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TEMA 11 – LÍMITES, CONTINUIDAD Y ASÍNTOTAS
CÁLCULO GRÁFICO DE LÍMITES
EJERCICIO 1 : Sobre la gráfica de f(x), halla :
4
6
8
2
8 6 4 2 2 4 6 8
2
4
6
Y
X
limfx
x
a)
limfx
x
b)
limf x
x
2
c)
limf x
x
2
d)
limf x
x 0
e)
Solución: a) 1
limf x
x
b) 1
limf x
x
limf x
x 2
c)
limf x
x 2
d) e) 1
0
limf x
x
EJERCICIO 2 : A partir de la gráfica de f(x) , calcula:
4
6
8
Y
X
2
8 6 4 2 2 6 8
2
4
6
4
limfx
x
a)
limf x
x
b)
limf x
x
1
c)
limfx
x
1
d)
limfx
x 5
e)
Solución:
limf x
x
a)
limf x
x
b) c) 2
1
limf x
x
d) 3
1
limf x
x
e) 0
5
limf x
x
EJERCICIO 3 : Representa gráficamente los siguientes resultados:
limf x
x
a)
limg x
x
b)
Solución:
a) b)
EJERCICIO 4 : Representa los siguientes límites:
lim f x limf x
x 2 x 2
Solución:
2
EJERCICIO 5 : Representa en cada caso los siguientes resultados: a) 2
limf x
x
limg x
x
b)
Solución:
a)
2
o bien
2
b)
EJERCICIO 6 : Representa gráficamente: a) 1
limf x
x
b) 0
limg x
x 1
Solución:
a)
1
o bien
1
b) Por ejemplo:
1
EJERCICIO 7 : , sabemosque:
Para la función
x
x
f x
y
3 3
x
x
lim
x
x
lim
x x
Representa gráficamente estos dos límites.
Solución:
3
CÁLCULO DE LÍMITES INMEDIATOS
EJERCICIO 8 : Calcula los siguientes límites:
a)
2
3
x x
lim
x
b) 9
2
3
lim x
x
limcosx
x 0
c)
d)
2
2
x x
x
lim
x
lim x
x
e) 6 3
1
Solución:
a)
2
3
x x
lim
x
b) 9 9 9 0 0
2
3
lim x
x
c) 0 1
0
limcosx cos
x
d)
x x 1
x 3
lim
2
x 2
e) lim 6 3 x 6 3 9 3
x 1
EJERCICIO 9 : en 1 yen 3.
Calculaellímitedela función
4
x x
x x
f x
Solución:
4
1
x x
lim
x 2
4
3
x x
lim
x
EJERCICIO 10 : Calcula los siguientes límites y representa los resultados que obtengas:
x x x
x
lim
x
3 2
3
a)
x x x
x
lim
x
3 2
b)
x x x
x
lim
x
3 2
1
c)
Solución:
a)
3 2
3
x x x
x
lim
x
b)
3 2
x x x
x
lim
x
c)
1
2
1
3 2
1
x x
lim
x x
x
lim
x x x
x
lim
x x
x
Hallemos los límites laterales:
1
1 1 x x
lim
x x
lim
x x
1 2 3
1
a)
2
2
0
x x
x x
lim
x
b)
2
2
x x
x x
lim
x
c)
2 2
2
2
2
x
x
lim
x
x x
lim
x x
x x
lim
x x x
Hallamos los límites laterales:
2
2 2 x
x
lim
x
x
lim
x x
1 2
1
1
CÁLCULO DE LÍMITES
EJERCICIO 15 : Calcula los siguientes límites y representa los resultados que obtengas:
a) 3
2
1
limx
x
2
2
2
b)
x
lim
x
1
c)
2
2
1
x
x x
lim
x
d)
2
2
2
x x
x
lim
x
x
x
lim
x
e)
2
f)
4
4
x
x x
lim
x
