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Nota: Si la función f puede ser transformada mediante coordenadas polares
como 𝑓(𝑟, 𝜃) = 𝜙(𝜃)𝜑(𝑟), donde 𝜙(𝜃) es una función acotada y
𝜑(𝑟) → 0 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑟 → 0 , entonces lim
𝑟→ 0
Ejemplos: Calcular los siguientes límites
- lim
(𝑥,𝑦)→( 0 , 0 )
𝑥
3
3
𝑥
2
+𝑦
2
Sol. Sabemos que 𝑥 = 𝑟𝑐𝑜𝑠 𝜃, 𝑥 = 𝑟𝑠𝑒𝑛 𝜃, luego
3
3
2
2
3
3
3
3
2
3
3
Como 𝜙(𝜃) = 𝑐𝑜𝑠
3
3
𝜃 está acotada, pues |𝑐𝑜𝑠
3
3
entonces:
3
3
3
3
lim
𝑟→ 0
= lim
𝑟→ 0
𝑟 = 0. Por lo tanto lim
𝑟→ 0
lim
(𝑥,𝑦)→( 0 , 0 )
3
3
2
2
Ejercicios: Hallar los siguientes límites si existen
1. lim
(𝑥,𝑦)→( 0 , 0 )
𝑥
3
−𝑥𝑦
2
𝑥
2
+𝑦
2
2. lim
(𝑥,𝑦)→( 0 , 0 )
𝑥
2
−𝑦
2
𝑥
2
+𝑦
2
3. lim
(𝑥,𝑦)→( 0 , 0 )
𝑦
2
𝑥
2
+𝑦
2
4. lim
(𝑥,𝑦)→( 0 , 0 )
𝑥
3
−𝑦
3
𝑥
2
+𝑦
2
5. lim
(𝑥,𝑦)→( 0 , 0 )
2 𝑥
𝑥
2
+𝑥+𝑦
2
6. lim
( 𝑥,𝑦
) →
( 0 , 0
)
𝑥𝑦
√𝑥
2
+𝑦
2
7. lim
(𝑥,𝑦)→( 0 , 0 )
7 𝑥
2
𝑦
2
3 𝑥
2
2
8. lim
(𝑥,𝑦)→( 0 , 0 )
𝑥
2
−𝑦
2
√ 𝑥
2
+𝑦
2
9. lim
(𝑥,𝑦)→( 0 , 0 )
𝑥
3
−𝑦
3
𝑥
2
+𝑦
2
10. lim
(𝑥,𝑦)→( 0 , 0 )
𝑥
4
+𝑦
4
(𝑥
2
+𝑦
2
)
3 / 2
CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN
Definición: Una función 𝑓: 𝑈 ⊂ 𝐼𝑅
𝑛
→ 𝐼𝑅 es continua en 𝑥
0
∈ 𝑈 si y solo si
lim
𝑥→𝑥 0
𝟎
Definición: Si 𝑓: 𝑈 ⊂ 𝐼𝑅
𝑛
→ 𝐼𝑅 es continua en cada punto 𝑥 ∈ 𝑈 se dice que f
es una función continua en 𝑈
Propiedades: Si 𝑓: 𝑈 ⊂ 𝐼𝑅
𝑛
→ 𝐼𝑅 y 𝑔: 𝑈 ⊂ 𝐼𝑅
𝑛
→ 𝐼𝑅 son continuas en 𝑈, se
cumple
a) La suma
𝑛
es continua
b) La función (𝑓. 𝑔): 𝑈 ⊂ 𝐼𝑅
𝑛
→ 𝐼𝑅 /(𝑓. 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑥). 𝑔(𝑥) es continua
c) La función
𝑓
𝑔
𝑛
𝑓
𝑔
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
es continua ∀ 𝑥 ∈ 𝑈/𝑔(𝑥) ≠ 0
Definición: Las funciones que contienen únicamente términos de la forma
𝑛
𝑚
se llaman funciones polinomiales y son continuas en todo su dominio,
es decir: 𝐼𝑅
2
Ejemplos: 1) 𝑓
= 2 𝑥 − 𝑦 es una función de 2 variables cuya gráfica es
un plano, es continua en 𝐼𝑅
2
, pues es una función polinomial.
𝑥
2
9
𝑦
2
16
es continua en 𝐼𝑅
2
, su gráfica es un paraboloide elíptico.
2
2
3
5
es continua en 𝐼𝑅
2
2
𝑦 es continua en 𝐼𝑅
3
Definición: Una función racional es el cociente de dos funciones polinomiales
de la forma 𝑅(𝑥, 𝑦) =
𝑃(𝑥,𝑦)
𝑄(𝑥,𝑦)
son continuas en 𝐼𝑅
2
menos los puntos donde se
anula el denominador
Ejemplos: 1) 𝑓
𝑥+𝑦
𝑥
es continua en 𝐼𝑅
2
menos el eje Y
𝑥
4
𝑦
𝑥
2
+𝑦
es continua en 𝐼𝑅
2
2
Otros ejemplos:
𝑥
3
𝑦
4
𝑥
4
+𝑦
4
es continua en( 0 , 0 )?
Sol. Si 𝐶
1
: 𝑦 = 𝑚𝑥, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠: lim
𝑥→ 0
𝑦→ 0
𝑥
3
𝑦
4
𝑥
4
+𝑦
4
= lim
𝑥→ 0
𝑥
7
𝑚
4
𝑥
4
( 1 +𝑚
4
)
= lim
𝑥→ 0
𝑥
3
𝑚
4
1 +𝑚
4
Si 𝐶 2
2
, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠: lim
𝑥→ 0
𝑦→ 0
𝑥
3
𝑦
4
𝑥
4
+𝑦
4
= lim
𝑥→ 0
𝑥
11
𝑚
4
𝑥
4
( 1 +𝑚
4
𝑥
4
)
= lim
𝑥→ 0
𝑥
7
𝑚
4
1 +𝑚
4
𝑥
4
Además, 𝑓
= 0. Por definición verificar que lim
𝑥→ 0
𝑦→ 0
𝑥
3
𝑦
4
𝑥
4
+𝑦
4
𝑥
3
𝑦
4
𝑥
4
+𝑦
4
− 0 | < 𝜀, siempre que
2 𝑥
𝑥
2
4
+𝑦
2
− 1
2 𝑦
𝑥
2
𝑥
√𝑥−𝑦
𝑥𝑦
√𝑥
2
+𝑦
2
− 25
- Determinar si f es continua en (0, 0)
2
2
- Determinar si f es continua en (0, 0)
2
2
- Determinar si f es continua en (0, 0)
2
2
- Determinar si f es continua en (0, 0)
2
4
2
- Determinar si f es continua en (0, 0)
2
2
- Determinar si f es continua en (0, 0)
3
3
2
2
- Determinar si f es continua en (0, 0)
2
2
3
3
- Determinar si f es continua en (0, 0)
2
2
2
