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Doctorando en Educación Matemática.
Funciones a trozos.
Imágenes de funciones definidas a trozos.
En matemáticas, una función definida a trozos (también conocida como función por partes )
es una función cuya definición (la regla que define la dependencia), cambia dependiendo del
valor de la variable independiente. Matemáticamente, una función real f (definida a trozos) de
una variable real x es la relación cuya definición está dada por varios conjuntos disjuntos de su
dominio (conocidos como subdominios). La palabra "A trozos" se usa para describir cualquier
propiedad de una función definida a trozos que se cumple para cada pedacito o “trozo” aunque
podría no cumplirse para todo el dominio de f.
Una función es diferenciable a trozos o continuamente diferenciable a trozos si cada trozo
es diferenciable a lo largo del dominio. En Análisis Convexo, la noción de la derivada puede ser
reemplazada por la de subderivada para funciones definidas a trozos. Una función f definida a
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trozos puede estar representada por varias expresiones matemáticas (algebraicas y/o
trascendentales) de cualquier tipo.
Notación e interpretación
Las funciones definidas a trozos se expresan con
una notación funcional común, donde el cuerpo de
la función es una lista de expresiones matemáticas
asociadas a un subdominio (intervalo). Por ejemplo,
sea la función f definida a trozos de la función valor
absoluto:
x, six 0
- x,six 0 x f(x)
Para todos los valores de x menores que cero, la primera expresión matemática (la función - x ) es
utilizada, lo que altera el signo del valor que asignamos a la variable independiente haciendo el
resultado siempre positivo. Para todos los valores de x mayores o iguales que cero, la segunda
expresión matemática (la función x ) es utilizada.
Sea la función definida a trozos f ( x ), se evalúan varias expresiones del dominio de f :
x f ( x ) Función utilizada
−3 3 − x
−0.1 0.1 − x
0 0 x
1/2 1/2 x
5 5 x
Por lo tanto, para evaluar una función definida a trozos en un determinado valor del dominio,
seleccionamos la expresión matemática cuyo subdominio contiene el valor a evaluar para que el
valor del rango sea el correcto.
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Su grafico en el plano cartesiano es:
2. Función mantisa :
Es una función a trozos que hace corresponder a cada número el mismo número menos su
parte entera. Se nota: (^) f (x) x x , veamos la siguiente tabla con ejemplos:
x 0 0. 5 0. 9 1 1. 5 1. 9 2
f (x) x x 0 0. 5 0. 9 0 0. 5 0. 9 0
x 0 0. 5 0. 9 1 1. 5 1. 9 2
f (x) x 0 0 0 1 1 1 2
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3. Función Signo
Es una función a trozos que hace corresponder a un intervalo un número específico. Se
nota: f (x) sgn(x). Ejemplo.
1, six 0
0, six 0
- 1, six 0
f(x)
N o t a : l a s f u n c i o n e s e n va l o r a b s o l u t o s e t r a sf o rm a n e n f u n c i o n e s a t r o zo s ,
m e d i a n t e l o s s ig u i e n t e s p a s os :
1. Se iguala a cero la función, sin el valor absoluto y se calculan sus raíces.
2. Se forman intervalos con las raíces y se evalúa el signo de cada intervalo.
