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MATEMÁTICAS CCSS 2º DE
BACHILLERATO
1) Se considera la función. Si f(2) = 3, determinar los valores de a y b para que f(x) sea continua.
f(x) = { 𝒂𝒙𝐥𝐧 𝒙𝟐 (^) + 𝒃𝒔𝒊 𝒔𝒊 𝟏 ≤ 𝒙 < ∞𝟎 < 𝒙 < 𝟏
(Solución: a = 1 , b= -1) Las funciones definidas a trozos son continuas si cada una de esas funciones lo son en cada uno de los intervalos de definición, y si lo son en los puntos de división de cada uno de los intervalos.
Intervalos de Definición
Observamos que: f(x) = ln x → se trata de una función logarítmica por lo tanto se tiene que cumplir que x>0. En este caso como se cumple, decimos que la función es continua en (0,1) f(x) = ax^2 + b → se trata de una función cuadrática por lo tanto está definida en todo su dominio. Por lo tanto la función será continua en (1,∞)
Puntos de división de cada uno de los Intervalos (Puntos de ruptura)
Miramos la continuidad en los puntos de ruptura, en este caso será en el punto x=1.
Para x = 1
(^) x→1lim− lnx = 0 (^) x→1lim+ 𝑎𝑥^2 + b = a + b f(1)= a + b
Para que la función sea continua en x= 1, se tiene que cumplir que: (^) x→1lim− f(x) = (^) x→1lim+ f(x) = f(1)
Por lo tanto a + b = 0
El enunciado nos proporciona otra condición que f(2) = 3. Nos está diciendo que cuando x=2, la función vale 3 (y=3). De las dos funciones cogeremos aquella que esté definida en x=
f(2) = 3 → f(2) = a(2)^2 + 𝑏 = 3 → 4𝑎 + 𝑏 = 3
Resolvemos el sistema de ecuaciones:
{ 4𝑎 + 𝑏 = 3 𝑎 + 𝑏 = 0→ { 𝑏 = −1𝑎 = 1
MATEMÁTICAS CCSS 2º DE
BACHILLERATO
2) Dada la función: Hallar a y b para que la función sea continua.
f(x)= {
𝒙𝟐^ 𝒔𝒊 𝒙 < 𝟎
( solución : a=2 , b= 0) Las funciones definidas a trozos son continuas si cada una de esas funciones lo son en cada uno de los intervalos de definición, y si lo son en los puntos de división de cada uno de los intervalos.
Intervalos de Definición
Observamos que: f(x) = 𝑥^2 → se trata de una función cuadrática por lo tanto está definida en todo su dominio. Por lo tanto la función será continua en (-∞, 0) f(x) = ax + b → se trata de una función Lineal por lo tanto está definida en todo su dominio. Por lo tanto la función será continua en (0,1) f(x) = 2 → se trata de una función Constante por lo tanto está definida en todo su dominio. Por lo tanto la función será continua en (1,∞)
Puntos de división de cada uno de los Intervalos (Puntos de ruptura)
Miramos la continuidad en los puntos de ruptura, en este caso serán los puntos x=0 y x=1.
Para x = 0
(^) x→0lim− 𝑥^2 = 0 (^) x→0lim+ ax + b = b f(0)= b
Para que la función sea continua en x= 0, se tiene que cumplir que: (^) x→0lim− f(x) = (^) x→0lim+ f(x) = f(0)
Por lo tanto b = 0
Para x = 1
(^) x→1lim− ax + b = a + b (^) x→1lim+ 2 = 2 f(1)= 2
Para que la función sea continua en x= 1, se tiene que cumplir que: (^) x→1lim− f(x) = (^) x→1lim+ f(x) = f(1)
Por lo tanto a +b = 2 Resolvemos el sistema de ecuaciones: { (^) 𝑎 + 𝑏 = 2 𝑏 = 0 → {𝑎 = 2𝑏 = 0
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BACHILLERATO
- Calcular los valores de a y b para que la siguiente función sea continua.
f(x)=
2 4 3
2 9 6 3 3
2 3 3 2
2
bx x x
x xx x x
x a x
Las funciones definidas a trozos son continuas si cada una de esas funciones lo son en cada uno de los intervalos de definición, y si lo son en los puntos de división de cada uno de los intervalos.
