¡Descarga consolidado final algebra lineal y más Esquemas y mapas conceptuales en PDF de Matemáticas solo en Docsity!
CONSOLIDADO FINAL TRABAJO COLABORATIVO 1 CONSOLIDADO FINAL TRABAJO COLABORATIVO Laura Catalina Roncancio Reyes COD 100281863 Juan David Segura Molano COD 100114135 Cristian Camilo Higuera Carrillo COD 100301268 Luis Guillermo Jiménez Morales COD 100294768 Andrés Alfonso Carlos Gaviria COD 100292449 CARLOS ALIRIO BALLESTEROS TORRES ALGEBRA LINEAL INSTITUCIÓN UNIVERSITARIA POLITÉCNICO GRANCOLOMBIANO SEPTIEMBRE 2022 1
INTRODUCCIÓN
A lo largo del presente informe se dará a conocer lo realizado en los escenarios 3, 4 y 5 del módulo de Álgebra Lineal, en los que se estudió el método de Hill, el cual se empleó para que se encriptara y desencriptara los mensajes escogidos para el ejercicio, adicionalmente, aquí se detalla lo acordado por los integrantes del grupo para llevar a cabo lo propuesto en cada escenario. JUSTIFICACIÓN El presente documento tiene como fin dar a conocer de manera detallada los aportes realizados a través del foro de los escenarios propuestos, investigando y utilizando el método de Hill para descifrar las frases escogidas por cada integrante, de tal manera que se pueda llegar a una conclusión respecto a los ejercicios realizados que permitan cumplir con el objetivo del foro.
Una función es una regla de asignación entre dos conjuntos A y B, de manera que a cada elemento del conjunto A se asigna un ´único elemento del conjunto B. Nótese que en la definición se menciona que los elementos de una n-upla son objetos, por lo que pueden ser cualquier objeto matemático dependiendo del contexto de la situación al cual esté asociado. Conjuntos es necesario reconocer un conjunto y sus condiciones junto con la forma de expresarlo matemáticamente y si posee o no una estructura algebraica básica. Vectores: En el momento en el que se abordaron las operaciones de suma y multiplicación por escalar se hizo referencia a propiedades de las operaciones, algunas de ellas fueron:
- u + v = v + u
- (u + v) + w = u + (v + w)
- a(bu) = (a ∗ b) u
- a (u + v) = au + av donde u, v, w pueden ser una matriz, una n-upla, una función, un polinomio, entre otros y las constantes son números reales. Nótese que en estas propiedades hay dos tipos de conjuntos: uno, un conjunto de objetos que se suelen denominar” vectores” y otro, el conjunto de los de los números reales. La operación de suma se define sobre el conjunto de vectores y el de la multiplicación por un escalar entre el conjunto de vectores y el conjunto de los números reales. Las operaciones de suma y multiplicación definidas entre dichos conjuntos junto con ciertas propiedades determinan una estructura de espacio vectorial. En ocasiones algunos espacios vectoriales son un subconjunto de otros espacios vectoriales; por ejemplo, en el espacio vectorial de las matrices Mm×n existen subconjuntos que son espacios vectoriales y existen otros que no lo son (en la sección de ejercicios se encuentran estos casos). Para estos casos, solo basta con probar los axiomas de cerradura de un espacio vectorial para determinar si un subconjunto es un subespacio vectorial; si estos dos axiomas se cumplen se asumen que los demás se satisfacen automáticamente.
En la lectura del escenario anterior se estableció que todo vector es posible expresarlo mediante una combinación lineal de vectores que pertenecen al mismo conjunto. Esto es u = a1v1 + a2v2 +... anón, donde a1, a2,.. ., an son escalares y v1, v2,.. ., vn son elementos de un espacio vectorial. No obstante, en ocasiones no siempre un conjunto de vectores genera todos los elementos de un espacio vectorial. Al conjunto de vectores de un espacio vectorial que genera todos los elementos de dicho espacio, a partir de una combinación lineal, se le denomina conjunto generado. El término “genera” se usa para indicar que todo vector de un espacio vectorial se puede escribir como una combinación lineal de un conjunto de vectores dado. El término “espacio generado” hace referencia al conjunto de combinaciones lineales de un conjunto de vectores. Para saber si un conjunto de vectores es linealmente independientes o dependientes se realiza una combinación lineal igualada al elemento neutro para la suma del espacio vectorial al cual pertenecen. Luego, realice lo siguiente:
- Paso 1. A partir de la combinación lineal planteada, resuelva operaciones y determine un sistema de ecuaciones homogéneo.
