¡Descarga Continuidad guia explicativa y más Guías, Proyectos, Investigaciones en PDF de Análisis Matemático solo en Docsity!
Práctica 4 – Parte 2
Continuidad
1. Idea de continuidad
Intuitivamente una función es continua en un punto x a si está definida en dicho punto y su
gráfico puede dibujarse sin tener que levantar el lápiz del papel. Para visualizar este concepto,
consideremos las siguientes funciones reales en x 2 :
1
f x
x
La función (^1)
f x x
no está definida en 2 pues el dominio de la función es
Domf ( ) x , 2 2, . Por lo visto al estudiar límite de funciones, sabemos que
1 2
lim ( ) x
f x
y observamos que al dibujarla hay que levantar el lápiz del papel, con lo cual
intuimos que esta función no es continua en x 2.
2
3 si 2
2 1 si 2
x x
f x
x x
^ ^
^
La función f 2 ( ) x está definida en 2 y f 2 (2) 5 , o sea, el punto 2, 5 está en el gráfico de f 2 ( ) x ,
pero para dibujarla hay que levantar el lápiz, la función da un salto. Al aproximarse a 2 por la
izquierda, la función se acerca a 3, es decir, (^2) 2
lim ( ) 3 x
f x
; sin embargo al acercarnos por la
derecha se acerca a 5: (^2) 2
lim ( ) 5 x
f x
. Los límites laterales no coinciden, entonces
2 2
lim ( ) x
f x
no existe, sospechamos que la función no es continua en x 2.
2
3
si 2
1 si 2
x
x
f x x
x
La función f 3 (^) ( ) x está definida en 2 y f 3 (^) (2) 1 , es decir, el punto (2;1) está en el gráfico de la
función pero al acercarnos al 2 la función se acerca a 4, es decir, lim x 2 f (^) 3 ( x ) 4
. El valor de la
función no coincide con el límite. Acá, también vemos que la función no es continua.
2
4
si 2
4 si 2
x
x
f x x
x
La función f (^) 4 ( x )está definida en 2 y f (^) 4 (2) 4 ,o sea, el punto (^) 2; 4 (^) está en el gráfico de la
función, y al aproximarse a 2 la función se acerca a 4, es decir, (^4) 2
lim ( ) 4 x
f x
. Los valores de la
función y del límite en x 2 coinciden. Se puede dibujar la función sin levantar el lápiz del papel.
Conclusión: la función f 4 (^) ( ) x es continua, las otras no lo son.
Ejemplos. h x ( ) f ( ) x g x ( ) x 2 x 8 para x 4 porque el dominio de g x ( )
k x ( ) f ( ). ( ) x g x x. 2 x 8 también resulta continua.
Como la función f ( x ) x es continua y una función polinómica es una combinación de
productos y sumas de estas, todas las funciones polinómicas son continuas.
Ejemplo.
3 2 f ( ) x x 3 x 2 x 4 es una función polinómica, por lo cual es continua.
Las funciones (^) sen( ) cos( ),, y ln( )
x x x e x son continuas en su dominio.
A las funciones que no son continuas, se las llama discontinuas. Hay discontinuidades como las del
ejemplo (^1)
f x x
donde no se puede redefinir la función y no se puede evitar pero otras si son
evitables.
2.1 Discontinuidades evitables
La función
5 ( ) 4 3
x f x x
no está definida en x 5 (se anula el denominador).
Con esto alcanza (condición 2) de la definición) para decir que f no es continua en ese punto
(es decir, f ( ) x es discontinua en x 5 ).
Sin embargo:
5 5 5 5
5 5 4 3 lim ( ) lim lim lim( 4 3) 6 x x (^) 4 3 x (^) 4 3 4 3 x
x x x f x x (^) x (^) x x
(La situación es similar a f 3 (^) ( ) x , ver su gráfico)
Como existe el límite de la función en x 5 y es igual a 6 , “redefinimos” la función f
“agregando” de esta manera el valor del límite en x 5 (obtenemos una función continua).
La nueva función (^) g ( x )definida así:
5 si 4 , 5 ( ) (^4 )
6 si 5
x x x g x (^) x
x
^ ^ (^)
es continua en x 5.
