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Límite y continuidad Mucha de la terminología relacionada con los límites fue introducida por el matemático alemán Karl Weierstrass (1815-1897). Su forma de tratar rigurosamente los límites y otros temas del cálculo le han dado la reputación de padre del análisis moderno. El estudio de los límites de funciones de varias variables es mucho más complejo que el de funciones de una variables, pues en este, únicamente se tiene dos caminos para acercarse a un punto, por la derecha o por las izquierda; mientras que en el caso de varias variables existe una infinidad de caminos para acercarnos a un punto (a, b) , como lo muestra la figura 1. Figura 1. Comenzaremos el estudio de los límites para funciones de dos variables, el caso para funciones de
variables es análogo. Primero definimos el análogo a un intervalo abierto de.
Definición (Disco de radio y centro P) Un disco D(P, δ)) abierto, o simplemente un disco, de radio δ) > 0 y centro en P = (a, b) es el conjunto de todos los puntos (x, y) tales que su distancia a (a, b) es menor que δ) , es decir Observación: si en la definición (1) se cambia en < por un ≠ obtenemos un disco cerrado. Definición (Límite de una función) Sea f: D((a, b), δ)) ^2 una función de dos variables definida en el disco abierto D((a, b), δ)) , excepto posiblemente en (a, b). Entonces
si y sólo si para cada > 0 existe un correspondiente δ) > 0 tal que
Observación: gráficamente, esta definición significa que para un punto cualquiera (x, y) D((a, b), δ)) , el
valor de f(x, y) está entre L + ε y L – ε, como se ilustra en la figura
Figura 2. Como ya mencionamos, cuando escribimos que (x, y) → (a, b) entendemos que el punto (x, y) se aproxima al punto (a, b) en cualquier dirección. Si el valor de no es el mismo para todos los posibles caminos o trayectorias de acercarnos a (a, b) , entonces el límite no existe. El siguiente ejemplo muestra esta situación. Ejemplo 1 Compruebe que el siguiente límite no existe Solución El dominio de esta función es D = ^^2 ^ ^^0 ,^0 . Para comprobar que le límite no existe, consideramos dos trayectorias diferentes de acercamiento al punto (0, 0). Sobre el eje x ( y = 0 ) cada punto es de la forma (x, 0) y el límite en esta dirección es: Sobre la trayectoria y = x cada punto es de la forma (x, x) y el límite en esta dirección es Esto quiere decir que en un disco abierto cualquiera centrado en (0, 0) existen puntos (x, y) en los cuales f vale 1 y 0. Luego f no puede tener límite cuando (x, y) → (0, 0). Observación : en el ejemplo 1 pudimos concluir que el límite no existe porque encontramos dos caminos que conducen a límites diferentes. Sin embargo, aunque los dos caminos hubieran llevado al mismo límite, no
- Evaluamos directamente
- Para este límite, factorizamos el denominador
- Para este límite racionalizamos el denominador Existen algunas técnicas que a veces resultan útiles en el cálculo de límites. El siguiente ejemplo ilustra el uso de coordenadas polares en el cálculo de un límite. Ejemplo 4 Use coordenadas polares para comprobar que Solución Sean (r, θ)) las coordenadas polares del punto (x, y). Entonces, como tenemos pues, |sen θ) cos θ) | ≤ 1 para cualquier valor de θ). El siguiente ejemplo muestra una situación que podría llevarnos a pensar que el límite existe. Ejemplo 5
Estudie la existencia del siguiente límite Solución Si usamos trayectorias rectas que pasan por el origen y = mx , donde m ≠ 0 , tenemos Ahora usemos como trayectorias las parábolas de la forma y = mx^2 , con m ≠ 0. Esto nos podría llevar a concluir que el límite es cero, pues las rectas y parábolas que pasan por el origen son una infinidad de trayectorias. Pero, observe que al usar la trayectoria y = x^3 , obtenemos Por tanto, el límite no existe. Definición (Continuidad en un punto) Sea f: (^) ^2 una función de dos variables, sea P = (a, b) y sea D(P, δ)) un disco abierto centrado en P y de radio δ) , decimos que f es continua en P = (a, b) si Decimos que f es continua en la región si es continua en cada punto de la región. Observación : la segunda función del ejemplo 3 no es continua, pues f(1, 1) no existe, pero podemos hacerla continua redefiniendo f(1, 1) como 3
Usando las propiedades de los límites podemos obtener el siguiente teorema sobre la continuidad de la suma producto y cociente. Ejemplo 6 Compruebe que la siguiente función es continua en (0, 0). Solución Del ejemplo 2 tenemos que por lo cual, la función f es continua en (0, 0). La gráfica de la función se muestra en la figura
Ejemplo 8 Considere la función f ¿Dónde es continua f? Solución Si f(x, y) = x^2 + y^2 – 1 y g(t) = ln(t) , entonces de modo que h^ ^ g f. Por otro lado, f es un polinomio y es continua en todo ^2 , y g es continua para t > 0. Por lo tanto, h será continua en que corresponde al exterior del círculo x^2 + y^2 = 1 , en la figura 5 se muestra esta región. Figura 5. Walter Mora F, Geovanni Figueroa M. Cidse - Revista virtual Matemática, Educación e Internet - ITCR
