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1. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN.
Llamamos entorno de centro un número real a y radio un número real positivo r , y lo
representamos por E a ,r o E
r
a , a
{ x ∈ℜ/∣ x − a ∣ r^ }= a − r^ ,a r^ ^. El^ entorno reducido de
centro a y radio r, representado por E r
a ^ , es el entorno E a ,r del que excluimos su centro
E
r
a = a − r ,a r −{ a } .
CONCEPTO INTUITIVO DE LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO.
Sea a un número real e y= f(x) una función definida en un entorno reducido del punto a.
Decimos que el número real L es el límite de la función f(x) cuando x tiende a a , si las
imágenes de puntos próximos a a , distintos de a , se aproximan tanto como queramos a L.
Es decir, podemos conseguir que f(x) sea muy próximo a L dándole a x valores tan
próximos a a como sea necesario.
DEFINICIÓN FORMAL DE LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO.
Sea a un número real e y= f(x) una función definida en un entorno reducido del punto a.
Decimos que el número real L es el límite de la función f(x) cuando x tiende a a , si para
cualquier entorno de centro L existe un entorno reducido de centro a tal que las
imágenes de sus puntos están contenidas en el entorno de centro L. Se escribe:
lim
x a
f x = L ⇔[ ∀ 0, ∃ 0 / 0 ∣ x − a ∣ ⇒∣ f x − L ∣]
lim
x a
f x = L ⇔[ ∀ 0, ∃ 0 / 0 d x ,a ⇒ d (^) f x , L ]
lim
x a
f x = L ⇔[ ∀ 0, ∃ 0 / x ∈ E
a , ⇒ f x ∈ E L , ]
La definición de límite en un punto no depende del valor de la función en el punto. No
tiene que cumplirse que la imagen del punto sea igual al límite, pudiendo incluso no
existir dicha imagen. El límite de una
función, si existe, es único.
Ejemplo 1:
En la figura se observa que no es posible
encontrar un entorno reducido de centro el
punto 2 de forma que sus imágenes estén
dentro del entorno de centro 4 y radio 0,
(ya que en cualquier entorno reducido de
centro 2 habrá puntos cuya imagen sea 3).
Con esto se demuestra que el límite de esa
función en x=2 no es 4.
Dado el entorno de centro 4 y radio 2, es posible encontrar un entorno reducido de centro
2, por ejemplo el E^
10 ^
, para el que sus imágenes están dentro del entorno dado,
esto no significa que el límite de la función en x=2 sea 4 ya que se pide que esto ocurra
para cualquier entorno de centro 4.
LÍMITES LATERALES DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO.
Sean a , L números reales e y= f(x) una función definida en un entorno reducido del
punto a.
L es el límite lateral por la izquierda o el límite por la izquierda de la función f(x),
cuando x tiende a a, si para cualquier entorno de centro L, E^ ^ L, ^ , existe un entorno
reducido de centro a , E^
a ,
, tal que los puntos de dicho entorno menores que a
tienen su imagen en
E L,
. Se escribe:
lim
x a
−
f x = L ⇔[ ∀ 0, ∃ 0 / x a , x ∈ E
a , ⇒ f x ∈ E L , ]
L es el límite lateral por la derecha o el límite por la derecha de la función f(x), cuando
x tiende a a, si para cualquier entorno de centro L,
E L,
, existe un entorno reducido
de centro a , E^
a ,
, tal que los puntos de dicho entorno mayores que a tienen su
imagen en
E L,
. Se escribe:
lim
x a
f x = L ⇔[ ∀ 0, ∃ 0 / x a , x ∈ E
a , ⇒ f x ∈ E L , ]
Se cumple:
lim
x a
−
f x = lim
x a
f x = L ⇔ lim
x a
f x = L
LÍMITES INFINITOS Y EN EL INFINITO.
