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Límites y continuidad Límite funcional
Límites y continuidad
6.1 Límite funcional 99 6.2 Límites infinitos y en el infinito 101 6.3 Cálculo de límites 103 6.4 Continuidad 104 6.5 Teorema del valor intermedio 107 6.6 Monotonía 109 6.7 Ejercicios 110
La definición usual de función continua involucra el concepto de límite: cuando x “tiende a” a, f (x) “tiende a” f (a). Esto es una definición perfecta de la continuidad siempre que definamos qué es “tender a”.
6.1 Límite funcional
Existen varias formas de definir el límite de una función en un punto. Nosotros vamos a utilizar sucesiones en la definición y así aprovechar todas las propiedades que hemos visto en el tema anterior. La definición de límite de una función con sucesiones va a tener siempre un aspecto similar al siguiente:
lim x→a f (x) = b ⇐⇒
[
si lim n→∞ xn = a, entonces lim n→∞ f (xn) = b
]
Para que esto valga como definición de límite, sólo tenemos que garantizarnos que existan suce- siones convergentes al punto donde tomamos límite. Recordemos que A′^ denota al conjunto de puntos de acumulación del conjunto A. Con todos estos ingredientes ya podemos dar la definición de límite de una función en un punto.
Definición 6.1. Sea A un subconjunto de R y f : A → R una función. Diremos que f tiene límite en x 0 ∈ A′^ y que vale L si para cualquier sucesión {xn} de elementos de A distintos de Límite x 0 que tienda a x 0 se cumple que { f (xn)} tiende a L. Caso de ser así, escribiremos (^) xlim→x 0
f (x) = L.
Observación 6.2. Recuerda que si la función está definida en un intervalo, todos los puntos del correspondiente intervalo cerrado son puntos de acumulación. En algunas ocasiones puede ser más útil reescribir la definición de la forma siguiente. Proposición 6.3. Sea f : A ⊆ R → R y x 0 ∈ A′. Las siguientes afirmaciones son equivalentes. a) (^) xlim→x 0 f (x) = L_. b) Para cualquier_ ε > 0 existe δ > 0 tal que si 0 < (^) |x − x 0 | < δ y x ∈ A , entonces (^) | f (x) − L| < ε.
Límite funcional Límites y continuidad
6.1.1 Álgebra de límites
Dado que la definición de límite se puede ver en términos de sucesiones, podemos aplicar los resultados sobre límites de sucesiones que conocemos. Obtenemos el resultado análogo a la Proposición 4.8 sobre el comportamiento de límite con respecto a sumas, productos y cocientes. Proposición 6.4. Sean f, g : A → R y x 0 ∈ A′. Entonces, a) (^) xlim→x 0
( f + g)(x) = (^) xlim→x 0
f (x) + (^) xlim→x 0
g(x) ,
b) lim x→x 0 ( f g)(x) =
lim x→x 0 f (x)
lim x→x 0 g(x)
c) si lim x→x 0 g(x) 6 = 0 , se cumple que lim x→x 0
f g
(x) =
limx→x 0 f (x) limx→x 0 g(x)
De igual manera que ocurre con sucesiones, el límite del producto de una función con límite cero y una función acotada es cero. Proposición 6.5. Sean f, g : A → R y x 0 ∈ A′. Si lim x→x 0 f (x) = 0 y g está acotada, entonces
x^ lim→x 0 ( f g)(x) = 0_._
6.1.2 Límites laterales
Intuitivamente, para calcular limx→x 0 f (x) tomamos valores cercanos a x 0 , calculamos su ima- gen por la aplicación f y vemos si se acercan a algún valor. Si nos acercamos a x 0 por valores mayores que x 0 , hablaremos de límite por la derecha. Si nos acercamos por valores menores habla- remos de límite por la izquierda. Formalizemos estos conceptos.
Definición 6.6. Sea A un subconjunto de R, f : A → R una función y x 0 ∈ A′. a) Si x 0 es un punto de acumulación de A−^ = {x ∈ A : x < x 0 }, se define el límite por la izquierda de f en x 0 como lim x→x− 0
f (x) := lim x→x 0 f|A−^ (x).
b) Si x 0 es un punto de acumulación de A+^ = {x ∈ A : x > x 0 }, se define el límite por la derecha de f en x 0 como lim x→x+ 0
f (x) := lim x→x 0 f|A+ (x).
