integral de Lebesgue, Apuntes de Análisis Matemático

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Integral de Lebesgue

Análisis Matemático II

Grado en Matemáticas

Facultad de Ciencias.

Universidad de Granada

Juan Carlos Cabello Píñar

Departamento de Análisis Matemático

4 ÍNDICE GENERAL

Resumen

0.1. Integral de Lebesgue

Sumario

En esta lección El objetivo de esta lección es presentar, a vista de pájaro, la integral de Lebesgue. En ella vamos a resumir todos los aspectos a tratar en este curso. El contenido completo de esta lección se articula de la siguiente manera:

0.1.1 ¿Por qué una nueva integral?

0.1.2 Conjuntos medibles.

0.1.3 Funciones medibles. Integral de Lebesgue.

0.1.4 Funciones Integrables.

0.1.5 Teorema de Fubini.

0.1.6 Interpretación de la integral.

0.1.8 Cambio de coordenadas.

0.1.9 Relación de ejercicios.

Análisis Matemático 7

Veamos cómo añadir a partir de aquí nuevos conjuntos.

Se dice que una familia A de subconjuntos de Rn^ es una σ-álgebra si

i) Rn^ ∈ A, ii) Si {An} es una sucesión en A, entonces ∪n∈NAn ∈ A, y iii) Si A ∈ A entonces Rn^ \ A ∈ A.

Por otra parte, si S es una familia de subconjuntos de Rn, entonces existe una menor σ-álgebra en Rn^ conteniendo a S , que denominaremos la σ- álgebra engendrada por S.

En una primera etapa vamos a considerar la σ-álgebra engendrada por la familia de los conjuntos de los intervalos acotados, familia que llamaremos σ- álgebra de Borel, B, mientras que a sus elementos los llamaremos borelianos. Para hacernos idea de lo grande que es esta familia tengamos en cuenta que los todos los conjuntos abiertos son borelianos.

Nota Obsérvese que los conjuntos que resultan de la intersección numerable de abiertos (conjuntos tipo Gδ), no necesariamente abiertos, y los conjuntos que resultan de la unión numerable de cerrados, conjuntos tipo Fδ, no necesariamente cerrados, son también conjuntos borelianos.

2.- Veamos ahora Cómo medir dichos conjuntos.

Una vez elegida la familia de conjuntos medibles el problema es asignarle una medida.

Es claro que si I es un intervalo acotado, entonces su medida debe coincidir con su volumen, esto es, medida(I) = V (I), y claro está

V (I) = l(I 1 )l(I 2 )...l(In),

donde l(Ik) = bk − ak, siempre que Ik = [ak, bk].

A partir de aquí, podemos definir, para cada A ∈ B, la medida λ, mediante

λ(A) := Inf {

∑^ ∞

n=

v(In); A ⊆ ∪n∈NIn, In intervalo acotado, ∀n ∈ N}.

A dicha medida λ se le llama medida de Borel-Lebesgue.

8 §0.1 Integral de Lebesgue

Sabemos que existen conjuntos A borelianos de medida cero, λ(A) = 0, que contienen subconjuntos no medibles. Parece pues conveniente añadir a la σ-álgebra de Borel estos subconjuntos.

Consideremos pues M la mínima σ-álgebra que contiene simultáneamente a la σ-álgebra de Borel y a todos los subconjuntos de los elementos de ésta que son de medida nula. Sus elementos se denominan conjuntos medibles-Lebesgue o simplemente medibles.

Los conjuntos medibles se pueden representar por E = A ∪ N , donde A es un boreliano y N es un subconjunto de un boreliano de medida nula.

Podemos ahora definir una nueva medida, que notaremos igualmente por λ y que llamaremos medida de Lebesgue y que viene dada por

λ(E) = λ(A),

siempre que E = A ∪ N , y donde λ(N ) = 0.

Dicha medida posee la propiedad de la aditividad numerable, i.e., para cualquier familia de conjuntos {An : n ∈ N} de la σ-álgebra M, disjuntos dos a dos, se verifica

λ(

n∈N

An) =

∑^ ∞

n=

λ(An).

Como consecuencia de la definición se pueden obtener las siguientes propie- dades:

1. Si A, B ∈ M y A ⊂ B entonces λ(A) ≤ λ(B).
2. λ(∪∞ n=1An) ≤

n=1 λ(An)^ ∀An^ ∈ A.

3. λ extiende el volumen de un intervalo, esto es, si I =

∏n k=1 Ik^ es un intervalo acotado en Rn, entonces λ(I) = v(I) =

∏n k=1 l(Ik)).

Se dice que una propiedad P relativa a un punto x ∈ Rn^ se verifica casi por doquier (c.p.d.), si el conjunto de puntos C donde dicha propiedad no se verifica es un conjunto de medida cero, esto es, λ(C) = 0.

