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Departamento de Economía Financiera y Contabilidad
“MATEMATICAS FINANCIERAS AVANZADAS” OPERACIONES de AMORTIZACION : EMPRESTITOS (I) Prof. María Jesús Hernández García
TEMA 7. “EMPRESTITOS DE OBLIGACIONES”
0.-INTRODUCCION :
0.1.-Definición: “Son operaciones de amortización en las que el capital prestado, se divide en un número muy elevado de operaciones de préstamo que se van reembolsando de acuerdo con un plan general y unitario de amortización y en el que todas las operaciones tienen a priori condiciones financieras equivalentes”.
0.2.-Nomenclatura y anotaciones :
i) Obligaciones, bonos y cédulas : Las partes alícuotas en las que se divide la operación de préstamo se materializan en títulos valores que pueden ser negociables, genericamente suelen calificarse a todos ellos como OBLIGACIONES.
ii) Los obligacionistas ó acreedores : Son los prestamistas múltiples de la operación y con la posesión de las obligaciones, se le reconocen todos sus derechos.
iii) El emisor ó deudor del empréstito de obligaciones, es el prestatario único de la operación.
iv) Valor nominal de la obligación, es la cuantía de la prestación de cada una de las obligaciones en que se divide el empréstito y se anota con C.
v) El número total de títulos emitidos ó número de partes en que se ha subdivido la operación global, se anota con N1.
vi) La prestación global ó total nominal del empréstito, la anotamos C 0 T, donde,C 0 T^ = N 1 • C.
0.3.-DIFERENCIACION ENTRE PRESTAMO y EMPRESTITO : Los empréstitos, aunque sean operaciones de amortización, existe la posibilidad, de que las obligaciones sean préstamos individualizados
con características diferentes, duración, método de amortización,etc.,
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diferentes tanto del empréstito en su conjunto, como entre ellas mismas.
Lo dicho anteriormente, plantea, la necesidad completar el estudio de la operación con el análisis de las obligaciones de forma separada, desde el punto de vista del obligacionista individual.
1.- CLASIFICACION DE LOS EMPRESTITOS:
A)Por la modalidad del préstamo que representa la obligación :
a.1.- Obligaciones americanas , en las que el obligacionista recibe periódicamente los intereses (cupones), durante toda la vida de la obligación y la amortización del título se produce al vencimiento.
a.2.- Obligaciones simples , con una característica común, una entrega única, en el momento de la compra, y una entrega, también única en el momento del reembolso, (son operaciones financieras simples) y siendo la diferencia entre ellas, la ley financiera de valoración y el momento de abono de los intereses:
a.2.1.- Obligaciones al descuento , se utiliza para valorar la operación una ley de descuento, el título se adquiere por un valor efectivo, E, ó descontado, inferior al nominal C, donde C─ E, representa la cuantía del descuento en el origen.
a.2.2.- Obligaciones con intereses anticipados, la operación se valora con una ley de capitalización con intereses anticipados ó prepagables, igual que en a.2.1. se adquieren por una cuantía C, inferior a C y C ─ C, representa la cuantía de los intereses anticipados en el momento inicial.
a.2.3.- Obligaciones con intereses acumulados ó CUPON CERO, , la operación se valora en capitalización compuesta, el título se adquiere por el nominal y en el momento del reembolso se recibe este y los intereses acumulados hasta la fecha.
a.3.- Obligaciones con amortización progresiva ó amortizables por reducción del nominal , en las que los obligacionistas reciben
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F)Por la posibilidad del cálculo del coste y/o rendimiento de la operación:
f.1.- Empréstitos predeterminados , en los que el coste y/o rendimiento, se pueden calcular a priori.
f.2.- Empréstitos posdeterminados, en los que el coste y/o rendimiento, solo pueden conocerse a posteriori.
2.-ESTUDIO FINANCIERO DE LOS EMPRESTITOS PUROS:
2.1.-INTRODUCCION
La valoración de estos empréstitos se realizará en capitalización compuesta, con intereses pospagables y el criterio de análisis utilizado para realizar el estudio financiero, es el que se basa en la modalidad de reembolso de las obligaciones ó títulos, donde lo fundamental es distinguir entre empréstitos donde todos los títulos tienen la misma duración y empréstitos con títulos de distinta duración.
2.2.-EMPRESTITOS CON TITULOS DE IGUAL DURACION:
Es la modalidad más sencilla de empréstitos y actualmente, prácticamente, la única utilizada en el mercado español.
Como todos los títulos se amortizan en el mismo momento, prefijado en las condiciones de la emisión, se trata en realidad de N 1 , préstamos de idénticas condiciones financieras: cuantía, duración, dinámica de amortización, ley de valoración etc.
