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5 LÍMITE FUNCIONAL
5.1 El valor esperado
Ejemplo 1: un dispositivo registra los valores de temperatura de una sala de motores, generando una gráfica. El dispositivo falla al imprimir y no aparece el valor que corresponde a las 17 hs, pero ¿qué valor se espera haya tenido T?
La respuesta parece ser 38º y para ello se tienen en cuenta los valores de T correspondientes a valores de la hora cercanos a 17. Se hace la observación en un intervalo pequeño alrededor del t=17 (por ejemplo no en t=16 o 18 donde se leen otros valores de T ) Si el gráfico obtenido fuera:
El hecho de que los valores esperado y real sean diferentes, hace suponer que la graficadora funciona mal y se presumirá T en 38º, ya que en un pequeño intervalo antes y después de las 17 hs se estima T en ese valor.
Por último si el caso fuera:
Podemos determinar el valor esperado L en este gráfico que pasa por el punto (17, 38) sin cortarse o que presenten un agujero que pueda “rellenarse”.
5.2 Límite finito para x tendiendo a x 0
Ejemplo 2:
Sea la función f : A / f (x)= 2x-1. Estudiaremos el comportamiento de dicha función en las proximidades de x 0 = 2. Notamos que el dominio de esta función es Dom f = y que x 0 .
Para ello, construimos una tabla de valores como la que sigue
las imágenes de xA, con x>2 se aproximan a 3
las imágenes de xA, con x<2 se aproximan a 3
f (2) existe y vale 3
x (^) 1,9 1,95 1,99 2,001 2,05 2, 2x- (^1) 2.8 2.9 2.98 3.002 3.1 3.
Ejemplo 3 : Sea la función f : A /
2
x
x
f x. Estudiaremos el comportamiento
de dicha función en las proximidades de x 0 = 2.
El dominio de esta función es Dom f= R-{2} o sea, x 0 =2Dom f.
Completemos la siguiente tabla.
las imágenes de xA, siendo x>2 se aproximan a 4
las imágenes de xA, siendo x<2 se aproximan a 4
f (2) no está definida
x (^) 1,9 1,95 1,99 2,001 2,05 2,
x
x
3.9 3.95 3.99 4.001 4.05 4.
Ejemplo 4:
Sea la función f : A /
( ) |^2 |
x
f x x. Estudiaremos el comportamiento de dicha
función en las proximidades de x 0 = 2.
El dominio de esta función es Dom f= R-{2} o sea, x 0 =2Dom f.
Cuando la aproximación de x A al punto x 0 se hace con valores x<x 0 , diremos que el número L es el límite lateral de f (x) por la izquierda de x 0 y se anotará
lím f x L
x x
^
0
Cuando la aproximación de x A al punto x 0 se hace con valores x>x 0 diremos que el número L es límite lateral de f (x) por la derecha de x 0 y se anotará
lím f x L
x x
^
0
Observaciones:
En un sentido muy amplio, la definición establece que los valores de f(x) se acercan más
y más al número L conformex se aproxima al númerox 0 ( de ambos lados dex 0 ) , pero
conx≠ x 0. Esto es, se estudia el comportamiento de la función f en las proximidades de
x 0 (no se requiere que la función esté definida cuandox =x 0 )
el comportamiento de las funciones de los Ejemplos 2, 3 y 4 para valores próximos a x 0 =2, utilizando la notación de la definición anterior será:
Considerar la función f : A / f ( x ) x 2. Estudiar el comportamiento de la
misma en la cercanía de x 0 =2. (No olvidar considerar el dominio).
Dom f : [2, +)
no existe
Entonces: no existe
5.2.1 Propiedades
Las siguientes propiedades algunas nos permitirán calcular límites, prescindiendo de las tablas de valores empleadas hasta ahora.
1- Si existe ( )
0
xlím x f x , entonces, este límite es único^1.
2- Existe lím f x L
x x
0
si y sólo si existen ambos límites laterales y
0
lím f x
x x
0
lím f x
x x
= L.
3- Si existen y son finitos: ( ) 1
0
lím f x L
x x
y ( ) 2
0
lím gx L
x x
(L 1 , L 2 ),
tenemos: (LEYES de los LIMITES)
a) [ ( ) ( )] 1 2
0
xlím x f x g x L^ ^ L
b) [ ( ) ( )] 1 2
0
lím f x g x L L
x x
c)
d) [ ( ) ( )] 1 2
0
lím f x g x L L
x x
e) [ ()/ ()] 1 / 2
0
lím f x gx L L
x x
, siempre que L 2 ≠
A partir de las gráficas siguientes, evaluaremos la existencia de lím x 3 f ( x )
a) L vale 1 b) L no existe c) L vale 5 d) L vale 4
La no existencia de límite para x tendiendo a 2 en la función del caso b) se ve justificada por la propiedad 2.