En principio no tienen porqué tener sentido ambos límites laterales. Por ejemplo, si x 0 es el extremo de un intervalo sólo se puede estudiar uno de los dos límites laterales. Lo que sí es cierto es que si se puede estudiar el límite, al menos uno de los límites laterales tiene que tener sentido. Además, una función tiene límite en x 0 si, y sólo si, existen todos los límites laterales que tengan sentido y coinciden. Proposición 6.7. Sea f : A → R y x 0 ∈ A′. a) Si x 0 ∈ (A+)′^ y x 0 ∈/ (A−)′ , entonces ∃ lim x→x 0 f (x) = L ⇐⇒ ∃ lim x→x+ 0
f (x) = L_._
b) Si x 0 ∈ (A−)′^ y x 0 ∈/ (A+)′ , entonces ∃ (^) xlim→x 0 f (x) = L ⇐⇒ ∃ lim x→x− 0 f (x) = L_._
c) Si x 0 ∈ (A+)′^ ∩ (A−)′ , entonces ∃ lim x→x 0 f (x) = L ⇐⇒ ∃ lim x→x+ 0
f (x) = lim x→x− 0
f (x) = L_._
Límites infinitos y en el infinito Límites y continuidad
6.2.2 Asíntotas horizontales
La última posibilidad que nos queda es definir límites en +∞ o −∞. De nuevo empezamos con sucesiones.
Definición 6.10. Sea A ⊂ R un subconjunto no acotado superiormente y sea f : A → R. a) Diremos que f tiene límite en +∞ y que vale L si para cualquier sucesión {xn} de elementos de A que tienda a +∞ se cumple que { f (xn)} tiende a L. b) De forma similar, diremos que el límite de f en +∞ es +∞ si para cualquier sucesión {xn} de elementos de A que tienda a +∞ se cumple que { f (xn)} tiende a +∞.
Y también tenemos las reformulaciones equivalentes sin usar sucesiones. Proposición 6.11. Sea A ⊂ R un subconjunto no acotado superiormente y sea f : A → R_. a)_ (^) xlim→+∞ f (x) = L si, y sólo si, dado ε > 0 existe M ∈ R tal que si x > M y x ∈ A entonces | f (x) − L| < ε. b) (^) xlim→+∞ f (x) = +∞ si, y sólo si, dado M ∈ R existe N tal que si x > N , entonces f (x) > M_._ De forma completamente análoga se pueden definir los límites en −∞ o que valgan −∞. Ejemplo 6.12. Las funciones periódicas no constantes no tienen límite en infinito. Para demostrar que una función no tiene límite en +∞ usando la caracterización por sucesiones tenemos que encontrar una sucesión {xn} que tienda a +∞ y tal que { f (xn)} no sea convergente o dos sucesiones de manera que sus imágenes tienden a límites distintos. Veamos que este último método nos viene bien.
(x 0 , f (x 0 )) (x 0 + T, f (x 0 + T )) (x 0 + 2 T, f (x 0 + 2 T ))
(y 0 , f (y 0 )) (y 0 + T, f (y 0 + T )) (y 0 + 2 T, f (y 0 + 2 T ))
Figura 6.2 Las funciones periódicas no triviales no tienen límite en infinito
La función no es constante: toma al menos dos valores distintos. Sean x 0 , y 0 tales que f (x 0 ) 6 = f (y 0 ). Si T es un periodo de la función f , las sucesiones {x 0 + nT } e {y 0 + nT } tienden a +∞ y
f (x 0 ) = (^) nlim→∞ f (x 0 + nT ) 6 = (^) nlim→∞ f (y 0 + nT ) = f (y 0 ).
Cuándo una función tiene límite en +∞ o −∞ solemos decir que la función tiene una asíntota horizontal. Por ejemplo, como
lim x→+∞
2 x + 3 sen(x) x
la función f (x) = 2 x+3 sen( x x)tiene una asíntota horizontal en 2. Observa que, a diferencia de las asíntotas verticales, la gráfica de la función puede cruzar la recta que define la asíntota (y = 2 en este caso).