Ejercicio 1. Decidir si
2 4 si 2 2
4 si 2
x x f x (^) x
x
(^) (^) (^)
es continua en x 2.
Solución
Para ver si la función es continua, debemos calcular el límite en x 2 , reemplazando
2 x 4 ( x 2)( x 2) y simplificando x 2 , obtenemos 2 2
lim lim 2 4 x (^) 2 x
x x x (^) x
Como el límite coincide con el valor de la función en el punto, podemos afirmar que f ( ) x es
continua en x 2.
Ejercicio 2. Decidir si
1 si 1 3 3 ( )
si 1 6
x x x f x x x
(^) (^)
es continua en x 1.
Solución
Para ver si la función es continua debemos calcular el límite en x 1 , pero como es una función
partida debemos calcular los límites laterales en x 1.
Calculemos 1
lim ( ) x
f x
, por la definición de la función, esto es igual a 1
lim x 6
x
^
Calculemos 1
lim ( ) x
f x
, por la definición de la función, esto es igual a 1
lim x 3 3
x
x
Para calcular este límite, multiplicamos y dividimos por el conjugado de x 1 o sea, x 1 , el
producto da x 1 , 1 1
lim ( ) lim x x 3( 1) (^1)
x x f x x (^) x ^
y queda así 1
lim x 3( 1) 1 6
x
x x
Entonces como los límites laterales coinciden, decimos que 1
lim ( ) (^6)
x
f x y coincide con el valor
de la función en el punto. Podemos afirmar que f ( ) x es continua en x 1.
Ejercicio 3. Decidir si
sen(3 ) si 0
3 si 0
x x f x x
x x
es continua en x 0.
Solución
La función resulta continua para
a a .
2.2 Propiedades de las funciones continuas
Como consecuencia directa de la definición, las funciones continuas tienen las siguientes
propiedades:
Conservación de signo. Si una función f es continua en x a y f a ( ) 0 , entonces, f
permanece positiva “cerca de a ” (o negativa si f a ( ) 0 ).
Acotación en un entorno. Si una función f es continua en x a , entonces, f ( ) x está acotada
superior e inferiormente “cerca de a ” (ver gráfico).
Demostración:
En la definición de límite de una función en un punto, como
lim ( ) ( ) x a
f x f a
(^) , si
( )
2
f a , mirar “fijo” el gráfico, se
obtienen los dos resultados:
f ( ) x 0 si a x a .
f ( ) x está acotada en a x a .
a a^
a
f ( ) a
( ) ( ) 2
f a f a
( ) ( ) 2
f a f a
Teorema de Bolzano. Si f : a b ; es una función
continua, tal que f a ( ) 0 y f b ( ) 0 (o al revés) entonces
existe c ( a b ; ) tal que f c ( ) 0
Demostración :
Consideremos el conjunto
A x [ a b , ] : f ( x ) 0 (en el gráfico es el pintado de rojo).
Observemos que A está acotado ( A a b ; ), A ( a A )
Entonces, existe el supremo A c , probaremos que f c ( ) 0.
Para ello, descartamos las otras dos posibilidades.
Si fuera f c ( ) 0 :
Entonces a c b. Por la conservación del signo, f ( ) x 0 en ( c ; c
para algún suficientemente chico. Luego, el conjunto A está “a la
izquierda” de c . En otras palabras, c es una cota superior
(menor que c ) del conjunto A. Pero esto contradice que c es la menor de
las cotas superiores de A.
Si fuera f c ( ) 0 :
Entonces a c b. Por la conservación del signo, f ( ) x 0 en
c c ;^^ ^ ^ ).^ Por^ lo^ tanto^ el^ intervalo^ ( ; c c^^ ^^ ^ ) A.^ Es^ decir,^ hay
elementos de A “a la derecha” de c. Pero, esto contradice que c es cota
superior de A.
Luego f c ( ) 0.
Ejercicio 5. Dada la ecuación
3 x 4 x 1 0 demostrar que tiene una solución en el
intervalo 0;1.
Solució:
La función
3 f ( ) x x 4 x 1 es continua.
a
b
c
A
c c
c^ c ^
Elementos de A
El teorema de Bolzano nos asegura que hay un punto c 1;2donde f c ( ) 0 , con lo cual
2 x x 1 0 para algún x 1;2,es decir, la ecuación
2 x x 1 tiene una solución en el intervalo
1, 2 .