1 Esta propiedad es válida también para ( )
0
lím f x
x x
o ( )
0
lím f x
x x
.
De modo más general:
Sean f y g dos funciones tales que
o ¿Qué puede decir de f (1) y de g (1)? nada
o Calcular:
Observación:
Es de esperar que cuando la variable independientex se aproxima a un número fijox 0 ,
la función tome valores próximos a la imagen dex 0 (si existe); es decir que podríamos
calcular límites, calculando imágenes. En algunos casos, los valores de los límites coinciden con las imágenes; sin embargo esto no siempre se satisface. A veces al calcular un límite nos acercamos a un valor real que
no necesariamente está en el dominio de la función considerada, de modo que no es posible calcular la imagen:
Ejemplo 6: Considerar las funciones con expresión analítica f ( x ) =
x
x y g ( x ) = x +1.
a) Dominios: Dom f ( x ) = R- {1} Dom g( x ) = R b) f (1) no está definida y g (1) = 2 c) Comparando las imágenes f ( x ) y g ( x ) para valores x distintos de 1 vemos que coinciden pero las funciones f y g no son iguales
d)
x
x
lím x y lím x 1 ( x 1 ) sí coinciden
en valor ya que L= 2
Grafica de ambas funciones.
Ejemplo 7:
Consideremos la función definida como
si x
x si x
f x
Deseamos calcular lím x 1 f ( x ).
En este caso la función está definida en x = 1
pues f (1) = 4, pero el límite cuando x tiende a 1,
no depende de la función en 1, sino de valores de
x próximos a 1 y para estos números, la función
tiene por fórmula
f (x) = x + 1; entonces:
1 1
lím f x lím x
x x
Ejemplo 8:
a) Deseamos calcular 2
2 0
x
lím x
x
(^) . Como 0 no se encuentra en el dominio de la
función y, teniendo en cuenta que se trata de una función par, construimos la siguiente tabla de valores
De la tabla, se podría concluir que conforme x tiende a 0, los valores de la función parecen hacerlo a 0.166666…., y por consiguiente el límite a calcular sería 1/6. Pero si damos, obtendríamos una tabla como la siguiente
x (^) ± 1 ± 0.5 ± 0.1 ± 0.05 ± 0. f ( x ) (^) 0.16228 0.16553 0.16662 0.16666 0.
5.3 Límites infinitos cuando x tiende a x 0
Ejemplo 10: Se trata de estudiar el comportamiento de la función real con fórmula
x
f ( x )^1 para valores del dominio de la función próximos ax = 0. (Notar que 0 no es
un elemento del dominio de f ).
A partir de las tablas siguientes y del gráfico adjunto es posible concluir que, en la
medida que la variable independiente se acerca a 0, los valores def(x) no se aproximan
a un número real determinado.
x 1 0.5 0.2 0.1 0.05 0.01 0.
f (x) 1 2 5 10 20 100 1000
x - 1 - 0.5 - 0.2 - 0.1 - 0.05 - 0.01 - 0.
f (x) - 1 - 2 - 5 - 10 - 20 - 100 - 1000
Observamos que si x se aproxima a 0 con valores
positivos, f ( x) es grande y positivo; pudiendo ser
los valores de la función tan grandes como se quiera; por ejemplo si quisiéramos que 1/x sea
mayor que 10^200 basta tomar valores de x menores
que 10-^200.
Algo similar sucede cuando x tiende a 0 por la
izquierda; los valores de f ( x) se hacen cada vez más
grandes, en valor absoluto, pero negativos.