Sea L un número real e y=f(x) una función definida en un intervalo de la forma a , ∞ .
lim
x ∞
f x = L (^) , si podemos conseguir que f(x) esté tan próximo a L como queramos
sin más que darle a x valores suficientemente grandes. Es decir:
lim
x ∞
f x = L ⇔[ ∀ 0, ∃ N ∈ℜ / x N ⇒∣ f x − L ∣]
Sea L un número real e y=f(x) una función definida en un intervalo de la forma −∞^ ,a^ ^.
lim
x −∞
f x = L (^) , si podemos conseguir que f(x) esté tan próximo a L como queramos
sin más que darle a x valores suficientemente pequeños. Es decir:
Ejemplo 3:
ÁLGEBRA DE LÍMITES.
Si y=f(x) e y=g(x) son dos funciones cuyo límite en a , siendo a un número real o ∞^ o
−∞ (^) , es un número real, se cumple:
lim
x a
f^ ^ x^ g^ ^ x =^ lim
x a
f x lim
x a
g x
lim
x a
f^ ^ x^ − g^ ^ x =^ lim
x a
f x − lim
x a
g x
lim
x a
f^ ^ x^ ⋅ g^ ^ x^ =^ lim
x a
f x ⋅lim
x a
g x
lim
x a
f x
g x
lim
x a
f x
lim
x a
g x
, si lim x a
g x ≠ 0
lim
x a
(^) f x
g x =
lim
x a
f x
lim
x a
g x , si lim
x a
f x 0
Los resultados anteriores también son válidos cuando el límite de las funciones no es un
número real si se pueden aplicar las siguientes reglas:
Sea k ∈ℜ , y m ∈ℜ , m ≠ 0. Se cumple:
Suma:
k ∞ =∞ k −∞ =−∞ ∞∞=∞ −∞−∞=−∞
Resta:
Para restar sumamos al minuendo el opuesto del sustraendo y aplicamos las reglas de la
suma.
Producto:
m ⋅∞=∞ ∞⋅∞=∞ El signo se determina aplicando la regla de los signos.
f x =
x
x − 1
x 2
lim
x − 2
−
f x =−∞
lim
x 1
−
f x =∞ (^) lim
x 1
f x =∞
lim
x − 2
f x =−∞
lim
x ∞
lim^ f^ ^ x^ =^0
x −∞
f x = 0
Cociente:
k
∞
m
El signo se determina aplicando la regla de los signos.
Potencia:
(siendo la base positiva)
2. COMPARACIÓN DE INFINITOS.
Si lim
x ∞
f x =±∞ (^) , lim
x ∞
g x =±∞ (^) , se dice que f x es un infinito de orden superior a
g x si^ lim
x ∞
g x
f x
= 0 o, lo que es lo mismo ,^ lim
x ∞
f x
g x
=±∞.^ Para indicar que^ f^ ^ x^ ^ es un
infinito de orden superior a g x escribiremos g x ≪ f x .
Si a>1, b>0,c>1, x ∞ , se cumple: log
a
x ≪ x
b
≪ c
x
≪ x
x
3. INFINITÉSIMOS. INFINITÉSIMOS EQUIVALENTES.
La función (^) y = f x es un infinitésimo en (^) x = a si lim
x a
f x = (^0). Se cumple que la suma de
dos infinitésimos es un infinitésimo y también que el producto de un infinitésimo por una constante , o
por una función acotada, es un infinitésimo.
Si (^) f x y (^) g x son infinitésimos en (^) x = a , (^) lim
x a
f x
g x
= 1 diremos que^ f^ ^ x^ ^ y^ g^ ^ x^ ^ son
infinitésimos equivalentes, y escribiremos (^) f x ~ g x . El principio de sustitución dice que al calcular
el límite de un producto podemos sustituir un infinitésimo por otro equivalente a él.
Cuando
x 0
Si en la tabla anterior sustituimos x por un infinitésimo f(x) en 0 se siguen cumpliendo los
resultados, así: , ,...
m
{
∞ si m 0
0 si m 0
m
{
0 si m 0
∞ si m 0
x ~ sen x x ~ tag x x ~ arcsen x x ~ arctag x
x ~ln 1 x x ~ e
x
− 1 1 −cos x ~
x
2
k
{
0 si k 1
∞ si 0 ≤ k 1
k
{
∞ si k 1
0 si 0 ≤ k 1
f x ~ sen f x ^ f^ ^ x ~ tag^ f^ ^ x
La función de la gráfica es continua en el intervalo [−1,^2 ]^. También es continua en
2, 4 . Sin embargo, no es continua en −1, 4 , ya que no lo es en x=2.
