¡Descarga Integración indefinida y definida: propiedades y ejemplos - Prof. 13666 y más Apuntes en PDF de Cálculo solo en Docsity!
Cap´ıtol 5
C`alcul integral d’una variable
M. Alsina
5.1 Definici´o de funci´o primitiva i propietats
5.1.1 Definici´o. Sigui f una funci´o. Si existeix una funci´o F tal que F ′(x) = f (x) es diu que F ´es una primitiva de f. Ho escriurem:
F ′(x) = f (x), o b´e
f (x)dx = F (x).
La funci´o F tamb´e es pot anomenar antiderivada o integral (indefinida) de f.
5.1.2 Propietats. Les primitives satisfan les propietats corresponents a les propietats de la derivaci´o.
(f (x) + g(x))dx =
f (x)dx +
g(x)dx.
λf (x)dx = λ
f (x)dx.
- Si F (x) ´es una primitiva de f (x), aleshores F (x) + C tamb´e ´es una primitiva de f.
2 Cap. 5.2. C`alcul de primitives
5.2 C`alcul de primitives
En primer lloc, ens cal saber calcular primitives en els casos directes. Es parla aleshores d’integrals inmediates. Cal practicar a partir de les regles de derivaci´o.
Apart de l’aplicaci´o directa, pensant en les regles de derivaci´o, veurem com a m`etodes principals:
- La integraci´o per parts, amb l’objectiu d’aplicar la regla de derivaci´o del producte i canviar una integral per una altra m´es f`acil.
- Els canvis de variable, de manera que la integral en la nova variable sigui m´es f`acil de calcular.
- La descomposici´o de fraccions en fraccions simples, eina ´util tamb´e en altres problemes, que descomposa la integral d’un fracci´o en integrals de fraccions m´es simples.
A partir de la regla de derivaci´o del producte:
(u(x) · v(x))′^ = u′(x)v(x) + u(x)v(x),
´es f`acil deduir el teorema seg¨uent.
5.2.1 Teorema. (Integraci´∫ o per parts) u · dv = u · v −
v · du.
5.2.2 Teorema. (Canvi de variable) Posant x = g(t), tenim
f (x)dx =
f (g(t))g′(t)dt.
Notem la utilitat de la notaci´o dx i l’aplicaci´o de la regla de la cadena.
5.2.3 Remarca. Sovint l’exit del calcul d’un aprimirtiva aplicant el canvi de variable rau en el canvi en s´ı mateix. En alguns casos el canvi per tald e simplificar la integral i poder calcular la primitiva de manera inmediata ´es evident. El altres casos, hi ha una serie de cavnis recomanats que tenen a veure amb funcions trigonometriques, l’exit dels quals es basa precisament en propietats geometriques. Podem recordar algunes propietats com:
4 Cap. 5.2. C`alcul de primitives
tant cal que igualem els coeficients de cada grau. Aix´ı, obtenim:
0 = A + B + C − 13 = − 2 A + 3B − C − 21 = − 3 A + 2B − 6 C
sistema de 3equacions i 3 inc`ognites el resolem i obtenim C = 2 , B = − 3 , A = 1
Per exemple, pel m`etode de Gauss:
− 4 C = − 8 ⇒ C = 2
5 B + C = − 13 ⇒ B = − 3
A + B + C = 0 ⇒ A = 1
Ens podem estalviar c`alculs si plantegem:
− 13 x − 21 x^3 − 7 x − 6
A(x − 3)(x + 1) + B(x + 2)(x + 1) + C(x + 2)(x − 3) (x + 2)(x − 3)(x + 1)
Com que aquesta igualtat ha de ser certa per a tots els valors de x, es tracta de donar valors a x de manera que poguem trobar les solucions dels parametres facilment. Aix´ı igualem els numeradors per:
x = 3 → − 13 · 3 − 21 = A · 0 + B(3 + 2)(3 + 1) + C · 0 → −60 = 20B → B = − 3 x = − 1 → −13(−1) − 21 = A · 0 + B · 0 + C(−1 + 2)(− 1 − 3) → −8 = − 4 C → C = 2 x = − 2 → −13(−2) − 21 = A(− 2 − 3)(−2 + 1) + B · 0 + C · 0 → 5 = 5A → A = 1
Ara tornem al c`alcul de la primitiva. La descomposici´o en fraccions simples ens ha perm´es reduir-nos a calcular primitives inmediates: ∫ − 13 x − 21 x^3 − 7 x − 6
dx =
x + 2
x − 3
x + 1
dx
x + 2
dx + (−3)
x − 3
dx + 2
x + 1
dx
= ln(x + 2) − 3 ln(x − 3) + 2 ln(x + 1) + C
5.2.6 Exemple. Volem calcular
− 8 x + 11 x^4 − x^3 − 3 x^2 + 5x − 2
dx
Com a l’exemple anterior, factoritzem el denominador (utilitzant Ruffini) i fem la descomposici´o en fraccions simples.
