Integración Multiple de Lebesgue por Jesús Garcia i Falset: Conjuntos Nulos - Prof. Martín, Apuntes de Análisis Matemático

¡Descarga Integración Multiple de Lebesgue por Jesús Garcia i Falset: Conjuntos Nulos - Prof. Martín y más Apuntes en PDF de Análisis Matemático solo en Docsity!

INTEGRACI ´O M ´ULTIPLE

INTEGRAL DE LEBESGUE

JES US GARCIA i FALSET´

Departament d’Analisi Matematica

Universitat de Val`encia

3 de marzo de 2005

4 ´INDEX GENERAL

Tema 1

CONJUNTS NULS.

1.1. Definici´o i Propietats.

Siguen A 1 , A 2 , ..., An intervals en R, ´es a dir, cada Ak pot ser fitat, no fitat, obert, tancat, etc. Un conjunt A ⊆ Rn^ de la forma

A = A 1 × A 2 × ... × An = {(x 1 , x 2 , ..., xn) : xk ∈ Ak}

s’anomena interval o rectangle general n-dimensional. Anomenarem interval o rectangle tancat, a un rectangle que coincideix amb la seua clausura. Direm que un interval ´es obert si coincideix amb el seu interior. Direm que un interval n-dimensional ´es no fitat si alguna de les seues pro- jeccions no est`a fitada en R. Direm que un rectangle ´es impropi o degenerat si alguna de les seues projeccions es redueix a un punt. Siga I ⊆ R un interval, denotem per μ(I) a la longitud de dit interval.

Definici´o 1.1.1 Siga A = A 1 × A 2 × ... × An un rectangle en Rn. Anome- narem mesura de A: μ(A) :=

∏^ n k=

μ(Ak)

1.1. DEFINICI O I PROPIETATS.´ 7

Demostraci´o.- (1).- Es evident per la definici´´ o de conjunt nul. (2).- Siguen ≤ > 0 i m ∈ N. Sabem que Am ´es un conjunt nul, llavors donat (^2) m≤+1 > 0 existeix una successi´o de rectangles fitats {I(m,j)}∞ j=1 de manera que per a tot m ∈ N tenim: Am ⊆

⋃^ ∞

j=

I(m,j)

∑^ ∞ j=

μ(I(m,j)) < (^2) m≤+

D’aquesta forma podem escriure:

I(1,1), I(1,2)...I(1,n)...... la successi´o que recobreix a A 1 I(2,1), I(2,2)...I(2,n)...... la successi´o que recobreix a A 2 ..................................... I(k,1), I(k,2)...I(k,n)...... la successi´o que recobreix a Ak

Sabem que aquests intervals es poden ordenar del mode seg¨uent:

I(1,1), I(1,2), I(2,1), I(1,3), I(2,2), I(3,1), ...

i a aquesta successi´o d’intervals la denotem de la forma seg¨uent: {J(i)}∞ i=1, ´es clar que

A =

⋃^ ∞

k=

Ak ⊆

⋃^ ∞

i=

J(i)

i a m´es a m´es, (^) ∞ ∑ i=

μ(J(i)) := l´ n→∞ım

∑^ n i=

μ(J(i))

tenint en compte la definici´o dels intervals J(i)^ tenim:

∑^ n

i=

μ(J(i)) ≤

m+i≤n+

μ(I(m,i)) ≤

∑^ n i=

μ(I(1,i))+...+

∑^ n i=

μ(J(n,i)) ≤ ≤( 212 +...+ (^2) n^1 +1 ) < ≤ 2

8 TEMA 1. CONJUNTS NULS.

per tant (^) n ∑ i=

μ(J(i)) ≤ 2 ≤ < ≤.

Corol·lari 1.1.6 Els conjunts numerables s´on conjunts nuls.

Demostraci´o.- Es evident que un conjunt format per un sol element ´´ es un conjut nul. Com un conjunt numerable es pot escriure com uni´o numera- ble de conjunts d’un sol element, per l’apartat (2) de la proposici´o anterior, obtenim el resultat.

