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Sucesiones y series de números reales
1 Sucesiones
Ejercicio 1. Prueba que si | x | < 1 , entonces lim n →∞ 1 + x + x^2 +... + xn^ = (^11) − x.
Solución 1. Sabemos que 1 + x + x^2 +.. .+ xn^ = x
n + (^1) − 1 x − 1 (es la suma de una progresión geométrica) y, usando que lim n →∞ xn^ = 0 , se obtiene lo pedido.
Ejercicio 2. Demuestra que la sucesión x 1 = 1 , xn + 1 =
3 xn , ∀ n ≥ 1 es convergente y calcular su límite.
Solución 2.
a) Veamos por inducción que la sucesión es creciente. Es inmediato comprobar que x 1 < x 2. Si xn < xn + 1 tenemos que comprobar que xn + 1 < xn + 2 : xn + 1 =
3 xn <
3 xn + 1 = xn + 2.
b) Además es una sucesión acotada, ya que por inducción otra vez tenemos que xn ≤ 3 , ∀ n ∈ N. Para n = 1 es inmediato, y si xn ≤ 3 , comprobémoslo para xn + 1. En efecto, xn + 1 =
3 xn ≤
Por tanto, la sucesión es creciente y mayorada, luego existe su límite x , que estará comprendido entre 1 ≤ x ≤ 3. Para calcular su valor vamos a tomar límites en la fórmula de recurrencia, esto es x^2 n + 1 = 3 xn =⇒ x^2 = 3 x =⇒ x ( x − 3) = 0 de lo que se deduce que lim n →∞ xn = x = 3.
Ejercicio 3. Se considera la sucesión definida por recurrencia por a 1 = 1 y an + 1 =
E 2 an + 3 para n ∈ N. Estudia si es convergente y, en caso de que lo sea, calcula el límite.
Solución 3. Aplicando la fórmula de recurrencia, comprobamos que a 2 =
5 > a 1 = 1. Para comprobar que la sucesión dada es monótona creciente, lo vemos por inducción:
a) Para n = 1 , acabamos de ver que a 1 ≤ a 2.
b) Hipótesis de inducción: suponemos que an ≤ an + 1.
c) Comprobamos que an + 1 ≤ an + 2. En efecto, si partimos de la hipótesis de inducción:
an ≤ an + 1 ⇒ 2 an ≤ 2 an + 1 ⇒ 2 an + 3 ≤ 2 an + 1 + 3 ⇒
2 an + 3 ≤
2 an + 1 + 3 ⇒ an + 1 ≤ an + 2
Por tanto, la sucesión es monótona creciente. Al ser creciente, ya sabemos que la sucesión está acotada inferiormente por a 1 = 1. Veamos que está acotada superiormente por 3. Esto es, que an ≤ 3 ∀ n ∈ N. Otra vez lo hacemos por inducción:
a) Para n = 1 , es evidente que a 11 ≤ 3.
b) Hipótesis de inducción: Suponemos que an ≤ 3.
c) Comprobamos que an + 1 ≤ 3. En efecto, si partimos de la hipótesis de inducción:
an ≤ 3 ⇒ 2 an ≤ 6 ⇒ 2 an + 3 ≤ 9 ⇒
2 an + 3 ≤
9 = 3 ⇒ an + 1 ≤ 3
Por tanto, la sucesión dada es monótona y acotada, por lo que entonces es convergente. Para calcular el límite de { an } partimos de la fórmula de recurrencia y tomamos límite. Supongamos que lim{ an } = x y nos queda que x =
2 x + 3. Resolvemos la ecuación:
x =
2 x + 3 ⇒ x^2 = 2 x + 3 ⇒ x^2 − 2 x − 3 = 0 ⇒ x = − 1 ó x = 3
Pero como el límite ha de ser mayor que 1, tenemos que lim an = 3.
E^ Ejercicio 4.^ Sea^ { xn } n ∈N la sucesión definida por recurrencia como^ x 1 =^12 y^ xn + 1 =^ x^2 n +^254.
a) Demuestra que 15 < xn < 45 para cualquier natural n.
b) Demuestra que { xn } n ∈N es decreciente.
c) Calcula su límite.