10 §0.1 Integral de Lebesgue

0.1.4. Funciones integrables

Dada una función medible f : E −→ R, se dice que f es integrable en E si ∫

E

|f | dλ < ∞.

En tal caso se define la integral de f por ∫

E

f dλ =

E

f +^ dλ −

E

f −^ dλ,

donde f +^ = M ax{f, 0 } y f −^ = M ax{−f, 0 } (nótese que ambas funciones son medibles positivas). Dicha integral recibe el nombre integral de Lebesgue de f en E.

Notaremos por L(E) al espacio formado por las funciones medibles que son integrables en E, esto es

L(E) = {f : E −→ R medible;

E

|f | dλ < ∞}.

Propiedades

Comentemos algunas de sus propiedades más interesantes:

1. L(E) es un espacio vectorial y ∫

E

(rf + g) dλ = r

E

f dλ +

E

g dλ, (r ∈ R, f, g ∈ L(E)).

E

f dλ| ≤

E

|f | dλ, (f ∈ L(E))

3. Si f y g son medibles e iguales c.p.d., entonces f es integrable en E si, y sólo si, lo es g, y en tal caso ∫

E

f dλ =

E

g dλ.

4. Sean E, A y B tres conjuntos medibles tales que E = A ∪ B y λ(A ∩ B) = 0. Entonces f es integrable en E si, y sólo si, f es integrable en A y B. Además, en caso afirmativo (^) ∫

E

f dλ =

A

f dλ +

B

f dλ.

Análisis Matemático 11

5. λ(E) =

E 1 dλ.

Teorema 0.1.1. ( del cambio de variable) Sean U y V dos conjuntos abiertos de Rn, y φ : U −→ V una función biyectiva de clase C^1 (U ) cuyo jacobiano es no nulo en todo punto de U. Sea E un subconjunto medible contenido en U y sea f : φ(E) −→ R una función integrable. Entonces ∫

φ(E)

f dλ =

E

f ◦ φ|Jφ|dλ.

Relación de ésta nueva integral con la integral de Riemann.

1. Las funciones integrables de siempre son también integrables en el sentido de Lebesgue

Sea n = 1 y sea E = [α, β], con (α, β ∈ R). Si f es integrable en el sentido de Riemann en E entonces f ∈ L(E) y en tal caso ∫

E

f dλ =

∫ (^) β

α

f (x) dx.

2. Añadimos nuevas funciones

La función de Dirichlet es integrable en el sentido de Lebesgue; de hecho, dado que Q es de medida nula, se tiene que ∫

[0,1]

f dλ = 1.

3. También las funciones positivas impropiamente integrables quedan bajo control En el caso en que admitamos que α puede ser −∞ y β a su vez +∞, y que f sea una función continua en I =]α, β[, |f | es ïmpropiamenteïntegrable en el sentido de Riemann en I si, y sólo si, f ∈ L(I), y en tal caso ∫

I

|f | dλ =

∫ (^) β

α

|f (x)| dx.

a) Seguimos teniendo las propiedades más interesantes de la integral de Riemann a)

Análisis Matemático 13

Teorema 0.1.5. (Teorema de Fubini.Caso p = 1, q = 1)

Sea E ⊆ R^2 medible y sea f : E −→ R una función integrable, entonces ∫

E

f (x, y)d(x, y) =

∫ (^) β 1

α 1

[

E(x)

f (x, y)dy]dx =

∫ (^) β 2

α 2

[

E(y)

f (x, y)dx]dy,

siendo α 1 = Inf E 1 , β 1 = Sup E 1 , α 2 = Inf E 2 , β 2 = Sup E 2 , donde

E 1 = {x ∈ R; E(x) 6 = ∅}

y E 2 = {y ∈ R; E(y) 6 = ∅}

En particular, cuando E = I × J, siendo I, J intervalos de R, entonces ∫

E

f (x, y) =

I

[

J

f (x, y)dy]dx =

J

[

I

f (x, y)dx]dy.

Ejemplo: Calcular el área de la elipse de semiejes a y b.

Teorema 0.1.6. (Teorema de Fubini. Caso p = 2, q = 1)

Sea E ⊆ R^3 medible y sea f : E −→ R una función integrable, entonces ∫

E

f (x, y, z)d(x, y, z) =

∫ (^) β 3

α 3

[

E(z)

f (x, y)d(x, y)]dz,

siendo α 3 = Inf E 3 , β 3 = Sup E 3 , donde

E 3 = {z ∈ R; E[z] 6 = ∅}

y a su vez E[z] = {(x, y) ∈ R^2 ; (x, y, z) ∈ E}.

Análogamente se podría hacer, para (p = 1, q = 2) sin más que considerar los conjuntos E[x] y E[y].