g)
4
4
x
x x
lim
x
2
h)
x
x
lim
x
2
i)
x
x
lim
x
3
j) lim 3 x
x
k)
3
x
x
lim
x
Solución:
a) 3 1 3 2
2
1
limx
x
2
x 2
x 2
b) lim
2
x 1
x
lim
x 1 x 1
xx 1
lim
x 1
x x
) lim
x 1
x 1
2
2
x 1
c
x 2
x 2
lim
x 2
x 2 x 2
lim
x 4 x 4
x 4
lim
x 2
2
x 2
2
2
x 2
d)
Hallamos los límites laterales:
2
2
x
x
lim
x
x
lim
x
x
2 x
x
lim
2
x
e)
x 1
2 x 3 x
lim
4
4
x
f) 2
x 1
2 x 3 x
lim
4
4
x
g)
1 x
2 x 1
lim
2
x
h)
1 x
2 x 1
lim
2
x
i)
3
x
j) lim 3 x
x 1
x
lim
3
x
k)
EJERCICIO 16 : Halla ellímitecuando x delassiguientesfuncionesyrepresentagráficamente
la información que obtengas: 1
a)
3
x x
f x
b)
2 3
x x
f x
Solución:
a)
3
x x
lim
x
5
b)
2 3
x x
lim
x
EJERCICIO 17 : Calcula ellímitecuando x ycuando x delasiguientefunción
y representa la información que obtengas:
2
x x
f x
Solución:
3
2 2
x x
lim
x x
lim
x x
EJERCICIO 18 : Halla los siguientes límites y representa gráficamente los resultados obtenidos:
2
a) lim 4 x
x
2
b) lim 4 x
x
Solución:
2
a) lim 4 x
x
2
b) lim 4 x
x
EJERCICIO 19 : Calcula los siguientes límites y representa el resultado que obtengas:
x
x x
lim
x 3 4
a)
2
x
x x
lim
x 3 4
b)
4
Solución:
x
x x
lim
x 3 4
a)
2
x
x x
lim
x 3 4
b)
4
x x x
x x x x x x
lím x x x lím
x x
a) 5 2 3
2
2 2
2
x x x
x x
lím
x x x
x x x
lím
x x
2
2
2
2 2
b)
6
2
6
2
x x
x x
lím
x x
x x
lím
x x
2 x 1
3 2 x 1
2 x 1
3 2 x 1
c)
4
4
4 x
4
x
lím lím
x x 2 x 2
x 1 x 2 x
(x 2 )(x 1 )
(x 1 )(x 1 ) x (x 2 )
x 1
x
x 2
x 1
d)
3 2
4 4 3
x
2
2 2 3
x
2
2 3
x
lím lím lím
3 2
3
x x x
x
lím
x
5 x 3 x 1
3 x 2
e)
x 2
lím
x 3 x 2 x
x 3 x 2 x x 3 x 2 x
f) x 3 x 2 x x 3 x 2 x
2
2 2
x
2
x
2
x
lím lím lím
x x x
x x
lím
x x x
x x x
lím
x x
2
2
2
2 2
3 x 1 2 x
3 x 1 4 x
3 x 1 2 x
3 x 1 2 x 3 x 1 2 x
g) 3 x 1 2 x
2
2 2
2 x
2 2
x
2
x
lím lím lím
x x
x
lím
x
2
2
x 2
2 x 1
x 2
2 x 1
h)
4
3
5
x
4
3
5
x
lím lím
x x x 1
3 x 3 x x x
(x 1 )(x 1 )
3 x (x 1 ) x (x 1 )
x 1
x
x 1
3 x
i)
3 2
4 2 4 3
x
2
2 2 3
x
2
2 3
x
lím lím lím
3 2
4 3 2
x x x
x x x
lím
x
3 x 1
2 x 3
3 x 1
2 x 3
j)
x 2 x 2
lím lím
EJERCICIO 2 2 : Calcula:
a)
3
3 2
3 2
x 1
3 x 8 x 7 x 2
2 x 3 x 1
lím b)
x 1 1
2 x 4 2
x 0
lím c)
x x x 1
3 x x 2
3 2
2
x 1
lím
d)
x 3
x 1
x 9
2 x
2
x 3
lím e)
x 3 x 4
2 x x 10
3 2
2
x 2
lím
Solución:
a)
3
3
x 1
3
2
2
x 1
3
3 2
3 2
x 1
3 x 2
2 x 1
3 x 2 x 1
2 x 1 x 1