1.2. Exemples.

Proposici´o 1.2.1 Un hiperpl`a en Rn^ es un conjunt nul.

Demostraci´o.- Un hiperpla en Rn^ ´es una varietat lineal (n−1)-dimensional. Per tant, si H ´es un hiperpla, podem afirmar que existeix a ∈ Rn^ i un sub- espai vectorial de dimensi´o n − 1 , F tal que

H = {a + v : v ∈ F }

farem la prova per als hiperplans paral·lels als eixos coordenats, sense p`erdua de generalitat, podem suposar que

H = {(x 1 , ..., xn− 1 , a) : xk ∈ R, k = 1, 2 , ..., n − 1 }

Vegem que H ´es un conjunt nul. En efecte; Siga ≤ > 0, anomenem:

I 1 =] − 2 , 2[×...×] − 2 , 2[×]a − (^2) 2(n−≤1)+1+1 , a + (^2) 2(n−1)+1+1≤ [

10 TEMA 1. CONJUNTS NULS.

Vegem que {Ij }n j=0−^1 ´es un recobriment de G(f ). En efecte; Donat (x, f (x)) ∈ G(f ) sabem que x ∈ [a, b] per tant existir`a j ∈ { 0 , 1 , ..., n} tal que x ∈ [aj , aj+1] llavors, |x − aj | ≤ |aj+1 − aj | < δ i per tant, |f (x) − f (aj )| < ≤′^ la qual cosa ens diu que:

G(f ) ⊆

n⋃− 1 j=

Ij

a m´es a m´es,

n∑− 1 j=

μ(Ij ) =

n∑− 1 j=

(aj+1 − aj )2≤′^ =

n∑− 1 j=

b − a n 2 ≤

′ (^) = ≤′2(b − a)

llavors prenent ≤′^ = (^) 2(b≤−a) s’obt´e el resultat.

El cas general, Siga I un interval, llavors podem escriure I com uni´o numerable d’intervals compactes, es a dir I = ⋃ n∈N[an, bn]. Tenint en compte la definici´o de G(f ) es t´e G(f ) =

n∈N

{(x, f (x)) : x ∈ [an, bn]}

per`o pel cas anterior cadascun dels conjunts que formen la uni´o anterior ´es un conjunt nul. Ara aplicant que la uni´o numerable de conjunts nuls ´es al seu torn un conjunt nul obtenim el resultat.

1.3. Problemes proposats.

Exercici 1 Demostrar que R \ Q no ´es un subconjunt nul de la recta real.

Exercici 2 Provar que existeixen conjunts de nombres reals nuls que no s´on numerables.

1.3. PROBLEMES PROPOSATS. 11

Exercici 3 Demostrar que si A ´es nul en Rn^ i a ∈ Rn, llavors el conjunt a + A := {a + x ∈ Rn^ : x ∈ A} ´es nul tamb´e.

Exercici 4 Siga c ∈ R i considerem el conjunt de R^2 definit per: {(x, cx) : x ∈ R}. Provar que dit conjunt ´es nul.

Exercici 5 Demostrar que tota circumfer`encia en R^2 ´es un conjunt nul.

Siga P (x) una propietat que dep´en de x ∈ Rn. Direm que la propietat P (x) es verifica quasi per totes parts, quan existeix un conjunt nul A tal que si x /∈ A, llavors es compleix la propietat.

Exercici 6 Siguen les successiones funcionals, (fn) i (gn) de forma que fn → f q.p.p. i gn → g q.p.p. Si per a tot n ∈ N es t´e que fn = gn q.p.p. LLavors, f = g q.p.p.

Exercici 7 El l´ımit quasi per totes parts d’una successi´o de funcions si existeix ´es ´unic?. Per qu´e?.

Bibliografia

[1] Apostol, T. An´alisis Matem´atico, Ed. Revert´e 2a^ edici´on, 1979. [2] Stormberg, K. R. An Introduction to Classical Real Analysis, Wads- worth International Group, 1981.

[3] Weir, A. J. Lebesgue integration and Measure, Cambridge University Press, Volum I, 1973.