Para resolver este tipo de empréstitos basta con obtener los valores correspondientes a uno de los préstamos y multiplicarlos por el número de ellos, N 1.
a) Análisis financiero de una obligación : Cada obligación representa una operación de amortización de prestación (C, t 0 ) y la contraprestación, el conjunto de términos amortizativos { (a 1 ’,t 1 ) ; (a 2 ’,t 2 ) ;…; (an’,tn ) }, siendo t 0 el momento de la emisión del empréstito, tn , el de su cancelación total y la ecuación de equivalencia:
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1 (^11)
= =
h j j
n h h^
C a i
b) Modalidades de obligaciones : Los N 1 préstamos agregados representativos de las obligaciones, todos idénticos y valorados con la misma ley financiera, pueden ser de cualquier tipo :
i) PRESTAMOS AMERICANOS, ( obligaciones americanas) :
Los términos amortizativos del título-obligación, anotados ah’, donde, h = 1,2,…, n, toman los valores: a (^) 1 ' = C • i 1 ; a 2 ' = C • i 2 ; K an ' − 1 = C • in − 1 ; an^ ' = C • in + C
Los términos amortizativos del empréstito de obligaciones, anotados ah, donde, h =1,2,…,n , toman los valores:
a N a N C i y a N a N C i N C
a N a N C i a N a N C i n = • n = • • n n = • n = • • n + •
= • = • • = • = • • − − − 1 1 ' 1 1 1 ' 1 1 1
1 2 ' 1 1 2 1 2 ' 1 1 1 ;^ ; K;
ii) PRESTAMOS SIMPLES, ( obligaciones con intereses
acumulados ó cupón cero):
Los términos amortizativos del título-obligación, (anotados ah’, donde, h = 1,2,…n), toman los valores:
Los términos amortizativos del empréstito de obligaciones, anotados ah, donde, h = 1,2,…,n , toman los valores:
( 1 )
0 ; 0 ; ; 0
1
1
' 1
' 1 1 1
' 2 1 2
' 1 1 1
=
− − = • = • • +
= • = = • = = • = N
h
n n h
n n y a N a N C i
a N a a N a K a N a
iii) AMORTIZACION PROGRESIVA, ( obligaciones amortizables por reducción del nominal) :
Los términos amortizativos del título-obligación, anotados ah’, donde, h = 1,2,…n, toman los valores:
0 ; 0 ; ; 0 ( 1 ) 1
' ' 1 ' 2 '
=
= = − = = • +
N h
a a K an y an C ih
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Descomposición del término amortizativo del empréstito que devenga en tj :
T j T j j T j T j T a (^) j = ( Cj − 1 − C )+ C − 1 • i = A + I
3.- EMPRESTITOS CON TITULOS DE DISTINTA DURACION :
Este tipo de empréstitos es mucho más complejo que el anterior puesto que da lugar a operaciones financieras diferentes para el emisor y para los obligacionista considerados individualmente, además de resultar más complicada y costosa la administración de la emisión.
3.1- Análisis financiero de una obligación. La particularidad el estudio financiero de una obligación individualizada, proviene del hecho en que en un mismo empréstito, existen títulos con distinta duración , determinándose por sorteo, las obligaciones que corresponde cancelar en cada momento, para que todos los obligacionistas, estén en las mismas condiciones frente al emisor.
Cada obligación representa a priori una obligación de préstamo de prestación, {(C, t 0 )} y contraprestación, {(a’ 1 ,t 1 ), (a’ 2 ,t 2 ),…,(a’n,tn)}, siendo tn , el final del empréstito.
Equivalencia financiera en el origen, para una obligación :
1 1 1
' (^) ( 1 )− = =
H j j
N h
C ah i
Los títulos que resultan reembolsados en cada sorteo lo han de ser por el valor de su reserva matemática ó capital vivo, Ck en ese momento, tk, es decir si resultan amortizados en tk, anterior a tn, final de la operación global, se sigue verificando la equivalencia financiera entre prestación y contraprestación, para todas y cada una de las obligaciones que constituyen el empréstito, es decir :
1 1 1
1
1 1
1 2
1 1
− −
−
−
−
−
n k k n
k k k k k k
a i i i
C a i a i i
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Una obligación que resulte amortizada en el momento tk, responde a la siguiente estructura: Prestación: {(C, t 0 )} Contraprestación :{(a’ 1 ,t 1 ),(a’ 2 ,t 2 ),…, (a’k, tk) , (Ck, tk) }.
