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CONTINUIDAD
Intuitivamente, decimos que una función es continua si “puede ser representada
gráficamente de un solo trazo”. En este tema vamos a formalizar este concepto, con
criterios objetivos mediante los cuales podemos saber si una función 𝑓 dada por su
expresión analítica es o no continua. Estos mismos criterios nos dirán, si no lo es, el tipo
de discontinuidad que presenta.
El concepto de continuidad es puntual. Es decir, estudiamos si una función 𝑓 es
continua en un punto 𝑥=𝑎. Si la función es continua en todos los puntos de su dominio,
diremos que 𝑓 es continua en su dominio. Si no lo es, diremos dónde es continua, y el tipo
de discontinuidad que presenta.
DEFINICIÓN
Sea 𝑓 una función real de variable real. La función 𝑓 es continua en 𝒙=𝒂 si, y
sólo si, se cumplen las tres condiciones siguientes:
1) Existe 𝑓(𝑎)
2) Existe el límite de 𝑓 cuando 𝑥 tiende a 𝑎 (y es finito)
3) Los dos valores anteriores coinciden, es decir:
lim
→ 𝑓(𝑥)=𝑓(𝑎)
Lo que esto quiere decir es que una función es continua cuando a pequeñas
variaciones de la variable independiente le corresponden pequeñas variaciones de la
variable dependiente.
EJEMPLOS DE FUNCIONES CONTINUAS
Las funciones polinómicas son continuas en ℝ.
Las funciones racionales (cociente de polinomios) son continuas en su dominio,
es decir, en todos los puntos que no hagan cero el denominador.
La función exponencial 𝑓(𝑥)=𝑎 donde 𝑎>0, 𝑎≠1 es continua en ℝ.
La función logarítmica 𝑓(𝑥)=log𝑥 donde 𝑎>0, 𝑎≠1 es continua en su
dominio, es decir, en (0,+∞)
La función 𝑓(𝑥)=√ 𝑥
es continua en [0,+∞) si 𝑛 es par, y es continua en ℝ si
𝑛 es impar.
Las funciones trigonométricas 𝑓(𝑥)=sen(𝑥) y 𝑓(𝑥)=cos(𝑥) son continuas en
ℝ. La función 𝑓(𝑥)=tg(𝑥) es continua en su dominio.
Las funciones definidas a trozos son continuas si cada uno de los criterios
corresponde a una función continua, pero hay que comprobar si es o no continua
en cada punto donde cambia el criterio de definición.