CLASIFICACIÓN DE LOS PUNTOS DE DISCONTINUIDAD.
Una función y=f(x) tiene una discontinuidad evitable en el punto a si el límite de la
función en el punto es un número real, pero o bien la función no está definida en el
punto o toma un valor distinto al del límite.
Una función y=f(x) tiene una discontinuidad esencial de 1ª especie o de salto finito en el
punto a si los límites laterales de la función en el punto son números reales distintos.
Una función y=f(x) tiene una discontinuidad esencial de 2ª especie en el punto a si
alguno de los límites laterales de la función en el punto no es un número real.
Ejemplo 5:
La función
f x = sen
x ^
tiene una
discontinuidad esencial de 2ª
especie en x=0.
Ejemplo 6:
La función:
En x=0 tiene una discontinuidad esencial de 2ª especie.
En x=3 tiene una discontinuidad esencial de 1ª especie o de salto finito.
En x=4 tiene una discontinuidad evitable.
CONTINUIDAD DE LAS FUNCIONES ELEMENTALES.
Las funciones polinómicas, las racionales, las exponenciales, las logarítmicas y las
trigonométricas son continuas en su dominio.
La función valor absoluto es continua en su dominio.
f x =
x
si − 3 ≤ x 0
2 si 0 ≤ x 3
−3x 14 si 3 ≤ x 4
3 si x = 4
2 si 4 x ≤ 7
PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES CONTINUAS.
- Una función es continua en x= a si y sólo si es continua por la derecha y por la
izquierda en dicho punto.
2) Si f(x) y g(x) son funciones continuas en x= a , la función f g x también es
continua en ese punto.
3) Si f(x) y g(x) son funciones continuas en x= a , la función f ⋅ g x también es
continua en ese punto.
4) Si f(x) y g(x) son funciones continuas en x= a y g a ≠ 0 , la función
f
g
x (^) también
es continua en ese punto.
5) Si f(x) es una función continua en x= a y g x es continua en f a , la función
g ° f x = g f x también es continua en x= a.
TEOREMA DE BOLZANO.
Si f(x) es una función continua en un intervalo [ a ,b ] que toma valores de signos
distintos en los extremos del intervalo, entonces existe al menos un punto c ∈^ a^ ,b ^ en el
que f^ c^ =^0.
Es decir: f continua en [ a ,b ] , f a ⋅ f b 0 ⇒∃ c ∈ a ,b / f c = 0
Geométricamente el teorema de Bolzano dice que si una
función es continua en un intervalo cerrado y toma
valores de distinto signo en los extremos del intervalo,
entonces la función corta al eje de abscisas en algún
punto situado entre los extremos del intervalo, ya que
pasa de un punto situado por encima de él a otro situado
por debajo, o recíprocamente.
El teorema de Bolzano permite aproximar soluciones de
ecuaciones o raíces de polinomios.
TEOREMA DE LOS VALORES INTERMEDIOS (PROPIEDAD DE DARBOUX).
Si una función es continua en un intervalo [ a^ ,b^ ]^ , entonces alcanza todos los valores
comprendidos entre f a y f b . Es decir, si k ∈ℜ está entre f a y f b , existe al
menos un punto c del intervalo a ,b tal que f c = k.
TEOREMA DE WEIERSTRASS.
Si una función es continua en un intervalo [ a ,b ] , entonces alcanza el máximo y mínimo
absoluto en el intervalo. Es decir:
Si f(x) es continua en [ a^ ,b^ ]⇒∃ m^ ,M^ ∈[^ a^ ,b^ ]^ /^ f^ m ≤^ f^ ^ x^ ≤^ f^ M^ ^ ∀^ x ∈[ a^ ,b^ ]
