Continuidad de una función, Guías, Proyectos, Investigaciones de Cálculo

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CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN

Intuitivamente: una función es continua sino presenta saltos, interrupciones o rupturas. En

otras palabras, no tiene cambios abruptos.

DEFINICIÓN:

Sea f una función con dominio D ; y x 0 un punto de D. Se dice que f es continua en

x  x 0 sí    

0

(^) lim x  x f x  f x 0. En otras palabras:

Una función f se dice que es continua en el punto x 0 (^)  Df si y sólo si

   0,   0 / si x  D fcon x  x 0   f  x   f  x 0 

Como se puede ver en esta definición se ha suprimido la condición de que x  x 0

Observación:

La definición anterior implícitamente requiere de tres condiciones. Si f es continua en x  x 0

entonces:

1.- f  x 0 , es decir f está definida en x 0.

0

lim x x

f x 

0

lim x  x f x  f x 0

Ejemplo: Dada la función (^) f , definida por:

2 f x  4  x

¿Cuál es el intervalo más grande sobre el cual la función (^) f es continua?

Ejercicios:

1.- A partir de la siguiente gráfica, indicar los puntos de discontinuidad y explique ¿por qué?

Según los puntos indicados anteriormente, determinar si (^) f es continua por la derecha, por

la izquierda o por ninguno de los dos lados.

2 .- Determinar si f es continua en x 0 (^)  1 y x 0 (^)  2. Graficar f

x si x

f x x si x

x si x

^ ^ 

3 .- Determinar los valores de c y k para que la función f sea continua en x 0 (^)  1 y x 0 (^)  4

x si x

f x cx k si x

x si x

^ 

4 .- Dada la función f tal que:

3

3 2

2

2

x Sgn x si x x x x x x

x f x si^ x^ x x x

si x

si x

 ^ ^ ^ ^  

Analizar la continuidad de f en x 0 (^)  3 ; x 0  0 y x 0 (^)  3

Observación:

1.- Si una función f es discontinua en x  x 0 de manera que  

0

lim x x

f x 

existe pero

0 x lim  x f^ x^  f^ x^0 ,^ la^ discontinuidad^ se^ llama^ evitable^ o^ removible,^ pues^ se^ puede

redefinir la función f en x  x 0 de manera que f sea continua en ese punto; haciendo

simplemente que el valor de la función en x 0 sea igual al valor del límite en x 0.

2.- Si la discontinuidad en x 0 no es removible se llama discontinuidad esencial y esta se

presenta cuando  

0

lim x x

f x 

no existe o no es finito.

Ejercicios:

1.- Dada la función f , definida por   2

x f x x x

, determinar los puntos de

discontinuidad y de qué tipo son; y si es posible redefinir la función para evitar la

discontinuidad.

2 .- Sea la función (^) f , definida por:

xSen si x f x x

si x

Analizar la continuidad de f

3 .- Sea la función (^) f , definida por:

3 2

2

2

x x x si x x

f x ax bx si x

x x si x x

Determinar los valores de a y b de manera que la función sea continua en todo su

dominio.

4 .- Sea la función (^) f , definida por:

x Sen si x f x x

si x

Estudiar la continuidad de f

5 .- Dada la función f tal que:

2

2

Sgn x si x

x f x x Sgn x si x

x si x x x

 ^ ^  

Determinar los puntos de discontinuidad, el tipo de discontinuidad y si es posible redefinir la

función para evitar la discontinuidad

6 .- Sea la función (^) f , definida por:

2

2

x si x x

f x ax bx si x

x a b si x

Determinar los valores de a y b de manera que la función sea continua en todo su

dominio