Ejercicio: Calcúlese el volumen del elipsoide de semiejes a, b y c.

14 §0.1 Integral de Lebesgue

0.1.6. Interpretación de la integral.

Principio de Cavalieri

Sea E un subconjunto medible de R^3 , tal que

E 1 = {x ∈ R; E(x) 6 = ∅} = [a, b].

Según hemos visto en la lección anterior su volumen, λ(E), viene dado por

λ(E) =

E

1 d(x, y, z),

por lo que aplicando el teorema de Fubini y la definición de área de subconjuntos medibles de R^2 , se tiene que

λ(E) =

∫ (^) b

a

E(x)

1 d(y, z))dx =

∫ (^) b

a

λ(E(x))dx.

Dicha igualdad es conocida como el principio de Cavalieri.

Ejemplo:

Un leñador corta una pieza C con forma de cuña de un árbol cilíndrico de radio 50 cm mediante dos cortes de sierra hacia el centro del árbol: uno horizontal y otro con un ángulo π/ 4. Calcúlese el volumen de dicha cuña.

El volumen de un sólido de revolución.

Obsérvese que si E es el sólido de revolución generado por la gráfica de una cierta f : [a, b] −→ R+ 0 , aplicando el principio de Cavalieri, obtenemos que

V (E) = π

∫ (^) b

a

f 2 (x)dx,

como ya habíamos comentado anteriormente.

La integral en dos variables vista como un cierto volumen

Sea ahora A ⊆ R^2 medible y f : A −→ R un campo integrable en A tal que, para cada (x, y) ∈ A, se tiene que f (x, y) ≥ 0. Obsérvese que como consecuencia del teorema de Fubini, si

A 1 = {x ∈ R; A(x) 6 = ∅} = [a, b],

16 §0.1 Integral de Lebesgue

Coordenadas cilíndricas, n = 3

Tomamos U = R+×] − π, π[×R , V = R^3 {(x, 0 , z); x ≤ 0 }, y la aplicación φ : U −→ V definida por

φ(ρ, θ, z) = (ρcosθ, ρsenθ, z).

En este caso detJφ(ρ, θ, z) = ρ > 0 , ∀(ρ, θ, z) ∈ U, y por tanto ∫

E

f (x, y, z)d(x, y, z) =

φ−^1 (E)

f (ρcosθ, ρsenθ, z)ρd(ρ, θ, z).

Ejercicio: Sea E = {(x, y, z) ∈ R^3 ; x^2 + y^2 ≤ r^2 ; 0 ≤ z ≤ h}, con r, h > 0. Calcúlese

E 1 d(x, y, z).

Coordenadas esféricas, n = 3

Tomamos U = R+×] − π, π[×] − π/ 2 , π/2[ , V = R^3 {(x, 0 , z); x ≤ 0 }, y la aplicación φ : U −→ V definida por

φ(ρ, θ, ϕ) = (ρcosθcosϕ, ρsenθcosϕ, ρsenϕ).

En este caso detJφ(ρ, θ, ϕ) = ρ^2 cosϕ > 0 , ∀(ρ, θ, ϕ) ∈ U,

y por tanto ∫

E

f (x, y, z)d(x, y, z) =

φ−^1 (E)

f (ρcosθcosϕ, ρsenθcosϕ, senϕ)ρ^2 cosϕd(ρ, θ, ϕ).

Ejercicio: Sea E = {(x, y, z) ∈ R^3 ; x^2 + y^2 + z^2 ≤ r^2 }, con r > 0. Calcúlese su volumen.

0.1.8. Relación de ejercicios

a) Calcúlense las siguientes integrales:

a)

I

sen^2 x sen^2 y d(x, y), I = [0, π] × [0, π].

Análisis Matemático 17

b)

I

x^2 1 + y^2

d(x, y), I = [0, 1] × [0, 1].

c)

I

y logx d(x, y), I = [1, e] × [1, e].

d)

I

x^3 y^3 d(x, y), I = [0, 1] × [0, 1].

e)

I

(1 + x + y)^2

d(x, y), I = [0, 1] × [0, 1].

f)

I

x log(xy) d(x, y), I = [2, 3] × [1, 2].

g)

I

y cos(xy) d(x, y), I = [0, 1] × [1, 2].

