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Ejemplos y soluciones de ejercicios relacionados con la integración definida en intervalos. Se trata de una técnica matemática utilizada para calcular la área bajo una curva, entre dos puntos dados. El documento incluye la definición de la integral definida, la propiedad de acotación y la aplicación de la regla fundamental del cálculo para resolver los ejercicios.
Tipo: Apuntes
1 / 66
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ANÁLISI
ANÁLISIS MATEMÁTICO II
1.1.1.1. NOTACIÓN SIGMANOTACIÓN SIGMANOTACIÓN SIGMANOTACIÓN SIGMA Es una notación que se usa para facilitar la escritura de la suma de muchos términos.
Para representar al índice de la suma puede utilizarse cualquier otra letra j, k, l...
A continuación se presentan algunos ejemplos de cálculo de sumatorias
Calcular la suma de las siguientes sumatorias:
a.
b.
c.
Escriba la suma en notación sigma:
a.
b.
Existen sumatorias cuya resolución es más compleja, es por ello que existen propiedades y fórmulas que nos permiten calcular su suma. A continuación se presentan algunas propiedades y fórmulas de la suma.
7 89 ,
Donde: =: límite superior de la suma
: límite inferior de la suma ?: índice de la suma 89 : i-ésimo término de la suma 7 89 =^8 < +^8 <CD +^ ⋯^ +^8 :FD +^8 :
:
9 ;<
L ?= 1 (^7)? +^1 3 = (^5 1) + 3 + (^6) +^1 3 + (^7) +^1 3 + (^8) +^1 3 = JQRJ LRQS
K 9 ;T
7 2 = 2 + 2 + 2 + 2 = K
U ?=
1 2 +^
1 2 2 +^
1 2 3 +^ ⋯^ +^
1 2 10 =^7
J XY
JS Y;J
ln 2 + ln 3 + ln 4 + ⋯ + ln 21 = 7 [\Y + J
XS Y;J
ó bien 7 [\Y
XJ Y;X
G∗∗H Ejercicio recopilado del libro PURCELL E., VARBERG D. & RIGDON S. 2001 G∗∗∗H Ejercicio recopilado del libro STEWART, James. 2008.
7 g
:
9;D
89 = g 7 8 9
:
9;D
78 9 ± h 9
:
9;D
:
9;D
± 7 h 9
:
9;D
7 8 9
:
9;D
l
9;D
:
9;lCD
7G? − ? − 1H
:
9;<
:
9;D
= =g
:
9;D
:
9;D
:
9;D
o= + 1o 4
:
9;D
p (^) + 9=o (^) + = − 1 30
En el ejemplo 1.3 se muestra la resolución de diversas sumatorias donde se aplican varias fórmulas y propiedades de la suma.
Finalmente,
7YX^ + JX^ =
uSS Y;J
Q, XKJU. JSJX
b.
Se aplica la primera propiedad de la suma, de manera que:
7?p^ − 4v
pt 9;T
= v w7 ?p^ −
pt 9;T
7 4
pt 9;T
x
Ahora bien, para poder aplicar las fórmulas de la suma es necesario que estas comiencen en uno 1, para lo cual se realiza la siguiente operación:
7 ?p
pt 9;D
= 7 ?p
q 9;D
pt 9;T
, Propiedad 3 de la sumatoria
Como lo que se quiere es la suma de? = 5 hasta? = 30, entonces:
7 ?p
pt 9;T
= 7 ?p
pt 9;D
− 7 ?p
q 9;D De igual manera,
7 4
pt 9;T
= 7 4
pt 9;D
− 7 4
q 9;D Por lo tanto,
v w7 ?p^ −
pt 9;T
7 4
pt 9;T
x = v yw7 ?p
pt 9;D
− 7 ?p
q 9;D
x − w7 4
pt 9;D
− 7 4
q 9;D
xz
Se aplican las fórmulas correspondientes fórmulas 1 y 4 de la sumatoria y se sustituyen,
v w7 ?p^ −
pt 9;T
7 4
pt 9;T
x = v {^30
Finalmente,
7YL^ − U}
LS Y;u
7 ?p^ − 4 v
pt 9 ;T
Para lograr que la suma comience en uno 1 se realiza el siguiente cambio de variable:
j =? − 4
Entonces, si? = 5 ⟹ j = 1 límite inferior de la suma si? = 30 ⟹ j = 26 límite superior de la suma
Se sustituye en la suma,
7?p^ − 4v
pt 9;T
= v 7Gj + 4p^ − 4H
o l;D Entonces,
v 7Gj + 4p^ − 4H
o l;D
= v 7jp^ + 12jo^ + 48j + 60
o l;D
Se aplican las propiedades y fórmulas correspondientes, de manera que:
v 7Gj + 4p^ − 4H
o l;D
= v {26
o26 + 1o 4 | + 12 {
2626 + 1226 + 1 6 | + 48
2626 + 1 2 + 6026
Como era de esperarse el resultado es el mismo.
