total E vale —k/2r; b) que su momento angular es L=(mkr)! Solución: a) Como F es una fuerza central, el campo de fuerzas es conservativo, por lo que la energía potencial se puede calcular como O L L y, de acuerdo con el principio de la c: mservación de la energía mecánica 1 Esotal = E¿+U= gro + (=k/r) pero como la partícula se mueve en una circunferencia de radio r, la fuerza que act bre ella valdrá F = —mov?/r = —k/r? (recordar que el signo - indica que tanto la fuerza como la aceleración están dirigidas hacia el centro de fuerzas), es d 1o._k ¿mo > Sustituyendo este valor en la expresión para la energía total nos queda k Esotal == total > 48 49. b) En el apartado anterior se dedujo que la velocidad valía v = (k/mr)/?, de forma que el momento angular (su módulo) vale mr py L=rmv=rm ( ) = (mkr)'? que es lo que queríamos demostrar. Una pequeña luna de masa m y radio a orbita alrededor de un planeta de masa M de- scribiendo un círculo de radio r y manteniendo siempre la misma cara hacia el planeta. Suponiendo que r > a, demostrar que si la luna se acerca al planeta a una distancia menor que r. =a(3M/m)!/%, una roca “suelta” sobre la superficie de la luna se elevará (en relación a la superficie lunar) por efecto de la atracción gravitatoria del planeta. Solución: Consideremos una pequeña roca de masa j sobre la superficie de la luna. Como nos dicen que la luna mantiene la misma cara hacia el planeta en su movimiento circular, la velocidad de la roca será la misma que la de la luna alrededor del planeta, que viene dada por GMm/r? = mw? /r = mra? , donde hemos usado la velocidad angular w = w/r. De aquí deducimos que GM y3 (1) Escribamos ahora la segunda ley de Newton para la roca sobre la luna. Las fuerzas que actúan sobre la misma son: la fuerza de atracción gravitatoria de la luna sobre la roca, dirigida hacia el centro de la luna; la fuerza de atracción gravitatoria del planeta sobre la roca, dirigida hacia el centro del planeta, y la fuerza de contacto, F, entre la roca y la luna, es decir, la fuerza normal que la luna ce sobre la roca y que impide que esta “penetre”, por efecto de la atracción gravitatoria, en el interior de la luna, dirigida, por consiguiente, hacia el exterior de la luna, es decir, hacia el planeta (ya que la luna presenta siempre la misma cara en su órbita alrededor del mismo). La suma (vectorial) de estas tres fuerzas debe ser igual al producto de la masa de la roca por la aceleración centrípeta de la roca, es decir _GMp__Gmu GM (Y Ta +F=p(r-a) 2) donde en el segundo miembro hemos sustituido w? por la expresión (1) encontrada anteriormente. A medida que la luna se acerca al planeta la atracción gravitatoria de este sobre la roca será mayor, pero mientras la fuerza de contacto F' sea distinta de cero, la roca continuará “pegada” a la superficie de la luna. Así pues la condición para que la roca empiece a elevarse es F' = 0. Poniendo esta condición en (2), simplificando y reordenando términos llegamos a 6) donde en la última parte de la ecuación hemos usado la condición r > a para aproximar la fracción por el valor 1/3. Finalmente, desp jando en (3) obtenemos el resultado pedido ro =a(3M/m) (4) que nos da la distancia a partir de la cual la roca se clevaría por efecto de la atracción gravitatoria del planeta. 49 Solución: a) El módulo de la fuerza Sol-Tierra vale Fs = GMsMr/r2z y el de la fuerza Luna-Tierra FL = GM Mr. /r%, por lo que el cociente vale Fs FL b) Para calcular la variación de la fuerza con la distancia derivamos la expresión de la fuerza con respecto a la distancia dFs dr dFr, a ciente vale si la variación de la distancia no es infinitesimal podemos poner dF/dr = AF/Ar y el e AFs _ Msri +=. = 0,45 DeltaF,, o de manera que se observa como en este caso el efecto de la Luna es más importante que el del Sol. . Investigando el planeta Norc, situado en otro sistema solar, encontramos que su radio es R y que el período de un satélite en una órbita circular de radio r alrededor de Norc es T. Se pide: (a) la masa de Norc; (b) el valor del campo gravitatorio en la superficie de Nore; (c) suponiendo que el planeta es homogéneo (densidad constante), calcular la profundidad a la que debe introducirse un cuerpo para que su peso sea el mismo que a una altura ) sobre la superficie del planeta. Solución: a) Sea M la masa de Norc y m la masa del satélite en la órbita. La segunda ley de Newton nos da Mm G 72 pero, v =2rr/T, de forma que dro T?G M= b)Si y es el valor de la gravedad en la superficie de Norc, y m es la masa de un cuerpo en su superficie, se tiene =my => 9= e) Sea P el peso de un cuerpo. A una altura h se tiene Mm p=G G (R+hy? donde m es la masa del cuerpo y M = (4/3) R*p es la masa de Norc (p es la densidad que se supone constante). A una profundidad h' ser