b) Sea f : A → R , calcúlese su integral en los siguientes casos: a) f (x, y) = 1 siendo A la región limitada por y^2 = x^3 , y = x. b) f (x, y) = x^2 siendo A la región limitada por xy = 16, y = x, y = 0, x = 8. c) f (x, y) = x siendo A el triángulo de vértices (0, 0), (1, 1), (0, 1). d) f (x, y) = x siendo A la región limitada por la recta que pasa por (0, 2) y (2, 0) y la circunferencia de centro (0, 1) y radio 1. e) f (x, y) = e

x y (^) siendo A la región limitada por y^2 = x, x = 0, y = 1. f) f (x, y) = (^) x (^2) +xy 2 siendo A la región limitada por y = x 2 2 , y^ =^ x. g) f (x, y) = xy^2 siendo A la región limitada por y^2 = 2x, x = 1. h) f (x, y) = xy siendo A la región limitada por la semicircunferencia supe- rior (x − 2)^2 + y^2 = 1 y el eje OX. i) f (x, y) = 4 − y^2 siendo A la región limitada por y^2 = 2x y y^2 = 8 − 2 x j) f (x, y) = ex 2 siendo el conjunto A el triángulo formado por las rectas 2 y = x, x = 2 y el eje x

c) Calcúlese

A f^ en cada uno de los casos siguientes: a) f (x, y) = 1 − x − y, A = {(x, y) ∈ [0, 1] × [0, 1]; x + y ≤ 1 } b) f (x, y) = x^2 + y^2 , A = {(x, y) ∈ [0, 1] × [0, 1]; x^2 + y^2 ≤ 1 } c) f (x, y) = x + y, A = {(x, y) ∈ [0, 1] × [0, 1]; x^2 ≤ y ≤ 2 x^2 } d) f (x, y) = x^2 y^2 , A = {(x, y) ∈ R^2 ; 0 ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤ x} e) f (x, y) = y^2 , A = {(x, y) ∈ R^2 ; x^2 + y^2 ≤ r^2 } f) f (x, y) = 1, A = {(x, y) ∈ R^2 ; x^2 + y^2 ≤ 1 , x^2 + y^2 ≤ 2 x} g) f (x, y) = 1, A = {(x, y) ∈ R^2 ; x^2 + y^2 ≤ r^2 } h) f (x, y) = cos(x^2 + y^2 ), A = {(x, y) ∈ R^2 ; x^2 + y^2 ≤ π/ 2 }

i) f (x, y) =

(1 + x^2 + y^2 )^2

, A = {(x, y) ∈ R^2 ; x^2 + y^2 ≤ 1 , x ≥ 0 }

j) f (x, y) =

y x^2

, A = {(x, y) ∈ R^2 ; 0 ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤ x}

Análisis Matemático 19

e)

A

x^2 + y^2 + z^2

)n d(x, y, z) , A = {(x, y, z) ∈ R^3 ; x^2 + y^2 + z^2 ≤ a^2 } (n ∈ N, a ∈ R+). f) f (x, y, z) = (x + y + z)^2 , A = {(x, y, z) ∈ R^3 : x^2 + y^2 + z^2 ≤ 1 , x^2 + y^2 + z^2 ≤ 2 z} g) f (x, y, z) = z, A = {(x, y, z) ∈ R^3 : x^2 + y^2 ≤ z^2 , 0 ≤ z ≤ 1 } h) f (x, y, z) = x^2 , A = {(x, y, z) ∈ R^3 : x ≥ 0 , x^2 + y^2 + (z − 1)^2 ≤ 1 , 4 z^2 ≥ 3(x^2 + y^2 )} i) f (x, y, z) = zy

x^2 + y^2 A = {(x, y, z) ∈ R^3 : 0 ≤ z ≤ x^2 + y^2 , 0 ≤ y ≤

2 x − x^2 } j) f (x, y, z) = z, A = {(x, y, z) ∈ R^3 : x^2 + y^2 + z^2 ≤ 2 , x^2 + y^2 ≤ z} k) f (x, y, z) = z^2 , A = {(x, y, z) ∈ R^3 : x^2 + y^2 + z^2 ≤ R^2 , x^2 + y^2 + z^2 ≤ 2Rz} l) f (x, y, z) =

x^2 + y^2 + z^2 , A = {(x, y, z) ∈ R^3 :

x^2 + y^2 ≤ z ≤ 3 } h) Demuéstrese que

−∞ e

−ax^2 / (^2) dx = √ 2 π/a, donde a > 0.

i) Calcúlese

A f^ en cada uno de los casos siguientes:

1. f (x, y) = 1, A = {(x, y) ∈ R^2 ; x

2 a^2 +^

y^2 b^2 ≤^1 }

2. f (x, y) = 1, A = {(x, y) ∈ R^2 ; x

2 4 +^ y

(^2) ≤ 1 , x (^2) ≤ y}

3. f (x, y, z) = z, A = {(x, y, z) ∈ R^3 : x^2 + y

2 4 +^

z^2 9 ≤^1 , z^ ≥^0 }

4. f (x, y) = exp

y−x y+x

, A = {(x, y) ∈ R^2 : x, y ≥ 0 , x + y ≤ 2 }