3 x 8 x 7 x 2
2 x 3 x 1
lím lím lím
b)
(x 1 1 )( 2 x 4 2 )
( 2 x 4 4 )( x 1 1 )
( x 1 1 )( x 1 1 )( 2 x 4 2 )
( 2 x 4 2 )( 2 x 4 2 )( x 1 1 )
x 1 1
2 x 4 2
x 0 x 0 x 0
lím lím lím
2 x 4 2
2 ( x 1 1 )
x( 2 x 4 2 )
2 x( x 1 1 )
x 0 x 0
lím lím
c)
x 1 x 1
3 x 2
x 1 x 1
x 1 3 x 2
x x x 1
3 x x 2
x 1
2
x 1
3 2
2
x 1
lím lím lím
Hallamos los límites laterales:
x 1 x 1
3 x 2
x 1 x 1
3 x 2
x 1 x 1
lím lím No existe
d)
x 3 x 3
2 x x 4 x 3
x 3 x 3
2 x x 1 x 3
x 3
x 1
x 9
2 x
2
x 3 x 3
2
x 3
lím lím lím
x 3 x 3
x 2 x 3
2
x 3
lím
Hallamos los límites laterales:
x 3 x 3
x 2 x 3
x 3 x 3
x 2 x 3
2
x 3
2
x 3
lím lím No existe
e)
x 1 x 2
2 x 5
x 1 x 2
2 x 5 x 2
x 3 x 4
2 x x 10
x 2
2
x 2
3 2
2
x 2
lím lím lím
Hallamos los límites laterales:
x 1 x 2
2 x 5
x 1 x 2
2 x 5
x 2 x 2
lím lím No existe
EJERCICIO 23 : Calcula los límites:
a)
x 1
3 x
2
x 1 x x 6
2 x 4
lím b)
x 2
x
2
x 2 x 2 x 4
3 x 2
lím c)
x 3
2 x
2
x 3
4 x 4
2 x x 1
lím
d)
x
3
2
x 0
5 x 1
x 3 x 1
lím e)
x 1
1
2
x 1
x 1
x 2 x 3
lím
Solución:
a)
(x x 6 )(x 1 )
( x 3 x 2 )( 3 x )
x 1
3 x
·
x x 6
2 x 4 x x 6
x 1
3 x
1 ·
x x 6
2 x 4
x 1
3 x
2
x 1
2
2
x 1
2
2
x 1
2
x 1
e e e
x x 6
2 x 4
lím
lím lím
lím
2
1
6
3
x x 6
3 x(x 2 )
(x x 6 )(x 1 )
3 x(x 2 )(x 1 )
e e e e
2 x 1
2 x 1
lím
lím
b)
(x 2 x 4 )(x 2 )
( x 5 x 6 ) x
x 2
x
·
x 2 x 4
3 x 2 x 2 x 4
x 2
x
1 ·
x 2 x 4
3 x 2
x 2
x
2
x 2
2
2
x 2
2
2
x 2
2
x 2
e e e
x 2 x 4
3 x 2
lím lím lím
lím
2
1
4
2
(x 2 x 4 )
x(x 3 )
(x 2 x 4 )(x 2 )
x(x 3 )(x 2 )
e e e e
2
x 2
2
x 2
lím lím
c)
x 3
2 x
·
4 x 4
2 x 5 x 3
x 3
2 x
·
4 x 4
2 x x 14 x 4
x 3
2 x
1 ·
4 x 4
2 x x 1
x 3
2 x
2
x 3
2
x 3
2
x 3
2
x 3
e e e
4 x 4
2 x x 1
lím
lím lím
lím
8
21
16
42
4 x 4
2 x 1 2 x
4 x 4 x 3
2 x 1 x 3 2 x
e e e e
x 3 x 3
lím lím
d)
x 5 x 1
3 xx 8
x
3
·
5 x 1
x 8 x
x
3
·
5 x 1
x 3 x 15 x 1
x
3
1 ·
5 x 1
x 3 x 1
x
3
2
x 0
x 0
2
x 0
2
x 0
2
x 0
e e e e
5 x 1
x 3 x 1
lím
lím
lím lím
lím
24
5 x 1
3 x 8
e e
x 0
lím
e)
x 1
1
·
x 1
x 3 x 2
x 1
1
·
x 1
x 2 x 3 x 1
x 1
1
1 ·
x 1
x 2 x 3
x 1
1
2
x 1
2
x 1
2
x 1
2
x 1
e e e
x 1
x 2 x 3
lím
lím lím
lím
2
1
x 1
x 2
x 1 ·x 1
x 2 ·x 1
e e e
x 1
x 1
lím
lím
a) 3 1
2 2
2 2 2 2
2 2
x x x
x x x x x x
lím x x x lím
x x
2 2 2 2
2 2
2 2
2 2
x x x
x
lím
x x x
x x x
lím
x x x
x x x
lím
x x x
x x
x
lím
x
b)
3
2
3
3 2
3
x x
