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Documento que presenta teoremas y aplicaciones relacionados con la integración definida, incluye teoremas especiales, propiedades, teorema fundamental del cálculo y ejemplos de cálculo de áreas entre curvas.
Tipo: Apuntes
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Areas Bajo la Curva. Sumas de Riemman. Propiedades. Teorema Fundamental del^ ´ C´alculo. ´Areas entre Curvas.
Matem´atica II (525106)
Departamento de Ingenier´ıa Matem´atica Universidad de Concepci´on
Primer semestre de 2020
´AREA BAJO LA CURVA
Partiremos con la idea de encontrar el ´area bajo la curva de una funci´on f , continua y positiva en el intervalo cerrado [a, b].
´AREA BAJO LA CURVA
La idea es aproximar el ´area bajo la curva mediante la suma de ´areas de rect´angulos definidos en cada subintervalo.
Luego, el ´area aproximada est´a dada por la sumatoria de las ´areas de estos n rect´angulos:
∑^ n
i=
f (ci ) · h
Donde ci ∈ [xi− 1 , xi ].
´AREA BAJO LA CURVA
Observe que a medida que usamos rect´angulos de grosor m´as peque˜no, el ´area bajo la curva es aproximada de mejor manera. Luego en el l´ımite, el ´area bajo la curva est´a dada por:
l´ım h→ 0
∑^ n
i=
f (ci ) · h
Este l´ımite se conoce como Suma de Riemann.
INTERPRETACI ´ON GR´AFICA
Gr´aficamente, y bas´andonos en la interpretaci´on anterior, el valor de la integral definida se puede interpretar como la suma de las ´areas sobre el eje x, menos las ´areas bajo el eje x.
PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
(^1) Si f est´a definida en x = a, entonces
∫ (^) a
a
f (x) dx = 0
(^2) Si f es integrable en [a, b], entonces
∫ (^) b
a
f (x) dx = −
∫ (^) a
b
f (x) dx
Si f es integrable en [a, b], entonces para c ∈ (a, b), entonces
∫ (^) b
a
f (x) dx =
∫ (^) c
a
f (x) dx +
∫ (^) b
c
f (x) dx
Este teorema se puede interpretar como la suma del ´area bajo la curva en el intervalo [a, c] y el ´area bajo la curva en el intervalo [c, b].
PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
Si f y g son integrables en [a, b] y k es una constante real, entonces k · f y f ± g son integrables en [a, b] y adem´as satisfacen:
1
∫ (^) b
a
k · f (x) dx = k
∫ (^) b
a
f (x) dx
2
∫ (^) b
a
[f (x) ± g (x)] dx =
∫ (^) b
a
f (x) dx ±
∫ (^) b
a
g (x) dx
(^1) Si f es integrable y no negativa en [a, b], entonces ∫ (^) b
a
f (x) dx ≥ 0
(^2) Si f y g son integrables en [a, b] y f (x) ≤ g (x) en [a, b], entonces ∫ (^) b
a
f (x) dx ≤
∫ (^) b
a
g (x) dx
PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
Si f y g son integrables en [a, b] y k es una constante real, entonces k · f y f ± g son integrables en [a, b] y adem´as satisfacen:
1
∫ (^) b
a
k · f (x) dx = k
∫ (^) b
a
f (x) dx
2
∫ (^) b
a
[f (x) ± g (x)] dx =
∫ (^) b
a
f (x) dx ±
∫ (^) b
a
g (x) dx
(^1) Si f es integrable y no negativa en [a, b], entonces ∫ (^) b
a
f (x) dx ≥ 0
(^2) Si f y g son integrables en [a, b] y f (x) ≤ g (x) en [a, b], entonces ∫ (^) b
a
f (x) dx ≤
∫ (^) b
a
g (x) dx
RELACI ´ON CON LA ANTIDERIVADA
Si f es una funci´on continua en [a, b] y F es una antiderivada de f , es decir, es tal que
F ′(x) = f (x), ∀ x ∈ [a, b]
entonces (^) ∫ (^) b
a
f (x) dx = F (b) − F (a)
(^1) Denotamos la diferencia F (b) − F (a) como F (x)|ba.
(^2) No es necesario incluir la constante de integraci´on, ya que: ∫ (^) b
a
f (x) dx = [F (x) + C ]|ba = [F (b) + C ] − [F (a) + C ] = F (b) − F (a)
APLICACI ´ON DEL TEOREMA
Ejemplo 1:
1
1
(x^2 − 3) dx =
x^3 3
− 3 x
2
1
2
1
x dx =
x^3 /^2 3 / 2
4
1
2 x^3 /^2
4 1
3
∫ (^) π/ 4
0
sec^2 (x) dx = tan(x)|π/ 0 4 = tan
( (^) π 4
− tan(0) = 1
4
∫ (^) π/ 2
0
x cos(x) dx = [x sen(x) + cos(x)]|π/ 0 2 = [ (^) π 2
sen
( (^) π 2
( (^) π 2
− [0 sen(0) + cos(0)] =
π 2
Donde la primitiva de la funci´on se obtiene integrando por partes. ∫ x cos(x) dx = x sen(x) −
cos(x) dx = x sen(x) + cos(x)
APLICACI ´ON DEL TEOREMA
Ejemplo 3: Calcular el ´area de la regi´on acotada por la gr´afica de y = 2x^2 − 3 x + 2, el eje x y las rectas verticales x = 0 y x = 2.
Soluci´on Sugerida:
´area =
0
(2x^2 − 3 x + 2) dx
2 x^3 3
− 3 x
3 2
2
0
=
OTROS TEOREMAS ´UTILES
Si la funci´on u = g (x) tiene derivada continua en el intervalo cerrado [a, b] y f es continua en el recorrido de g , entonces
∫ (^) b
a
f (g (x))g ′(x) dx =
∫ (^) g (b)
g (a)
f (u) du
Este teorema permite efectuar un cambio de variables sin la necesidad de volver a la variable original una vez calculada la primitiva en t´erminos de u.
OTROS TEOREMAS ´UTILES
Ejemplo 2:
∫ (^5)
1
x √ 2 x − 1
dx =
1
u + 1 2
u
du 2
=^1 4
1
u^1 /^2 + u−^1 /^2
du
u^3 /^2 3 / 2
u^1 /^2 1 / 2
9
1
=
u = 2x − 1 ⇒ x =
u + 1 2
du = 2dx ⇒ dx =
du 2 Si x = 1 ⇒ u = 1 Si x = 5 ⇒ u = 9
OTROS TEOREMAS ´UTILES
Ejemplo 3:
∫ (^1)
0
x^2
1 − x dx = −
1
(1 − u)^2
u du
0
1 − 2 u + u^2
u du
0
u^1 /^2 − 2 u^3 /^2 + u^5 /^2
du
u^3 /^2 3 / 2
2 u^5 /^2 5 / 2
u^7 /^2 7 / 2
1
0
=
u = 1 − x ⇒ x = 1 − u
du = −dx ⇒ dx = −du Si x = 0 ⇒ u = 1 Si x = 1 ⇒ u = 0