- Paso 2. Si el sistema homogéneo tiene sólo tiene la solución trivial, entonces el conjunto de vectores dados es linealmente independiente; en caso contrario, el conjunto de vectores es linealmente dependientes.
- Si la matriz de coeficientes del sistema homogéneo es cuadrada, aplique el Teorema 5.1 para determinar la dependencia o independencia lineal del conjunto dado. Para comprobar si un conjunto de vectores es una base de un espacio vectorial se debe: Comprobar si el conjunto dado genera el espacio vectorial indicado; si no genera, se concluye que no es una base. Comprobar si los elementos del conjunto son linealmente independientes. Para ello, se sugiere tener en cuenta las afirmaciones del Teorema 6. expuesto en la lectura del escenario anterior. Nota: Para el caso del espacio vectorial Rn, si el número de elementos del conjunto dado es mayor que n, se concluye que no es una base.
PALABRA DECIFRADA
4 23 8 19 14 26 0 26 19 14 3 14 18 26 E X I T O ___ A ___ T O D O S ___ Segundo Caso Llave: C =
CIFRADO
Frase a cifrar: HOLA_A_TODOS H O L A _ A _ T O D O S 7 15 11 0 27 0 27 20 15 3 17 14
1. Convertimos los números en matriz: A =
2. Multiplicamos la llave por nuestra matriz: C x A = R
3. Convertimos la matriz resultante a Mod28: R Mod28 =
4. Organizamos la frase resultante: A_FYZ_OYGUZG
DECIFRADO
- Organizamos la frase en una matriz de acuerdo al código que empleamos:
A =
2. Calculamos la inversa de la llave: C -1 =
- calculamos mod 28 de la inversa de la matriz llave
C-1 Mod 28 =
- Multiplicamos la inversa de la llave por nuestra matriz del código:
- a la matriz resultante sacamos Mod28:
R Mod28 =
- Organizamos en nuestra tabla y agregamos sus respectivos números H O L A _ A _ T O D O S 7 15 11 0 27 0 27 20 15 3 17 14
7. La frase descifrada seria: HOLA_A_TODOS
Tercer Caso Se plantea un sistema de ecuaciones para hallar las incógnitas a, b y c 3ª+4b+12c= 8
A” x MOD Y de esta manera llegamos a la frase que es DEMUESTRA_LO_QUE_VALES
3. CONCLUCIONES
ITEM ACUERDOS
1 Realizar el trabajo se dificultó, ya que se encuentran diferentes paso a paso para descifrar y encriptar el mensaje, sin embargo, el equipo se estudió y se explicó a las personas que más se dificultaba. 2 Al momento de realizar las primeras actividades, el tema que más se dificultó fue realizar la desencriptación, ya que no se tenía muy claro realizar la inversa para obtener el resultado. 3 El equipo estaba en constante comunicación vía WhatsApp y correo institucional para mantener informados sobre el avance de las entregas y apoyarnos mutuamente. 4 El equipo realizó comentarios constructivos de acuerdo con los ejercicios realizados para correspondiente corrección y aclaración. 5 El equipo llego a un acuerdo de realizar la ubicación de la matriz en forma vertical de 3 x las columnas según la frase. 6 Una vez el equipo fue realizando la solución de matrices, se fue adquiriendo práctica y cada vez era más fácil hallar la solución al mensaje. 7 Para la solución de las matrices se tuvieron que realizar más de dos ejemplos para comprender la dinámica del método Hill.