Ejercicio 8. Hallar en forma aproximada, con un decimal exacto, una solución de la ecuación:
5 2 x 5 x 2 (^0).
Solución
Consideremos la función
5 2 f ( ) x x 5 x 2 , que es continua.
Además f (0) 2 0 y f (1) 1 5 2 4 0.
El teorema de Bolzano asegura que existe c (0;1) tal que f c ( ) 0. Es decir, en el intervalo (0;1)
tenemos una solución de
5 2 x 5 x 2 0. En consecuencia, la parte entera de c es 0 (porque está
entre 0 y 1). Para encontrar el primer decimal, estudiamos el signo de f 1 ; f 0, 2 ... etc. hasta
f (0,8)y vemos en qué intervalo cambia de signo. Haciendo esto se obtiene
f (0,1) f (0, 2) f (0, 3) f (0, 4) f (0, 5) f (0, 6) f (0, 7) f (0,8)
negativo negativo negativo negativo negativo negativo positivo positivo
Usamos el teorema de Bolzano en el intervalo 0, 6;0, 7 . En este intervalo, la función f pasa de
negativo a positivo, entonces existe un c en ese intervalo tal que f c ( ) 0. Por estar allí, se tiene
que c 0, 6...
El teorema de Bolzano es un teorema de existencia. Vemos en este ejemplo, que con solo saber que
existe, tenemos una “receta” ( algoritmo ) que permite encontrar la solución con la precisión que se
quiera.
El teorema de Bolzano se generaliza fácilmente al teorema de valores intermedios.
Teorema de los valores intermedios. Sea f : a b ; es una función continua, si y es un
número comprendido entre f a ( ) y f b ( ) entonces existe c ( ; ) a b tal que f c ( ) y.
Para ilustrar la potencia de este resultado, planteamos un curioso problema.
Problema. Un automovilista sale de la ciudad A a las 12 hs y llega a la ciudad B a las 16 hs
tardando exactamente 4 horas en recorrer los 400 kilómetros que separa una ciudad de la otra. En
esas cuatro horas se pudo haber detenido un rato, ir muy despacio o ir muy rápido.
Demostrar que, cualquiera haya sido el caso, existe un intervalo de una hora comprendida entre las
12 hs y las 16 hs donde recorrió exactamente 100 kilómetros.
Solución
Llamemos f t ( ) a la cantidad de kilómetros que lleva recorridos a la hora t. Así f (12) 0 y
f (16) 400. Asumimos que la función f es continua.
Consideremos, ahora, la función continua g t ( ) f t ( 1) f t ( )definida para 12 t 15. La función g
mide la cantidad de kilómetros recorridos entre la hora t y la hora t 1. Para resolver el problema,
bastaría saber que existe un instante t (^) 0 (12,15) tal que g t ( 0 ) 100. Veamos que el Teorema de los
Valores Intermedios puede venir en nuestra ayuda. Se tiene que
g (12) f (13) f (12)
g (13) f (14) f (13)
g (14) f (15) f (14)
g (15) f (16) f (15)
Si se suman estos cuatro números, se obtiene:
g (12) g (13) g (14) g (15) f (16) f (12) 400
En consecuencia los cuatro números no pueden ser todos menores que 100 porque, si así fuera, su
suma no llegaría a 400. De la misma manera, no pueden ser todos mayores que 100 porque, en tal
caso, su suma sería mayor que 400. Entonces alguno de los cuatro tiene que ser menor o igual que
100 y algún otro tiene que ser mayor o igual que 100. (por ejemplo g (13) 100 y g (15) 100 o
cualquier otro).
El teorema de los valores intermedios nos asegura que entre esos dos instantes (entre las 13 hs y las
15 hs) hay un instante t 0 tal que g t ( 0 ) 100.
No sabemos cuál es ese instante, pero sí sabemos que existe tal instante.
Cintia Buxton, Lisi D’Alfonso, Flora Gutierrez, Gabriela Jeronimo, Gustavo Massaccesi, Juan Carlos Pedraza
y Juan Sabia (2015), Continuidad, Teóricas de Análisis Matemático (28).