Intervalos de Definición
Observamos que: f(x) = 2x + a → se trata de una función lineal que está definida en todo su dominio. Por lo tanto la función es continua en (-∞, −3) f(x) = (^) 𝑥 (^3) +2𝑥𝑥^2 −9 (^2) −𝑥+6 → se trata de una función Racional. La función no está definida en x=-3 pero como este punto se encuentra fuera de su dominio → La función será continua en (-3,3) f(x) = 2bx – 4x → La función será continua en (3,∞)
Puntos de división de cada uno de los Intervalos (Puntos de ruptura)
Miramos la continuidad en los puntos de ruptura, en este caso serán los puntos x=-3 y x=3.
Para x = -
(^) x→−3lim−2𝑥 + 𝑎 = −6 + a (^) x→−3lim+𝑥 (^3) +2𝑥^ 𝑥^2 −9 (^2) −𝑥+6 = [^00 ] (^) x→−3lim+𝑥 (^3) +2𝑥^ 𝑥^2 −9 (^2) −𝑥+6 = (^) x→−3lim+(𝑥+3)(𝑥^ (𝑥−3)(𝑥+3) (^2) −𝑥+2) = (^) x→−3lim+𝑥 2 𝑥−3−𝑥+2 = −6 14 = −3 7 f(-3)= -6 + a
Para que la función sea continua en x= -3, se tiene que cumplir que: (^) x→−3lim− f(x) = (^) x→−3lim+ f(x) = f(−3)
Por lo tanto -6 + a = −3 7 → 𝑎 = (^397)
Para x = 3
(^) x→3lim−𝑥 (^3) +2𝑥^ 𝑥^2 −9 (^2) −𝑥+6 = 480 = 0 (^) x→3lim+ 2bx – 4x = 6b − 12 f(3)= 6b -
Para que la función sea continua en x= 3, se tiene que cumplir que: (^) x→3lim− f(x) = (^) x→3lim+ f(x) = f(3)
Por lo tanto 6b-12=0 → 𝑏 = 2
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- Estudia la continuidad de f(x):
f(x)=
2
x
x
x
x
x
x
x
x
(Solución: x= -1 Discontinuidad In evitable de sa lto In finito, x=0 Función Continua, x=3 Discontinuidad In evitable de s alto Finito)
Las funciones definidas a trozos son continuas si cada una de esas funciones lo son en cada uno de los intervalos de definición, y si lo son en los puntos de división de cada uno de los intervalos.
Intervalos de Definición
Observamos que: f(x) = (^) 𝑥+1^1 → se trata de una función racional que está definida en todo su dominio, exceptuando en x= -1, donde deberemos realizar el estudio de su continuidad. f(x) = 3𝑥−9𝑥 (^2) −9 → se trata de una función Racional. La función no está definida en x=-3 y en x= pero como estos dos puntos se encuentran fuera de su dominio, la función será continua en (0,3) f(x) = (^) 𝑥+33𝑥 → se trata de una función Racional. La función no está definida en x=-3 pero como este punto se encuentran fuera de su dominio, la función será continua en (3,∞)
X = -
∄ f(-1) (^) 𝑥→−1lim𝑥+1^1 = 10 = 𝑘 0 Calculamos los límites laterales: (^) 𝑥→−1lim− 𝑓(𝑥) = 0 +− = −∞ (^) 𝑥→−1lim+ 𝑓(𝑥) = 0 ++ = +∞
Como (^) 𝑥→−1lim− 𝑓(𝑥) = −∞ y (^) 𝑥→−1lim+ 𝑓(𝑥) = 0 ++ = +∞ → Tendremos una Discontinuidad Inevitable de Salto Infinito
MATEMÁTICAS CCSS 2º DE
BACHILLERATO
- Estudia la continuidad de f(x)
f(x)=
1 ln 1
2
2
x si x
x x si x
x x si x
(Solución: x=0 función Continua, x=1 Discontinuidad In evitable de Salt o Finito) Las funciones definidas a trozos son continuas si cada una de esas funciones lo son en cada uno de los intervalos de definición, y si lo son en los puntos de división de cada uno de los intervalos.