Esta alternativa de resolución de sumas mediante cambio de variable es recomendada para cuando se tienen sumatorias donde el límite inferior es negativo.
} 7 G + UL^ − UH
XU ;J
= XJQSXJ}
2.2.2.2. PARTICIÓN:PARTICIÓN:PARTICIÓN:PARTICIÓN: se llama partición del intervalo G8, hH, al conjunto que cumpla con las siguientes
condiciones: i. Conjunto finito, t = 8 y : = h ii. Conjunto ordenado, t < D < o < ⋯ < :FD < : Es así como, = t, D, o, … , 9FD, 9 , … , :FD, :
Figura 1.1. Partición del intervalo G8, hH
subintervalo. Siendo un subintervalo del intervalo G8, hH: Gt, DH ; GD, oH ; … G9FD, 9 H ; … G:FD, :H Entonces, las longitudes de los subintervalos serán: ∆D = D − t ∆o = o − D . . . ∆ 9 = 9 − 9FD . . . ∆: = : − :FD
Cuando las longitudes de los subintervalos son diferentes se dice que la partición es irregular, esto es: t = 8 D = 8 + ∆D o = 8 + ∆D + ∆o . . . : = 8 + ∆D + ∆o + ⋯ + ∆:
Tal y como se muestra en la figura 1.
t = 8 D o 9 FD 9 :FD : =^ h
Sin embargo,
h − 8 = ∆D B ∆o B ⋯ B ∆9FD B ∆ 9 B ∆:FD B ∆:
Por otra parte, cuando las longitudes de los subintervalos son iguales se dice que la partición es regular, esto es:
∆D A ∆o A ⋯ A ∆9FD A ∆ 9 A ⋯ A ∆:FD A ∆: A ∆ A h m 8=
Siendo “n” el número de subintervalos de la partición:
Entonces,
t A 8 D A 8 B ∆ o A 8 B 2∆ . . . : A 8 B =∆
para una partición dada. Es decir,
‖‖ A >á∆ 9
una partición ya establecida. Se dice entonces que D es afino de si:
⊂ D
Figura 2.1. Representación de un afino de P
∆q = 8 − 7 = 1 Debido a que, ∆D = ∆q ≠ ∆o ≠ ∆p Entonces, q es una partición irregular
SeaSeaSeaSea u = −X, S, J, X, L, U, Q, K ∆D = 0 − −2 = 2 ∆o = 1 − 0 = 1 ∆p = 2 − 1 = 1 ∆q = 3 − 2 = 1 ∆T = 4 − 3 = 1 ∆ = 6 − 4 = 2 ∆ = 8 − 6 = 2 T es una partición irregular
SeaSeaSeaSea Q = −X, −J, S, JX , J, X, L, X , U, Q, K ∆D = −1 − −2 = 1 ∆o = 0 − −1 = 1 ∆p =^12 − 0 =^12
∆q = 1 −^12 =^12 ∆T = 2 − 1 = 1 ∆ = 3 − 2 = 1 ∆ =^72 − 3 =^12
∆ = 4 −^72 =^12 ∆ = 6 − 4 = 2 ∆Dt = 8 − 6 = 2 es una partición irregular
Basta con que una de las longitudes del subintervalo difiera de las demás para concluir que la partición es irregular.