Definición Consideremos una función f : A y un punto x 0 , perteneciente o no a A de modo que x 0 pueda ser aproximado tanto como se quiera con valores x A. Entonces: Se dice que el límite de f (x) para x tendiendo a x 0 es +∞ si a medida que xA se acerca a x 0 tanto como se quiera, las imágenes f (x) toman valores “exageradamente grandes”. Notaremos
0
lím f x
x x Se dice que el límite de f (x) para x tendiendo a x 0 es -∞ si a medida que xA se acerca a x 0 tanto como se quiera, las imágenes f(x) son negativas y en valor absoluto, toman valores “exageradamente grandes”. Notaremos
(^ )
0
xlím x f^ x
Se dice que el límite de f (x) para x tendiendo a x 0 es ∞ (sin signo) si a medida que xA se acerca a x 0 tanto como se quiera, los valores absolutos de las imágenes f(x) se hacen cada vez más grandes, pudiendo ser positivos o negativos. Notaremos
(^ )
0
xlím x f^ x
Observación: Estos resultados no significan que es un número ni que existe el límite. Sólo expresa la manera en que NO EXISTE el límite buscado, es decir describe el “comportamiento” de f(x).
Las tres situaciones de la definición anterior pueden extenderse a los límites laterales; así,
0
lím f x x x
, si x se acerca a x 0 con valores x>x 0
(^ )
0
xlím x f^ x^ ,^ si x se acerca a x^0 con valores x<x^0
Gráficamente si se dan las situaciones anteriomente descriptas, la gráfica de f(x)
presenta en x=x 0 una asíntota vertical a la que nos referiremos más adelante en 5.6.
Ejemplo 11 Representar las funciones cuyas fórmulas siguen. Indica los valores de los límites cuando x se aproxima a los puntos propuestos, tanto por izquierda como por derecha.
a) ( )^12
x
f x en x 0 = 0
(por derecha y por izq el lim del denominador tiende a 0 +)
b) g(x)= en x 0 = 2
Las funciones graficadas tienen comportamiento NO ACOTADO
Ejemplo 13: Calcular los siguientes límites
a)
0 -
Si fuera por derecha:
b) 3 2
x
x
lím x
2 = + y 0 + 2 = - 0 -
c) lím x
x
ln
0
Observamos que este límite resulta ser -
RECORDAR QUE NO ES UN NUMERO PERO LAS EXPRESIONES ANTERIORES
SUELEN LEERSE COMO:
“el límite de f(x) cuando x tiende a x 0 es infinito” o “f(x) se hace infinito al tender x a x 0 ” o
“f(x) crece sin límite cuando x se acerca a x 0 ”
PROPIEDADES QUE RELACIONAN LOS LIMITES FINITOS con los INFINITOS:
Si =
Si =
5.4 Límites para x tendiendo a infinito
Analizaremos el comportamiento de una función en la medida que la variable independiente (en general x) tome valores cada vez más grandes en valor absoluto, pudiendo ser esos valores positivos o negativos. Cuando los valores de x se hacen cada vez más grandes diremos que x tiende a más infinito y lo notaremos x +∞. En tanto que si los valores de la variable x se hacen cada vez más grandes en valor absoluto, pero negativos (o sea, cada vez más pequeños) diremos que x tiende a menos infinito y lo notaremos x - ∞^3.
Ejemplo 14: Consideremos las gráficas de las funciones:
a) Domf= R- {0}
y
Además cuando x toma valores positivos muy grandes, f (x) toma valores cercanos a 2, se acercan tanto como se desee a 2 si se consideran valores de x positivos suficientemente grandes. Por otra parte, cuando x toma valores negativos suficientemente grandes en valor absoluto, f toma valores tan cercanos a 7 como se quiera.
b) Domf= R
y
Además observamos que el comportamiento de esta función es el mismo tanto para valores de x tendiendo a +∞, como para valores de x tendiendo a - ∞. Podemos describir ese comportamiento con y
b) Domf= R – {0}
En este caso, cuando analizamos el comportamiento de la función cuando x tiende a más infinito, no ocurre ninguna de las situaciones que hemos visto: los valores de f (x) no se acercan a ningún número particular ni se hacen arbitrariamente grandes o pequeños. Por otra parte, cuando x tiende a menos infinito la función tiende a - 1.
(^3) Los símbolos + y - no son números , por lo tanto no se opera con ellos como se hace con los números reales.
xlím x^2 ^ Visualizamos ambas conclusiones en el gráfico.
Ejemplo 16: calcular
como ya se dijo, no se puede reemplazar ax por un símbolo. Una alternativa es analizar
el comportamiento tanto del numerador como del denominador y del cociente en la medida que x toma valores cada vez más grandes; mostramos esto en la siguiente tabla
x (^) 0 1 2 3 5 10 100 1000 +∞
x^2 - (^1) - 1 0 3 8 24 99 9999 999999 +∞ x^2 +1 (^) 1 2 5 10 26 101 10001 1000001 +∞ f(x) (^) - 1 0 0.600000 0.80000 0.923077 0.980198 0.999800 0.999998 1
Notamos que tanto el numerador como el denominador se hacen cada vez más grandes, no acercándose a algún valor real; sin embargo, el cociente se acerca a 1. Escribimos
2
2
x
x
xlím
Analizando la simetría de la función e indica el valor de
2
2
x
x
xlím = 1
Gráficamente si se dan las situaciones anteriomente descriptas, la gráfica de f(x)
presenta en y=L una asíntota horizontal a la que nos referiremos más adelante en 5.6.