Límites y continuidad Cálculo de límites
Figura 6.3 Asíntota horizontal
6.2.3 Indeterminaciones
Existen límites que no se pueden resolver utilizando las operaciones elementales, leáse por ejem- plo el límite de una suma es la suma de los límites. A estas situaciones las llamamos indetermina- ciones y son
∞ − ∞,
, 0 · ∞, 00 , ∞^0 , 1 ∞.
Ya conoces algunas formas de eliminar indeterminaciones. Por ejemplo, cuando nos encontramos con un cociente de polinomios con una indeterminación del tipo 00 , eso significa que numerador y denominador tienen una solución común. Si simplificamos dicha raíz, eliminamos la indetermina- ción.
Ejemplo 6.13. Calculemos lim x→ 1
x^2 − 1 x − 1
lim x→ 1
x^2 − 1 x − 1
= lim x→ 1
(x − 1)(x + 1) x − 1
= lim x→ 1 x + 1 = 2.
6.3 Cálculo de límites
Dado que la definición de límite funcional está hecha con sucesiones, podemos trasladar fácil- mente las propiedades de éstas a propiedades de límites. Proposición 6.14. Sean f, g : A → R y x 0 ∈ A′ a) Si lim x→x 0 f (x) = +∞ y g está minorada, entonces lim x→x 0 ( f + g)(x) = +∞. b) Si lim x→x 0 f (x) = +∞ y existe K > 0 tal g(x) > K para todo x , entonces lim x→x 0 f (x)g(x) = +∞.
El siguiente resultado permite resolver algunas indeterminaciones del tipo “ 1 ∞”. Proposición 6.15. Sean f, g : A → R y a ∈ A′. Supongamos que lim x→a f (x) = 1_. Entonces_ (^) Regla del número e a) lim x→a f (x)g(x)^ = eL^ ⇐⇒ lim x→a g(x) ( f (x) − 1) = L, b) lim x→a f (x)g(x)^ = 0 ⇐⇒ lim x→a g(x) ( f (x) − 1) = −∞, y c) lim x→a f (x)g(x)^ = +∞ ⇐⇒ lim x→a g(x) ( f (x) − 1) = +∞.
Límites y continuidad Continuidad
Podemos expresar la continuidad utilizando sucesiones de manera similar a lo que hemos hecho con límites o de la forma “ − δ”. Proposición 6.22. Sea f : A → R_. Las siguientes afirmaciones son equivalentes: a)_ f es continua en a ∈ A_. b) Dado_ ε > 0 , existe δ > 0 tal que si x ∈ A y |x − a| < δ , entonces | f (x) − f (a)| < ε. Si te fijas, la definición de función continua se parece mucho a la definición de límite. Compa- rándolas, la primera diferencia salta a la vista: hemos cambiado el valor del límite por f (a). La segunda es un poco más sutil: en la definición de límite partimos de un punto de acumulación. Como vemos en la siguiente proposición, es importante distinguir entre puntos aislados y puntos de acumulación a la hora de estudiar la continuidad de una función. Proposición 6.23. Sea f : A → R_. a) Si_ a es un punto de acumulación de A , f es continua en a si y sólo si existe lim x→a f (x) = f (a). b) Si a es un punto aislado de A , f es continua en a_._ Observación 6.24. La distinción entre puntos aislados y puntos de acumulación carece de im- portancia en el caso de funciones definidas en intervalos ya que todos los puntos son de acumu- lación. Por tanto, si I es un intervalo, una función f : I → R es continua en a ∈ I si y sólo si lim x→a f (x) = f (a).