lím
x x
x
lím
x x x
x
lím
x x x
Hallamos los límites laterales:
(x 3 )(x 1 )
; lím
(x 3 )(x 1 )
lím
x 3 x 3
Como son distintos No existe el límite
x 1
x x 1
lím
(x 1 )
x x 1 x 1
lím
x 2 x 1
x x
lím
x 1
2
x 1
2
3
x 1
c)
Hallamos los límites laterales:
1
1 1 x
x x
lím
x
x x
lím
x x
Como son distintos No existe el límite
3 x 4
6 x 6
·x 1 lím
43 x
3 x 243 x
lím
1 · x 1
43 x
3 x 2
x 1 lím
x
x x
x
1 e e e
4 3 x
3 x 2
d) lím
2
2
e
e
x
x
lím
x 2
x 3 x
lím
x 2
x 3 x
lím
5
3
2 x
5 3
2 x
5 3
x
e)
x 4
3 x x 3 x 2
lím
x 4
3 x x 1 x 2
lím
x 2
x 1
x 4
3 x
lím
2
2
x 2
2
x 2
2
x 2
f)
2
2
2
x
x
lím
x
Hallamos los límites laterales:
4
2
2
2
2
2
2 x
x
lím
x
x
lím
x x
No existe el límite
x 1
x 3
lím
(x 2 )(x 1 )
(x 2 )(x 3 )
lím
x x 2
x x 6
lím
x 2 x 2
2
2
x 2
g)
x x x
x x .x x x x
lím x x x lím x x x lím
2
2 2
x
2
x
2
x
h)
2 2
2 2
x
x
lím
x x
x
lím
x x x
x
lím
x x x
x x x
lím
x x x x
x 1
3 x
lím
x 1
3 x 3 x 3 x
lím
x 1
3 x x 1 3 x
lím
x 1
3 x
x 1
3 x
lím
2
2
x
2
3 2 3
x
2
2 3
x
2
2 3
x
i)
4
1
2 x 2
1
lím
( 2 x 2 )(x 1 )
x 1
lím
x 1
1
·
2 x 2
x 3 2 x 2
lím
x 1
1
1 ·
2 x 2
x 3
lím
x 1
1
x 1
1 e e e e e
2 x 2
x 3
lím
x 1
x 1
x 1
x 1
j)
CONTINUIDAD
EJERCICIO 26 : Lasiguientegráficacorrespondealafunción f x :
4
6
8
Y
X
2
8 6 4 2 2 6 8
2
4
6
4
Di si es continua o no en x 1 y en x 2. Si en
alguno de los puntos no es continua, indica cuál
es la causa de la discontinuidad.
Solución:
En x 1 no es continua porque presenta un salto en ese punto. Observamos que
lim fx limfx
x x
1 1
En x 2 sí es continua.
EJERCICIO 27 : A partir de la gráfica de f ( x ) señala si es continua o no en x 0 y en x 3. En el
caso de no ser continua, indica la causa de la discontinuidad.
4
6
8
2
2
2 4 6 8
4
2
8
6
4
6
Y
X
Solución:
En x = 0, sí es continua.
En x = 3 es discontinua porque no está definida, ni tiene límite finito. Tiene una rama infinita en ese punto
(una asíntota vertical).
EJERCICIO 28 : Dadalagráficade f x :
4
6
8
2
2 4 6 8
4
2
8
6
2
4
6
Y
X
a) ¿Es continua en x 1?
b) ¿Y en x 2?
Si no es continua en alguno de los puntos,
indica cuál es la razón de la discontinuidad.
Solución:
a) Sí es continua en x 1.
b) No, en x 2 es discontinua porque no está definida en ese punto. Como sí tiene límite en ese punto, es
una discontinuidad evitable.