Observación: En el Ejemplo precedente diremos que el límite a calcular es indeterminado del tipo ∞/∞. Esto no significa que el límite no pueda calcularse, sino que en principio no puede determinarse su valor, si existe.
Resulta engorroso calcular límites de este tipo a partir de la construcción de tablas o a partir de la representación gráfica de funciones, pues podría ocurrir que el límite fuera un número irracional que difícilmente se pueda observar. Por ese motivo presentamos propiedades que nos ayudarán con el cálculo de límites cuando x tiende a infinito. Además de cumplir las propiedades ya vistas de límite para la suma, resta, producto y cociente de funciones, el o el admite la propiedad:
5.4.1 Propiedad
Sea f(x): A R una función con imagen acotada, es decir: c≤ f(x) ≤ d, para todo x
A y A incluye una semirecta de tipo (a , +) y/o (-, b) entonces:
= 0 y / o = 0 , para todo >
Sea además g(x): A R una función tal que y/o =
, entonces: y/o
Ejemplo 17: resolver
observamos que sen x tiene imagen acotada entre -1 y 1 y el lím del denominador tiende a +, entonces: = 0
b) observamos que cos 2 x tiene imagen acotada entre -1 y 1 y el lím del denominador tiende a +, entonces: = 0 pero la situación es diferente en el pues ex^ tiende a 0 cuando x toma valores muy pequeños. Aquí aplicamos otra propiedad
5.4.2 Propiedad
Sea f(x): A R una función con imagen acotada, es decir: c≤ f(x) ≤ d, para todo x A,
A incluye una semirecta de tipo (a,+) y/o (-, b) y
y /o entonces:
y/o
En el ejemplo b) el segundo límite es de este tipo: =
Ejemplo 18: empleando las propiedades vistas, calcular
0
a) = = = 0
3
b) = = = +
0
c) =
d) - =
la fórmula 5
t
e
Ct , con t ≥
En la gráfica de la función se observa que a medida que el tiempo transcurre (valores de t cada vez más grandes), la difusión de la innovación pareciera acercarse a un valor límite de potenciales consumidores, representado por una recta horizontal. Esa recta se denomina asíntota horizontal.
¿Cuál es la ecuación de la asíntota horizontal? Es: C = 1
¿Cuál es el valor límite de potenciales consumidores? C = 1 millon
El coincide con la respuesta anterior.
Las ecuaciones de las asíntotas horizontales de los gráficos presentados en: Ejemplo 14: a) y=2 e y=7, b) y=2 , Ejemplo 15: y=0, Ejemplo 16: y=1, Ejemplo 20: y=e
Formalizamos.
Definición Una asíntota horizontal es una recta de ecuación y = L de modo que se cumple
lím f x L
x
( ) y/o lím f x L
x
Encuentra las ecuaciones de las asíntotas horizontales (si existen) de las funciones dadas por
a)
x x
x
f x
3
0 = 0 Y=0 AH
1
b)
x
x
f x
3 Y=3 AH
1
c)
( )^21
x
f x x
debo probar
Ejemplo 21:
De las representaciones anteriores, notamos que las gráficas presentan además un comportamiento asintótico respecto de rectas verticales. Así, por ejemplo, en la
gráfica de la función con fórmula
( )^21
x
f x x vemos que a medida que x tiende a -1,
la función se hace arbitrariamente grande, a la izquierda y, arbitrariamente pequeña a la derecha. Diremos que la recta vertical de ecuación x= -1 es una asíntota vertical.
Definición Se dice que una recta vertical de ecuación x=x 0 es una asíntota vertical de una función f : A si se cumple con alguna de las siguientes condiciones
0
lím f x
x x^ ,^ o bien
0
lím f x
x x , o bien
0
lím f x
x x
Encuentra las ecuaciones de las asíntotas verticales (si existen) de las funciones dadas por
o
x x
x
f x
3
o
( )^31
x
f x x
o
2
x
x
f x