x^4 − x^3 − 3 x^2 + 5x − 2 = (x − 1)^3 (x + 2)
i per tant:
− 8 x + 11 x^4 − x^3 − 3 x^2 + 5x − 2
A
x − 1
B
(x − 1)^2
C
(x − 1)^3
D
(x + 2)
A(x − 1)^2 (x + 2) + B(x − 1)(x + 2) + C(x + 2) + D(x − 1)^3 (x − 1)^3 (x + 2)
A(x^3 − 3 x + 2) + B(x^2 + x − 2) + C(x + 2) + D(x^3 − 3 x^2 + 3x − 1) (x − 1)^3 (x + 2)
Igualem els numeradors, ja que els denominadors s´on el mateix. Segons els coeficients de cada grau tenim:
grau 3 : A + D = 0 grau 2 : B − 3 D = 0 grau 1 : − 3 A + B + C + 3D = − 8 grau 0 : 2 A − 2 B + 2C − D = 11
D = − 1
C = 1
B = − 3
A = 1
De manera analoga al primer exemple, ens podr´ıem estalviar calculs donant valors adequats a la variable x.
Ara retornem al c`alcul de la primitiva inicial.
− 8 x + 11 x^4 − x^3 − 3 x^2 + 5x − 2
dx =
x − 1
(x − 1)^2
(x − 1)^3
(x + 2)
dx =
= ln(x − 1) + 3
x − 1
(x − 1)^2
− ln(x + 2) + C
5.3 Integral definida
Introdu¨ım ara la integral definida, en el sentit de Riemann.
5.3.1 Definici´o. Sigui f : [a, b] → R una funci´o fitada. La integral definida de f sobre [a, b] ´es l’area entre la grafica de f (x) i l’eix X, des de a fins a b.
Ho denotem
∫ (^) b
a
f (x)dx.
5.3.2 Remarca. Idea intu¨ıtiva d’area sota una funci´o fitada. Com podem aproximar-la a partir de l’area de figures tan senzilles com s´on els rectangles?
Busqueu-ne les interpretacions gr`afiques a la bibliografia recomanada. Les podeu veure tamb´e en un fitxer addicional de Maple.
A continuaci´o teniu un resum de com funciona l’aproximaci´o per les sumes inferiors i superiors, utilitzant particions d’un interval.
5.3.3 Definici´o. Sigui f : [a, b] → R una funci´o fitada. Considerem una partici´o de [a, b]: π = {a = x 0 < x 1 < · · · < xn− 1 < xn = b}. Anomenen suma inferior de f respecte π la suma de les `arees dels rectangles que tenen com a base els intervals de la partici´o i com a al¸cada el m´ınim de la funci´o a cada interval, ´es a dir:
s(f, π) =
∑^ n−^1
i=
mi(xi − xi− 1 )
on mi ´es el m´ınim absolut de f en [xi− 1 , xi].
An`alogament, considerem la suma superior:
S(f, π) =
n∑− 1
i=
Mi(xi − xi− 1 )
on Mi ´es el m`axim absolut de f en [xi− 1 , xi].
5.3.4 Remarca. Per una mateixa funci´o, a mesura que les particions d’un interval es van fent m´es fines, ´es a dir, es subdivideixen, ´es esperable que l’aproximaci´o de l’`area sigui m´es bona. Concretament, si la partici´o es fa m´es fina, el valor de la suma
8 Cap. 5.3. Integral definida
inferior tendeix a creixer, i el valor de la suma superior a disminuir, ja que disminueixen els errors d’aproximaci´o. Si aquests valors arriben a coincidir, aleshores ´es clar que hem trobat l’area, ´es a dir el valor de la integral.
