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TEMA 8: LÍMITES Y CONTINUIDAD
1. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN
1.1. Límite finito de una función
Decimos que:lim ( ) x
f x L
, si 0 x 0 / x ' x 0 f ( x ') L
Decimos que:lim ( ) x
f x L
, si 0 x 0 / x ' x 0 f ( x ') L
1.2. Límite infinito de una función
Dada una función f ( ) x :
lim ( ) x
f x
si k 0 x 0 (^) / x ' x 0 f ( x ') k
lim ( ) x
f x
si h 0 x 0 (^) / x ' x 0 f x ( ') h
lim ( ) x
f x
si 0 0 k 0 x / x ' x f ( x ') k
lim ( ) x
f x
si h 0 x 0 (^) / x ' x 0 f x ( ') h
2. OPERACIONES CON LÍMITES
Si f ( ) x y g x ( )son dos funciones y existen sus límites se cumple que
1 :
lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( )
x x x
f x g x f x g x
lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( )
x x x
f x f x
g x g x
, siempre quelim ( ) 0 x
g x
lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( )
x x x
f x g x f x g x
lim ( ) lim ( )
p (^) p x x
f x f x
lim ( ) (^) lim ( )
p p
x x
f x f x
lim log a ( ) log a lim ( )
x x
f x f x
^
lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( )
x
g x g x x x
f x f x
, silim ( ) 0 x
f x
ylim ( ) 0 x
g x
SUMA Y
RESTA
( ) k
( ) k
( ) ( )
( ) ( )
( )
PRODUCTO
k k k
^
k k k
^
COCIENTE
k
indeterminacion 0
k
k k
k
^ ^
POTENCIA
k k k
^
^ ^
k k k
^
^ ^
k k
k
^
n
si impar
No existe si par
n n
n
^
1 Si escribimoslim ( ) x
f x
significa que los resultados son válidos para lim ( ) x
f x
y lim ( ) x
f x
3. CÁLCULO DE LÍMITES DE FUNCIONES
FUNCIONES CON POTENCIAS
lim
n x
x
si n>
lim
n x
x
si n>0 y n par
1 si n=0 si n>0 y n impar
0 si n<0 1 si n=
0 si n<
FUNCIONES POLINÓMICAS
Son de la forma:
1 3 2 2 ( ) 1 ... 3 2 2 1 0
n n f x a xn an x a x a x a x a x a
(^)
lim ( ) x
f x
si el coeficiente del término de mayor grado ( an ) es positivo
si el coeficiente del término de mayor grado ( an ) es negativo
an Grado Polinomio
lim ( ) x
f x
^ >0^ Par
^ >0^ Impar
^ <0^ Par
^ <0^ Impar
FUNCIONES EXPONENCIALES
lim
x x
a
si a>
lim
x x
a
0 si a>
0 si 0<a<1 si 0<a<
No existe si a<0 No existe si a<
FUNCIONES RACIONALES (cociente de polinomios)
Son de la forma: 1 0
1 0
k k p p
a x a x a f x b x b x b
lim ( ) x
f x
0 si k p
lim ( ) x
f x
0 si k p
k
p
a
b
si k p k
p
a
b
si k p
si k p y^0
k
p
a
b
si k p y^0
k
p
a
b
si k p y 0 k
p
a
b
si k p y 0 k
p
a
b
FUNCIONES IRRACIONALES (funciones con radicales)
Resolvemos las indeterminaciones que obtengamos.
Recuerda:
lim ( ) lim ( ) x x
f x f x
8.2. Continuidad lateral
Continuidad por
la derecha
continua en lim ( ) ( ) x a
f a f x f a
Continuidad por
la izquierda
continua en lim ( ) ( ) x a
f a f x f a
Continuidad en
un punto
Si una función es continua por la derecha e izquierda en un
punto, es continua en dicho punto.
8.3. Discontinuidad en un punto
Definición
Una función es discontinua en un punto cuando no existe límite
en él o, existiendo, no coincide con el valor de la función en el
mismo.
Definición
Si una función no es continua en un punto x a , diremos que es
discontinua en dicho punto
TIPOS DE DISCONTINUIDAD
DISCONTINUIDAD
EVITABLE
lim ( ) x a
f x
lim ( ) lim ( ) ( ) x a x a
f x f x f a ^
^
lim ( ) x a
f x
DISCONTINUIDAD
INEVITABLE
Discontinuidad
de salto finito
lim ( ) x a
f x
lim ( ) lim ( ) x a x a
f x f x
lim ( ) x a
f x
Salto de f en a lim ( ) lim ( ) x a x a
f x f x
Discontinuidad
de salto infinito
a) Los limites laterales son y
b) Los limites laterales son o
c) Uno de los límites laterales es finito y el otro
8.4. Continuidad en un intervalo
INTERVALO
ABIERTO
Una función es continua en un intervalo abierto a b , si lo es en cada uno de
sus puntos.
INTERVALO
CERRADO
Una función es continua en un intervalo cerrado a b , si lo es en todos los
punto de a b , y además es continua por la derecha en a y es continua por la
izquierda en b
9. TEOREMAS
9.1. Teorema de Bolzano (Teorema de las raíces)
Si una función es continua en un intervalo a b , y toma valores de signo opuesto en los extremos,
entonces existe al menos un punto interior c del intervalo en el que f c ( ) 0.
continua en , , / ( ) 0 ( ) ( ) 0
f a b c a b f c f a f b
^
9.2. Teorema de Weierstrass (Teorema del máximo-mínimo)
Si una función es continua en un intervalo cerrado a b , , tiene máximo y mínimo en ese intervalo.
9.3. Teorema de Darboux
Si una función es continua en el intervalo a b , , la función toma en ese intervalo todos los valores
comprendidos entre el máximo y el mínimo.
