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Consolidado Semana 5
Álgebra Lineal-Grupo A
Institución Universitaria Politécnico Grancolombiano
Facultad De Ingeniería, Diseño E Innovación
Ingeniería Industrial
Medellín 2025
Lineamientos para el consolidado del trabajo colaborativo de álgebra lineal.
En el siguiente documento se establecen los lineamientos que se deben tener en cuenta para la
presentación del consolidado final:
Importante:
El consolidado final solo requiere lo relacionado a la semana 5.
Este documento estará construido por los integrantes del equipo que sí aportaron
significativamente al foro.
Una vez terminado este documento se debe pasar a .PDF y subirlo al foro del trabajo
colaborativo, allí deberá aparecer como última publicación.
Tipo de fuente y tamaño para todo el trabajo: Times New Román, 12.
Interlineado: 1.5 cm.
Máximo de páginas en total: 10
Introducción.
El desarrollo de este trabajo permite aplicar el álgebra lineal al cifrado de mensajes mediante
el método de Hill, creado por Lester S. Hill en 1929. Este método corresponde a un sistema
criptográfico de sustitución polialfabética, en el que una misma letra puede representarse con
distintos caracteres dentro de un mismo mensaje.
En esta actividad, aplicamos la teoría abordada en los escenarios 3, 4 y 5, formulando y
resolviendo sistemas de ecuaciones 3x3, así como operando con matrices. Este enfoque
práctico y didáctico facilita la comprensión y aplicación de los conceptos tratados.
Esta matriz tiene 3 incógnitas muy bien protegidas, sin embargo, equipos de inteligencia
pudieron obtener las siguientes pistas:
Las primeras tres letras del mensaje original son TRA
Las últimas tres letras del mensaje original son PO_
El determinante de la matriz clave es 1
Mensaje Encriptado: TGRBZIOYRNBTQOZPLX
A B C D E F G H I J K L M N Ñ O P Q R S T U V W X Y Z _
PASO 1: Para descifrar el mensaje cifrado, primero debemos completar la matriz clave. Para
ello, necesitamos encontrar los valores de a y b, los cuales podemos calcular usando un sistema
de ecuaciones de 3x3. Para formular estas ecuaciones, convertimos el mensaje en una matriz
reemplazando cada letra por su valor correspondiente.
T G R B Z I O Y R N B T Q O Z P L X
Para continuar con el proceso de descifrado, organizamos el mensaje en una matriz,
asignando a cada letra su valor correspondiente. Esta matriz nos permitirá plantear el sistema
de ecuaciones necesario para encontrar los valores desconocidos. Una vez estructurada,
podremos analizarla y utilizarla en el cálculo.
Así, el mensaje en forma de matriz queda de la siguiente manera:
Siguiendo el método de Hill, construimos la matriz clave utilizando los valores de las pistas
y la matriz del mensaje. A partir de esta estructura, formulamos el sistema de ecuaciones
a b c
necesario para determinar los valores desconocidos a , b y c.
Al formular las ecuaciones con los valores obtenidos, llegamos a las siguientes expresiones:
a20+ b18+c0=
a16+b15+c27=
a+2b +3c= 1
Seleccionamos dos de las ecuaciones para aplicar el método de reducción y eliminar una
de las variables. En este caso, eliminaremos al combinar adecuadamente los términos
semejantes. (Eliminaremos la variable a).
1
2
4
2
3
5
4
4
4
PASO 3: hallar la inversa de la matriz clave.
PASO 4: Después de encontrar la matriz inversa, procedemos a multiplicar esta por
la base que construimos de 3x3.
Dándonos como resultado la siguiente base para desencriptar finalmente nuestra frase.
PASO 5: después de hallar el resultado entre la multiplicación de la matriz inversa
y nuestra base
Procedemos a dividir por 28 cada uno de estos números que conforman la base y redondear
el residuo resultante de esta operación.
Dándonos como resultado los siguientes números y asignando cada uno de estos a las letras
de nuestro modulo