Solución 4.
a) Lo demostramos por inducción. Es claro que 15 < x 1 = 12 < 45. Supongamos que 15 < xn < 45 , entonces
xn + 1 = x^2 n + 4 25
, y
xn + 1 = x^2 n + 4 25
b) De nuevo comprobamos que la sucesión es decreciente por inducción. En primer lugar, es evidente que x 1 = 12 ≥ 10041 = x 2. Supongamos ahora que xn ≥ xn + 1 , entonces
xn + 1 = x^2 n + 4 25
≥ x^2 n + 1 + 4 25
= xn + 2 ,
ya que la función “elevar al cuadrado” conserva el orden en los positivos.
c) De los dos apartados anteriores se deduce que la sucesión es monótona y acotada y, por tanto, convergente. Si L es su límite, debe verificar que
L = L^2 + 4
⇐⇒ L =
, o 4 5
Puesto que la sucesión es decreciente, el límite no puede ser 45 y, se tiene que L = 15.
Ejercicio 5. Sea a ∈ R, a > 1. Estudiar el comportamiento de la sucesión x 1 = a , xn + 1 =
x^2 n + a 2 para todo n ∈ N.
Ejercicio 7. Aplicar el criterio del cociente para estudiar la posible convergencia de las siguientes series:
a) ∑^ n^12 n b) ∑^1 n
5
) n^ c)^
∑ (^2) · 5 · 8 ···(3 n −1) 1 · 5 · 9 ···(4 n −3) d) ∑^2 nnnn!
Solución 7.
a) Aplicamos el criterio del cociente:
n^ lim→∞
an + 1 an^ =^^ n lim→∞
1 ( n +1)2 n +^1 1 n 2 n
= (^) n lim→∞
n 2( n + 1) =^
2 <^1.
Por tanto, la serie es convergente.
b) Aplicamos el criterio del cociente,
n^ lim→∞
1 n + 1
5
) n + 1
1 n
5
) n = (^) n lim→∞
n n + 1
5 =^
5 <^1.
Por tanto, la serie es convergente.
c) Aplicamos el criterio del cociente
n^ lim→∞
2 · 5 · 8 ···(3 n −1)(3 n +2) 1 · 5 · 9 ···(4 n −3)(4 n +1) 2 · 5 · 8 ···(3 n −1) 1 · 5 · 9 ···(4 n −3)
= (^) n lim→∞^3 n^ +^2 4 n + 1
y, por tanto, la serie es convergente.
d) Aplicamos el criterio del cociente:
n^ lim→∞^2
n + (^1) ( n + 1)! ( n + 1) n +^1
nn 2 nn!
= (^) n lim→∞ 2
( (^) n n + 1
) n = 2 e
de lo que se deduce la convergencia de la serie.
Ejercicio 8. Aplicar el criterio de comparación para estudiar la posible convergencia de las siguientes series:
a)
∑ (^) log( n ) n b)
n ( n +1)
c)
2 n − 1 d)
2 n − n
e)
(2 n −1)2 n f) ∑^ √^1 n
Solución 8.
a) Comparamos con la serie
n que no es convergente. Como^
log( n ) n ≥^
1 n , la serie no es conver- gente.
b) Comparamos con la serie armónica
n :
n^ lim→∞
1 n √^1 n ( n +1)
= (^) n lim→∞
n ( n + 1) n =^^ n lim→∞
n ( n + 1) n^2
Por tanto, las dos series tienen el mismo carácter y, en consecuencia, la serie ∑^ √ n (^1 n +1) no es convergente.
c) No es convergente. La serie se comporta igual que la serie armónica
n.
d) Comparamos con la serie convergente
2 n^.
n^ lim→∞
1 2 n 1 2 n − n
= (^) n lim→∞
2 n^ − n 2 n^ =^1.
Por tanto, la serie es convergente.
e) Comparamos con la serie convergente ∑^ n^12
n^ lim→∞
1 n^2 1 (2 n −1)2 n
= (^) n lim→∞^ (2 n^ −^ 1)2 n n^2
Por tanto, las dos series tienen el mismo carácter y, en consecuencia, la serie es convergente.
f) No es convergente porque √^1 n ≥ (^1) n.
Ejercicio 9. Discutir la convergencia de las siguientes series de números reales:
a)
∑ 2 n n b) ∑^2 nn ++^11 c) ∑^ n (^2) log(^1 n )
d)
∑ (^3) n − 1 (√2) n
Solución 9.
a) No es convergente porque lim n →∞ an = lim n →∞ 2
n n = +∞.
b) No es convergente porque el término general no tiende a cero: lim n →∞ 2 nn ++^11 = 12.
c) Como log( n ) ≥ 1 para n ≥ 3 , se tiene que (^) n (^2) log(^1 n ) ≤ (^) n^12 , para cualquier n ≥ 3. La serie
n^2 es convergente y, el criterio de comparación nos dice que
n^2 log( n ) también lo es.
d) Aplicamos el criterio del cociente
n^ lim→∞
3( ( n √+1)− 1 2 ) n +^1 3 n − 1 (√2) n
= (^) n lim→∞
3 n + 2 3 n − 1
y, por tanto, la serie es convergente.