6.4.1 Discontinuidades
¿Qué puede fallar para que que una función no sea continua? Para que sí lo sea, debe existir el límite en dicho punto y coincidir con el valor de función. Por tanto, las discontinuidades se deben a alguno de estas dos causas: a) El límite lim x→a f (x) existe pero no vale f (a). En este caso decimos que la función presenta una discontinuidad evitable en a. El motivo es que si cambiamos el valor de la función en a por el Discontinuidad del límite obtenemos una función continua. evitable b) La segunda posibilidad es que no exista el lim x→a f (x). Esto puede deberse a varios factores. i) Existen los límites laterales pero no coinciden. En este caso diremos que f presenta una Discontinuidad de discontinuidad de salto en a. salto ii) Algún límite lateral no existe: diremos que f tiene una discontinuidad esencial en a. Discontinuidad esencial
6.4.2 Álgebra de funciones continuas
Como sabemos el comportamiento de los límites con respecto a sumas, productos o cocientes, es fácil obtener un resultado similar para funciones continuas. Proposición 6.25. Sean f, g : A → R continuas en a ∈ A_. Entonces, a)_ f + g es continua en a , b) f g es continua en a , y c) si g(a) 6 = 0 , (^) gf es continua en a_._
Proposición 6.26. La composición de funciones continuas es una función continua. Regla de la cadena Ejemplo 6.27. La función valor absoluto es continua. En consecuencia si f es continua | f | también lo es. Es fácil encontrar ejemplos de que el recíproco no es cierto. La función
Continuidad Límites y continuidad
f (x) =
{ (^1) , si x ≥ 0 − 1 , si x < 0
es discontinua en el origen y | f | es la función constantemente igual a uno que sí es continua. /
6.4.3 Carácter local de la continuidad
La continuidad de una función en un punto sólo depende del comportamiento de dicha función “cerca” del punto. Este hecho lo aplicamos sin darnos cuenta cada vez que estudiamos la continui- dad de una función definida a trozos. Por ejemplo, cuando decimos que la función
f (x) =
x^2 , si x ≥ 0 , sen(x), si x < 0 ,
es continua en R+^ sólo nos estamos fijando en x^2 que, evidentemente, es una función continua. En otras palabras, la continuidad de f en el punto x = 0. 5 no depende del comportamiento de dicha función en R−.
f
f
Figura 6.4 Carácter local de la continuidad
El siguiente resultado nos dice que la restricción de una función continua sigue siendo una función continua. Proposición 6.28. Sea f : A ⊂ R → R una función continua en a ∈ A y sea B ⊂ A con a ∈ B_. Entonces_ f|B es continua en a_._ Si nos quedamos con un dominio más pequeño, la continuidad no se resiente. ¿Qué ocurre con el recíproco? Si una función es continua en un dominio, ¿qué ocurre si la extendemos a un dominio mayor? En general no se mantiene la continuidad: piensa, por ejemplo en una función definida en los [0, +∞[. ¿Se puede extender a R manteniendo la continuidad en el origen? La respuesta ya la conoces: sólo si el límite por la izquierda coincide con el valor de la función en 0. Ahora bien, en otros puntos la situación es distinta. Por ejemplo, si la función era continua en 1 , también lo sigue siendo la extensión.
Carácter local de Proposición 6.29. Sea f : A → R y a ∈ A_. Son equivalentes:_ la continuidad (^) a) f es continua en a_. b) Para cualquier_ r > 0 , f|A∩]a−r,a+r[ es continua en a_. c) Existe_ r > 0 tal que f|A∩]a−r,a+r[ es continua en a_._
Teorema del valor intermedio Límites y continuidad
(a, f (a))
a^ (b,^ f^ (b)) b
c
Figura 6.6 Teorema de los ceros de Bolzano
ln(x) = 0 tiene solución, estudiamos la función f (x) = ex^ + ln(x): es continua en R+^ y se puede comprobar que f (e−^10 ) < 0 y 0 < f (e^10 ). Por tanto, la ecuación ex^ + ln(x) = 0 tiene al menos una solución entre e−^10 y e^10. En particular, tiene solución en R+. / El teorema del valor intermedio es equivalente al teorema de los ceros de Bolzano. Si este último afirma que en cuanto una función continua tome valores positivos y negativos, tiene que anularse, el teorema del valor intermedio traslada esta afirmación a cualquier número real: en cuanto una función continua tome dos valores distintos, también tiene que alcanzar los valores intermedios. Todo esto es cierto únicamente cuando el dominio es un intervalo.
Teorema del va- Teorema 6.33. Sea I un intervalo, f : I → R una función continua. Entonces f (I) es un lor intermedio (^) intervalo.