Donde la equivalencia financiera para esta obligación, en el origen :
1 1 1
1 1
1 1 1
' ( 1 ) ( 1 ) ' ( 1 )− = =
−
− = =
h j j
n h h
K j k j
h j j
k h
C ah i C i a i
Esquema de la amortización de una obligación que resulte amortizada en el momento tk del sorteo:
Primer Sorteo:
C a’ 1 + C 1 │---------│ t 0 t 1
Segundo Sorteo:
C a’ 1 a’ 2 + C 2 │---------│--------│ t 0 t 1 t 2 ......................... ....................................................................................
Sorteo j—esimo:
C a’ 1 a’ 2 a’j+ Cj │--------│--------│----⁄⁄------⁄⁄-----│ t 0 t 1 t 2 tj
Ultimo Sorteo:
C a’ 1 a’ 2 a’n-1 a’n+ Cn │--------│--------│--⁄⁄--------------⁄⁄--│--------│ t 0 t 1 t 2 tn-1 tn
3.2.- Modalidades de obligaciones :
i) Obligaciones americanas, las obligaciones reciben periodicamente los intereses devengados, por lo que, el valor de reembolso coincide con el nominal sea cuál sea el momento en que se amortice la obligación.
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ii) N 1 , N 2 ,…, Nn, el número de obligaciones VIVAS ó en circulación que van quedando en t 0 , t 1 , t 2 …, tn , por la derecha es decir después de devengarse ah, h=1,2,..,n, termino amortizativo del empréstito correspondiente a th , h=1,2,…,n.
iii)Resultando inmediatas la relación siguiente :
) ;.
, , 0 , , , tan.
) , , , , 1 , 2 ,..., ,
1 1
1
1 1 1 1
b N M N N M y N O
ademáscomo M elnúmerodetítulosvivos será cons teódecreciente
a N M siendo M N N y N N M parah n
n
h h
h h
N jh
h h
h
h h h h h h
N h h
= = − =
≥
= = − = − =
= =
=
3.4.-Estudio de la operación considerada globalmente:
M 1 M 2 Mn-1 Mn │---------│--------│----⁄⁄----------⁄⁄----│--------│ t 0 t 1 t 2 tn-1 tn
N 1 N 2 N 3 Nn Nn+1 = 0
M 1
Obligaciones
C • M 1 (a’ 1 + C 1 ) • M 1 │-----------│ t 0 t 1
M 2
Obligaciones
C • M 2 a’ 1 • M 2 (a’ 2 + C 2 )• M 2 │-----------│----------│ t 0 t 1 t 2
Mr Obligaciones
C • Mr a’ 1 • Mr a’ 2 • Mr ...(a’r+ Cr)• Mr │-----------│----------│----⁄⁄----│ t 0 t 1 t 2 tr
Mn Obligaciones
C• Mn a’ 1 •Mn a’ 2 •Mn a’n-1•Mn (a’n+Cn)•Mn │-----------│---------│-------⁄⁄-------│------------│ t 0 t 1 t 2 tn- 1 tn
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Siendo por lo tanto, la operación del empréstito global:
N 1 Obligaciones
C • N 1 a 1 a 2 an-1 an │-----------│---------│---⁄⁄-----⁄⁄--│------------│ t 0 t 1 t 2 tn-1 tn
Resultado de la agregación mediante suma vertical en cada fin de periodo de las operaciones presentadas por todas las obligaciones emitidas :
...................................................
: ( ' ) ' .... ' '
: ( ' ) ' .... ' '
:
....
Pr :
2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1
1 1
1 2
0
t a a C M a M a M a N C M
t a a C M a M a M a N C M
Contraprestaciónencadaperiodo
C M C M C M C M C N
estación en t
n
n
N h
n h
= + • + • + + • = • + •
= + • + • + + • = • + •
=
: ( ' ) ' 0
..........................
: ( ' ) ' .... ' '
.................... ..... 1
= + • = • + • =
= + • + • + + + • = • + •
n n n n n n n n n n
h h h h h h h h n h h h h
t a a C M a N C M con C
t a a C M a M a M a N C M
4.- ESTRUCTRA DE LOS TERMINOS AMORTIZATIVOS DEL
EMPRESTITO :
4.1- Los términos amortizativos totales del empréstito, ah, h=1,2,…,n, tienen la siguiente estructura:
ah = a’h • Nh + Ch • Mh ,siendo, a’h = Ch-1 • ih+ A’h.
Siendo :
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Siendo : CTh-1 - CTh = ATh : representa la disminución del capital vivo del empréstito durante el periodo [th-1, th] ó cuota de amortización total del empréstito.
CTh-1• ih = ITh: Cuota de interés del periodo.
Siendo, ah = ITh + ATh , para todo, h=1,2,…, n, término amortizativo del empréstito.