5.3.5 Definici´o. Sigui f : [a, b] → R una funci´o fitada. Definim la integral inferior i la integral superior de f a l’interval [a, b] respectivament com: ∫ (^) b
a −−
f (x)dx = suprem{s(f, π) | π partici´o de [a, b]}
∫^ −−
b
a
f (x)dx = infim{S(f, π) | π partici´o de [a, b]}
Direm que f ´es integrable a l’interval [a, b] si els dos valors anteriors coin- cideixen, i el seu valor ´es la integral definida de f (x) sobre [a, b]:
∫ (^) b
a
f (x)dx =
∫ (^) b
a −
f (x)dx =
∫^ −
b
a
f (x)dx.
5.3.6 Teorema. Tota funci´o cont´ınua en [a, b] ´es integrable en [a, b].
A continuaci´o teniu una mostra d’aplicacions de la integral.
Sigui f : [a, b] → R+^ una funci´o C^1.
a) L’`area entre la funci´o f i l’eix OX, entre a i b ´es
∫ (^) b a f^ (x)dx. b) La longitud de la corba donada per ∫ f entre (a, f (a)) i (b, f (b)) ´es b a
1 + [f ′(x)]^2 dx.
c) L’area que s’obt´e al fer girar la grafica de f al voltant de l’eix X entre a i b ´es 2π
∫ (^) b a f^ (x)
1 + [f ′(x)]^2 dx.
d) El volum del solid que s’obt´e al fer girar la grafica de f al voltant de l’eix X entre a i b ´es π
∫ (^) b a [f^ (x)]
(^2) dx.
e) Calcul de centres de gravetat, moments d’inercia, funcions de probabilitat,...
Ara b´e, el c`alcul de integrals a trav´es de les sumes inferiors i superiors no ´es eficient. Cal tenir una manera millor de calcular aquestes integrals: la donada pel teorema seg¨uent.
10 Cap. 5.4. Integraci´o impr`opia
5.4 Integraci´o impr`opia
La integral de Riemann l’hem definit nom´es per a funcions fitades en un interval tancat [a, b]. Anem a extendre el concepte d’integral definida tamb´e a funcions no fitades i a funcions definides sobre tota la recta real i intervals que arriben fins a l’infinit. Aquesta extensi´o s’anomena integral impr`opia de Riemann i es realitza considerant l´ımits de funcions.
5.4.1 Definici´o. Sigui f una funci´o cont´ınua a l’interval [a, b). Aix`o inclou tant el cas b = +∞ com el cas que f tingui una discontinu¨ıtat en b.
Considerem lim N →b
∫ N
a
f (x)dx. Si aquest l´ımit existeix i ´es finit direm la in-
tegral impr`opia
∫ (^) b
a
f (x)dx ´es convergent i t´e aquest valor. En cas contrari,
direm que ´es divergent.
5.4.2 Remarca. En el cas que f estigui definida sobre (a, b], o sobre (a, b), es planteja de manera an`aloga. Aix´ı: ∫ (^) b
a
f (x)dx = lim N →b
∫ N
a
f (x)dx ∫ (^) ∞
a
f (x)dx = lim M →∞
∫ M
a
f (x)dx, i
∫ (^) b
−∞
f (x)dx = lim N →−∞
∫ (^) b
N
f (x)dx,
Tamb´e s’aplica en el cas que f : [a, b] → R sigui una funci´o cont´ınua excepte en un punt ∫ c (o un nombre finit de punts). Aleshores, la integral impr`opia b
a
f (x)dx ´es convergent si
∫ (^) c
a
f (x)dx i
∫ (^) b
c
f (x)dx s´on convergents.
En aquest cas, escrivim
∫ (^) b
a
f (x)dx =
∫ (^) c
a
f (x)dx +
∫ (^) b
c
f (x)dx.
5.4.3 Proposici´o. (Integrals harm`oniques) Considerem la funci´o f (x) = (^) x^1 α.
Si a > 0 , aleshores
a
xα^
dx ´es
convergent si α > 1 , divergent si α ≤ 1.
Si b > 0 , aleshores
∫ (^) b
0
xα^
dx ´es
convergent si α < 1 , divergent si α ≥ 1.