Demostración. Tenemos que demostrar que si c, d ∈ f (I), entonces [c, d] ⊂ f (I). Puesto que c y d pertenecen a la imagen de la función, existen a y b en I tales que f (a) = c y f (b) = d. Puesto que I es un intervalo [a, b] ⊂ I. Tengáse en cuenta que no sabemos si a es menor o mayor que b y que cuando escribimos [a, b] nos estamos refiriendo al intervalo [a, b] o al [b, a], depende del orden que corresponda. Sea z ∈]c, d[. Consideremos la función g : [a, b] → R definida como g(x) = f (x) − z. Es claro que g es una función continua. Además, g(a) = f (a) − z = c − z < 0 < d − z = f (b) − z = g(b) y, por tanto, g verifica las hipótesis del teorema de los ceros de Bolzano. En consecuencia, existe x 0 ∈ [a, b] tal que g(x 0 ) = 0 o, equivalente, f (x 0 ) = z.
0 a^ b^ a b
Figura 6.
Si el teorema de los ceros de Bolzano nos garantiza que una ecuación vale cero o, lo que es lo mismo, que una función se anula, el teorema del valor intermedio nos permite conocer to- dos los valores de una función: su imagen. Sólo nos queda una dificultad que superar. Imagina por un momento que sabes los valores de una función en dos puntos. Por ejemplo, suponga- mos que una función f : [a, b] → R continua verifica que f (a) = 0 y que f (b) = 1. ¿Qué podemos decir sobre su imagen? El teorema del valor intermedio nos dice que la función toma todos los valores entre 0 y 1. En otras palabras [0, 1] ⊂ f ([a, b]), pero ¿se da la igualdad? En la Figura 6.7 puedes ver que la ima- gen puede ser un conjunto mayor. El ingrediente que falta para resolver este problema es la monotonía de la función.
Límites y continuidad Monotonía
Propiedad de compacidad
El siguiente teorema y sus versiones para funciones de varias variables es una herramienta fundamental en el estudio de los extremos absolutos de una función y responde a la pregunta de qué se puede decir sobre cómo son los intervalos en el teorema del valor intermedio. Ningún otro resultado nos va a garantizar a tanta generalidad la existencia de extremos.
Teorema 6.34. Sea f : [a, b] → R una función continua. Entonces f ([a, b]) es un intervalo Propiedad de com- cerrado y acotado. En particular, la función f tiene máximo y mínimo absolutos. pacidad
6.6 Monotonía
¿Cómo podemos calcular los extremos absolutos de una función? ¿Hay algún punto destacado donde buscar? En un intervalo, los únicos puntos destacados son los extremos pero es muy fácil encontrar funciones que no alcanzan su máximo o su mínimo en ninguno de los extremos del intervalo. Por ejemplo, consideremos la función sen : [0, 2 π] → R. Sabemos su valor en los extremos: cero. ¿Nos da eso alguna información sobre el máximo o el mínimo de la función? La verdad es que no demasiada. La información adicional que necesitamos sobre la función es la monotonía.
Definición 6.35. a) Una función f : A ⊆ R → R es creciente (resp. decreciente ) si Función creciente
x ≤ y =⇒ f (x) ≤ f (y) (resp. f (x) ≥ f (y)).
b) Una función f : A ⊆ R → R es estrictamente creciente (resp. estrictamente decreciente ) Función estricta- si mente creciente x < y =⇒ f (x) < f (y) (resp. f (x). > f (y))
En general, diremos que una función es monótona si es creciente o decreciente y diremos que es estrictamente monótona si es estrictamente creciente o estrictamente decreciente.
Observación 6.36. Hay veces que los nombres nos pueden inducir a error y este es uno de esos casos. La idea intuitiva que tenemos todos es que una función creciente es aquella que tiene una gráfica ascendente. En realidad eso es una función estrictamente creciente. Una función constante es creciente (y decreciente). La expresión correcta debería ser que una función creciente es aquella cuya gráfica “no baja”.
Imagen de una función
Una vez que tenemos todos los ingredientes: función definida en un intervalo, continua y monó- tona, ya podemos calcular la imagen de dicha función. Enunciamos el resultado sólo para funciones crecientes. Ya te puedes imaginar cuál es para funciones decrecientes. Corolario 6.37. a) Sea [ f : [a, b] → R una función continua y creciente. Entonces la imagen de f es f ([a, b]) = f (a), f (b)
]
b) Sea f :]a, b[→ R una función continua y estrictamente creciente. Entonces la imagen de f es f (]a, b[) =
[
lim x→a f (x), lim x→b f (x)
]