Ejercicio 10. Discutir la convergencia de las siguientes series de números reales:
n^ lim→∞^ n
2 n + 1 3 n + 1
) n 2 = (^) n lim→∞
2 n + 1 3 n + 1
3 <^1
y, por tanto, la serie es convergente.
c) Aplicamos el criterio del cociente
n^ lim→∞
2 n +^1 1 · 3 · 5 ···(2 n +1)(2 n +3) 2 n 1 · 3 · 5 ···(2 n +1)
= (^) n lim→∞^2
n + 1 2 n
1 · 3 · 5 · · · (2 n + 1) 1 · 3 · 5 · · · (2 n + 1)(2 n + 3)
= (^) n lim→∞^2 2 n + 3
y, en consecuencia, la serie es convergente.
d) Aplicamos el criterio de la raíz
n^ lim→∞^ n
n + 1 n^2
) n = (^) n lim→∞^ n^ +^1 n^2
y, por tanto, la serie es convergente.
E Ejercicio 12. Estudia el carácter de las siguientes series:
a)
∑ (^2 n + 1 2 n + 5
) n^2 .
b) ∑^1 +log( nn n ).
Solución 12.
a) Aplicamos el criterio de la raíz, considerando como an =
( (^2) n + 1 2 n + 5
) n^2
. Tendremos entonces que estudiar el límite de { √ nan } y compararlo con 1; esto es
√ nan = n
2 n + 1 2 n + 5
) n 2
2 n + 1 2 n + 5
) n (^2) / n
2 n + 1 2 n + 5
) n
sucesión que presenta una indeterminación del tipo “ 1 ∞” por lo que aplicamos la regla del número e :
lim n
2 n + 1 2 n + 5 −^1
= lim
− 4 n 2 n + 5 =^ −^2 ⇒^ lim^
√ nan = e − (^2) < 1
Por tanto la serie dada es convergente.
b) Aplicamos el criterio del cociente, considerando como an = 1 +log( nn n ); de esta forma, habrá que estudiar el límite de la siguiente sucesión y compararlo con el valor1:
an + 1 an^ =^
1 + log( n + 1) ( n + 1) n +^1
nn 1 + log( n ) =^
1 + log( n + 1) 1 + log( n )
nn ( n + 1) n^ ( n + 1)
= 1 +^ log( n^ +^ 1) 1 + log( n )
( (^) n n + 1
) n (^) 1 n + 1 Finalmente, si calculamos el límite de cada uno de los tres factores que tenemos, el primer factor es claro que converge a 1 (no hay más que dividir el numerador y denominador por log( n + 1)),
el segundo factor converge a e −^1 (basta aplicar la regla del número e) y el tercero converge a cero. Por tanto: lim an +^1 an
an es convergente.
E Ejercicio 13. Estudiar, según los valores de a > 0 la convergencia de las siguientes series:
a) ∑^ a nna
b) ∑^ anna
Solución 13.
a) Sólo tenemos en cuenta 0 < a < 1 puesto que en para a = 1 es la serie armónica que no converge, y para a > 1 el término general no converge a cero. Entonces, para 0 < a < 1 aplicamos el criterio de la raíz y obtenemos que la serie es convergente.
b) Sólo tenemos en cuenta 0 < a < 1 puesto que para a ≥ 1 el término general no converge a cero. Entonces, para 0 < a < 1 aplicamos el criterio de la raíz y obtenemos que la serie es convergente.
3 Suma de series
Ejercicio 14. Suma, si es posible, las siguientes series
a)
∑^ ∞
n = 1
2 n ( n + 1)
b)
∑^ ∞
n = 0
( n + 3)( n + 4)
Solución 14.
a) La suma es 12 puesto que la serie es la mitad de la del Ejemplo ??.
b) Calculamos las sumas parciales usando la descomposición en fracciones simples del término general: ∑^ ∞
n = 0
( n + 3)( n + 4)
∑^ ∞
n = 0
n + 3
n + 4
= (^) n lim→∞
3 −^
4 −^
n + 3 −^
n + 4
= (^) n lim→∞^1 3
n + 4
Ejercicio 15. Suma, si es posible, las siguientes series
a)
∑^ ∞
n = 0
10 n^ b)
∑^ ∞
n = 2
(−1) n 3 n