Intervalos de Definición
Observamos que: f(x) = 3𝑥^2 − 2𝑥^ → La función es continua en (-∞, 0) f(x) = 𝑥^2 − 𝑥 − 1 → La función es continua en (0,1) f(x) = 1 + ln 𝑥 → Cumple la condición que x > 0. La función es continua en (1,∞)
Puntos de división de cada uno de los Intervalos (Puntos de ruptura)
Miramos la continuidad en los puntos de ruptura, en este caso serán los puntos x=0 y x= 3
Para x = 0
(^) x→0lim− 3𝑥^2 − 2𝑥^ = − (^) x→0lim+𝑥^2 − 𝑥 − 1 = − f(0)= 02 − 0 − 1 = −
Como (^) x→0lim− f(x) = (^) x→0lim+ f(x) = f(0) → La función será continua en x = 0
Para x = 1
(^) x→1lim− 𝑥^2 − 𝑥 − 1 = - (^) x→1lim+ 1 + 𝑙𝑛𝑥 = 1 f(1)= 1 + 𝑙𝑛1 = 1
Como (^) x→1lim− f(x) ≠ (^) x→1lim+ f(x) y ambos toman valores finitos → Tendremos una Discontinuidad Inevitable de Salto Finito de Valor 2
MATEMÁTICAS CCSS 2º DE
BACHILLERATO
- Calcular los valores de a y b para que la siguiente función sea continua.
f(x)=
2
3 2
x
x
x x x
ax b x
ex a x
(Solución: a = −3 4 y b=^14 )
Las funciones definidas a trozos son continuas si cada una de esas funciones lo son en cada uno de los intervalos de definición, y si lo son en los puntos de división de cada uno de los intervalos.
Intervalos de Definición
Observamos que: f(x) = 𝑒𝑥^ + 𝑎 → La función será continua en (-∞, 0) f(x) = 𝑎𝑥 + 𝑏 → La función será continua en (0,3) f(x) = 𝑥^3 −2𝑥−𝑥 (^22) +9−3𝑥 → se trata de una función Racional. La función no está definida en x=-3 y en x= 3 pero estos puntos se encuentran fuera de su dominio. La función será continua en (3,∞)
Puntos de división de cada uno de los Intervalos (Puntos de ruptura)
Miramos la continuidad en los puntos de ruptura, en este caso serán los puntos x=0 y x= 3
Para x = 0
(^) x→0lim− 𝑒𝑥^ + 𝑎 = 1 + a (^) x→0lim+𝑎𝑥 + 𝑏 = b f(0)= 𝑒^0 + 𝑎 = 1 + a
Para que la función sea continua en x= 0, se tiene que cumplir que: (^) x→0lim− f(x) = (^) x→0lim+ f(x) = f(0)
Por lo tanto 1 + a = b
Para x = 3
(^) x→3lim− 𝑎𝑥 + 𝑏 = 3𝑎 + 𝑏 (^) x→3lim+^ 𝑥^3 −2𝑥−𝑥 (^22) +9−3𝑥 = [^00 ] (^) x→3lim+^ 𝑥^3 −2𝑥−𝑥 (^22) +9−3𝑥 = lim x→3+^ 𝑥(𝑥−3)(𝑥+1)−(𝑥−3)(𝑥+3) = (^) x→3lim+^ 𝑥(𝑥+1)−(𝑥+3) = − f(3)= 3𝑎 + 𝑏
