Varias variables, Límites y continuidad , Apuntes de Derecho Administrativo

¡Descarga Varias variables, Límites y continuidad y más Apuntes en PDF de Derecho Administrativo solo en Docsity!

Límites y continuidad

Varias variables

Límites y continuidad Varias variables

1. Conceptos básicos: dominio, recorrido.

2. Funciones reales de dos variables reales.

3. Gráficas.

4. Curvas de nivel.

5. Trazas.

6. Concepto de límite.

7. Límites reiterados, según trayectorias y,

direccionales.

8. Utilización de coordenadas polares:

Criterio de la función “mayorante”.

9. Continuidad.

• (En verde los conceptos fundamentales)

Los conceptos conocidos para funciones de una variable tienen su equivalente para funciones de n variables.

Dominio de una función : Conjunto de puntos para los que la función tiene sen- tido.

Recorrido o imagen de una función: Conjunto de valores que toma la función.

Nos centraremos en el estudio de funciones de dos variables, escribiéndose enton- ces:

Dominio de f = D = {(x, y)  R 2 / f(x, y)}. Imagen o recorrido de f = Im(f)=f(x,y)/ (x,y) D.

Ejemplo Obtener el dominio de z=f(x,y)=3x-2y+7.

El dominio es (^) R^2 , pues la fórmula que define existe para cualquier par (x, y) : D = R^2.

Conceptos básicos

Im(f)

Dom(f)

x

y

z

Dominio e imagen

Ejercicio

Obtener el dominio de

2 2 3

log(x -2x-15)(4-y ) f(x, y)= x

.

Conceptos básicos

Las funciones de varias variables pueden operarse

de forma análoga que las de una variable.

Para dos variables se tiene:

 Suma o diferencia: (f ±g)(x, y)=f((x, y)±g(x, y)

 Producto: (fg)(x, y)=f(x, y)g(x, y)

 Cociente:

f f(x, y) (x, y)= g g(x

, para g(x, , y)

y)  0

 Composición: (f g)(x, y)=f(g(x, y)),

Siendo: g función de dos variables y f función de una variable.

Operaciones entre funciones

10

La gráfica de la función de dos variables f se entiende como el conjunto de puntos

de la forma (x, y, z),

donde z = f(x, y) y (x, y) pertenecen al dominio de f.

Interpretación Geométrica de la Gráfica

Dicha gráfica se interpreta geométricamente como una superficie en el espacio, y

se dice que z = f(x, y) es la ecuación en forma explícita de dicha superfi-

cie.

Gráficas de funciones de dos variables

P(a, b) Q(c, d)

R(m, n)

z = f(m, n)

z = f(c, d)

z = f(a, b)

z = f(x, y) z

x

y

Ejemplo

Estudiemos la gráfica de f(x, y)= 49-x -y^2

Haciendo z=f(x, y)  z= 49-x -y^2 2  z =49-x -y^2 2 2  x +y +z =49^2 2 2 

(x-0) +(y-0) +(z-0) =7^2 2 2 , que representa el conjunto de los puntos del espacio cu-

ya distancia al origen vale 7, es decir se trata de la esfera de centro el origen y ra-

dio7.

Como la función considerada es positiva : z  0 , su gráfica es la semiesfera, con z

positiva, centro el origen y radio 7.

Gráficas

13

Obtener la gráfica de una función es, en general, complicado sin ordenador.

Un método para conseguir una idea aproximada de la gráfica consiste

en obtener los cortes o intersecciones de la superficie que representa la

gráfica con planos paralelos a los planos coordenados,

es decir, de la forma x = a, y = b, z = c

siendo a, b, c números reales arbitrarios.

Trazas de la Superficie en el plano.

Las intersecciones anteriores forma x = a, y = b, z = c

siendo a, b, c números reales arbitrarios se llaman trazas de la super-

ficie en el plano considerado.

Ejemplo Estudiar la gráfica de f(x, y) = x^2 + y^2. La ecuación de la superficie será z = x^2 + y^2 Cortando por planos de la forma x = a z = a^2 + y^2 , que son parábolas en el plano OZY. Cortando por planos de la forma y = b (^) z = x^2 + b^2 , que son parábolas en el plano OZX. Cortando por planos de la forma z = c c = x^2 + y^2 , que son, para c>0, circunfe- rencias de centro el origen. Luego las trazas obtenidas sobre planos paralelos a los coordenados son parábolas o circunferencias.

Trazas

Trazas

Gráfica de z = x^2 + y^2

El estudio anterior da una idea de la forma de la superficie

que se llama paraboloide elíptico.

Cortes con los ejes

z= 100-x -y^2





Ejemplo

Obtener las curvas de nivel de z= 100-x -y^2 .

Haciendo z = c  c^2 = 100-x^2 - y^2  x^2 +y^2 = 100-c^2 , que son circunferencias de

centro el origen para c<10. Para c = 10 representa el punto (0, 0), y para c>10 no

tienen significado geométrico.

Curvas de nivel

Mapa de contorno Curvas de nivel

17

Conceptos previos.

Distancia entre dos puntos P(x, y) y Q(a, b) es

  d P, Q  (x-a) +(y-b)^2

δ -entorno, bola o disco bidimensional de centro Q y radio δ

como el conjunto de puntos contenidos en el círculo de centro Q y radio δ

Disco cerrado  

2 2 2 (x, y)  R / (x-a) +(y-b)  δ

Disco abierto  

2 2 2 (x, y) R / (x-a) +(y-b) < δ

Luego, el disco cerrado incluye la circunferencia o frontera y el abierto no.

Estos conceptos son análogos a los de entorno cerrado o abierto para una va- riable.

Límites. Conceptos Previos

d (a, b) (c, d) d

no incluye la fronteraDisco abierto: (^) Disco cerrado: incluye la frontera

z

x

y

19

Punto interior Q(a, b), de una región R, si existe un disco abierto con centro en Q(a, b) y radio no nulo, completamente contenido en R. Región se dice abierta si todos sus puntos son interiores. Punto frontera es aquel que verifica que todo disco centrado en el contiene puntos interiores y no interiores (exteriores). Frontera cerrada: Si una región contiene todos sus puntos frontera se llama cerra- da.

Límites. Conceptos previos

Región abierta Región cerrada

Punto interior

Punto frontera

z

x

y

Para una variable, la expresión

x a

limf(x)=L



, donde a y L son números reales, sig-

nifica que cuando x es próximo a a, entonces f(x) es próximo a L.

En este caso x se puede aproximar a a de dos formas distintas: por la izquierda o

por la derecha de a.

En el caso de dos variables el significado de la expresión

(x, y) (a, b)

lim f(x, y)=L 

, siendo

a, b y L números reales, es análogo, es decir, cuando (x, y) se aproxima a (a, b) en-

tonces f(x, y) se aproxima a L, pero en este caso dicha aproximación se puede hacer

de infinitas formas.

Límites. Definición informal

a

x a- x a+

P(a, b)

y

x

z

x

y

Una variable Dos variables