‖o‖ A >á∆ 9 A 2 ‖q‖ A >á∆ 9 A 4 ‖T‖ A >á∆ 9 A 2 ‖‖ A >á∆ 9 A 2
Si se observan las particiones,
o A m2,0,2,4,6,8; T A m2,0,1,2,3,4,6,8 ; A m2, m1,0,^12 , 1,2,3,^72 , 4,6,8
Se encuentra que de o derivan T y por lo tanto estas particiones son afinos de o. En la figura 2.2 se observa la inclusión de los nuevos elementos a la partición o lo que genera a T, se dice entonces que o está incluido en T.
Figura 2.2. Representación del afino P 5
De igual manera en la figura 2.3 se observa que se incluyen nuevos elementos a la partición T lo que genera a , y por lo tanto se dice que T está incluido en .
Figura 2.3. Representación del afino P 6
Entonces o ⊂ T ⊂
Calcular la suma de Riemann par definida por A m10, m8, m
La función a la cual se le calculará gráfica de la misma, así como tam ¡ 9 A 9 ; como es de observarse, función será evaluada en los extre tanto como por encima como por d
ma de Riemann para A o^ B B 1, cuya partición del inte m6, m2, m1, 1, 3, 5 si ¡ 9 A 9
a cual se le calculará la suma de Riemann es una parábola, l misma, así como también la representación de la suma de Riem es de observarse, el hecho de que ¡ 9 cumpla con esta condici valuada en los extremos superiores de cada subintervalo obtenié r encima como por debajo de la función.
Figura 3.1.a. Suma de Riemann
a partición del intervalo Gm10, 5H está
una parábola, la figura 3.1.a muestra la de la suma de Riemann para cuando pla con esta condición significa que la subintervalo obteniéndose rectángulos
Para la resolución del ejercicio es de mucha ayuda realizar una tabla semejante a la tabla 3.1, donde se presenta la longitud de cada subintervalo y el valor de la función evaluado en cada ¡ 9.
Tabla 3.1. Resolución del ejemplo 3.
Y YFJ Y ∆Y £¤Y 1 - 10 - 8 2 57 2 - 8 - 6 2 31 3 - 6 - 2 4 3 4 - 2 - 1 1 1 5 - 1 1 2 3 6 1 3 2 13 7 3 5 2 31
La columna ?, indica el número de subintervalos de la partición, la columna 9FD representa los extremos inferiores de cada subintervalo y la columna 9 , representa a los extremos superiores de cada subintervalo de la partición. Esta tabla organiza la información necesaria para el cálculo de la suma de Riemann, de manera de que solo se sustituyen los datos encontrados en ella en la definición de suma de Riemann.
Los punto rojos en la figura 3.1.a representan los valores de ¤Y evaluados en la función, así como la altura de cada rectángulo en cada subintervalo de la partición.
De acuerdo a la partición asignada la definición de la suma de Riemann queda como:
¥¦ = 7 ¡ 9 ∆ 9
9;D ¥¦ = ¡D∆D + ¡o∆o + ¡p∆p + ¡q∆q + ¡T∆T + ¡∆ + ¡∆
Se sustituyen los datos necesarios de la tabla 3.
¥¦ = 572 + 312 + 34 + 11 + 32 + 132 + 312
Entonces,
¥¦D = XKL
Es posible cambiar el punto de evaluación de la función, es decir de ¡ 9 , de manera que la suma de Riemann se verá afectada por dicha elección cambiando su valor final. Para verificar lo mencionado
Figura 3.1.b. Suma de Riemann ¡ 9 A 9FD
Figura 3.1.c. Suma de Riemann ¤Y A Y B YFJ ⁄X
Dada la función = |
determinar la suma de Riemann si
Se define la función como:
La figura 3.2 muestra la represent
puntos rojos corresponden al valor
|o^ − 1| y perteneciente suma de Riemann si ¡ 9 A 9FD B Do
A 1 m o^ m^1 o® sisi^ §
¯FD°t
A ²1 m o^ m^1 o ®sisi^ § ∈ F´§ ∈ FD,D,®FDH®∪GD,®®C´
Figura 3.2. Suma de Riemann ¤Y = YFJ + JX
muestra la representación gráfica de la suma de Riemann para orresponden al valor de esos ¡ 9 evaluados en la función
= − 1 , m 12 , 12 , 32 , 2
perteneciente al intervalo G− 1 , 2H,
de Riemann para ¡ 9 = 9FD + Do y los