EJERCICIO 29 : Averigua si la siguiente función es continua en x 2:
2 si 2
2 si 2
x x
x x
f x
Solución:
x limf x f .
f
limf x lim x
limf x lim x
x x x
x x
Escontinuaen 2 porque 2
2 2 2
2 2
b) Continuidad
f continua en R – {1}
En x 1:
f( 1 ) 2. 1 2
limfx lim x 1 2
limf x lim 2 x 2
limf x
2
x 1 x 1
2
x 1 x 1
x 1 f continua en x = 1
Solución: f continua en todo R.
Representación
Si x 1 , esun trozode parábola.(V
x
Si x 1 , esuntrozode recta.
X
Y
4
2
2
2
4
2 4
6
8
Y
X
c) Continuidad
f continua en R – {-1}
En x - 1:
f( 1 ) 1 1 0
lim fx lim x 1 0
lim fx lim x 1 0
lim f x
2
x 1 x 1
x 1 x 1
x 1
f continua en x = - 1
Solución: f continua en todo R.
Representación:
Si x 1 , esun trozode recta.
Si x 1 , esuntrozode parábola.(V x
X
Y
4
6
2
2
4
6
2
4
2 4
Y
X
d) Continuidad
f continua en R – {0}
En x 0:
f( 0 ) 1 1
lim fx lim 1 x 1
lim fx lim 1 1
lim f x
2
x 0 x 0
x 0 x 0
x 0
f continua en x = 0
Solución: f continua en todo R
Representación:
Si x 0 , esun trozoderectahorizontal.
Si x 0 , esuntrozode parábola.(V x
X
Y 1 1 1 1 0 - 3
4
2
6
2
4
6
2
4
2 4
Y
X
e) Continuidad:
f continua en R – {2}
En x 2:
f( 2 )
lim fx lim 2 x 1 5
x
lim fx lim
limf x
2
x 2 x 2
2
x 2 x 2
x 2
f discontinua inevitable de salto finito(3) en x=
Representación:
Si x 2 , esun trozode parábola.(V
x
Si x 2 , esun trozode recta.
6 4 2
2
2
2 4 6
Y
X
4
6
8
f) Continuidad:
f continua en R – {2}
En x 2:
f( 2 ) 2 3 1
lim fx lim 1 1
lim fx lim x 3 1
limf x
2
x 2 x 2
2
x 2 x 2
x 2 f continua en x = 2
Solución: f continua en todo R.
Representación:
Si x 2, es un trozo de parábola. (V x
Si x > 2, es un trozo de recta horizontal.
X
Y
g) Continuidad
f continua en R – {1}
En x 1:
f( 1 ) 1 1
3 x 1
limfx lim
limf x lim x 1
limf x
2
x 1 x 1
2
x 1 x 1
x 1 f continua en x = 1
Solución: f continua en todo R.
Representación:
Si x 1, es un trozo de parábola. (V
x
Si x > 1, es un trozo de recta.
X
Y
h) Continuidad
f continua en R – {0}
En x 0:
f( 0 ) 2 0 2
lim fx lim 1 1
lim fx lim 2 x 2
limf x
x 0 x 0
2
x 0 x 0
x 0
f discontinua inevitable de salto finito(1) en x=
EJERCICIO 34 : Calcula el siguiente límite y estudia el comportamiento de la función a la izquierda y
a la derecha de x 3:
2
3
x
lim
x
Solución:
3
2
3
x x
lim
x
lim
x x
Calculamos los límites laterales:
9
2
3
2
3
x
lim
x
lim
x x
EJERCICIO 35 : Calcula el siguiente límite y estudia el comportamiento de la función por la izquierda
y por la derecha de x 0:
x x
x
lim
x
2
0
Solución:
0
2
0
xx
x
lim
x x
x
lim
x x
Calculamos los límites laterales:
x x
x
lim
x x
x
lim
x x
2
2
0
2
0
EJERCICIO 36 : Calcula el siguiente límite y estudia el comportamiento de la función por la izquierda
y por la derecha de x 2:
2
2
x
x
lim
x
Solución:
2
2
2
2
2
2
2
x
x
lim
x
x
lim
x
x
lim
x x x
EJERCICIO 37 : , calculaellímitede ( ) en 2.
Dada la función
2
f x x
x x
x
f x Representa
la información que obtengas.
Solución:
2
x x
x
x x
x
Calculamos los límites laterales:
5 6
2
2 2 x x
x
lim
x x
x
lim
x x
EJERCICIO 38 : Halla las asíntotas verticales de las siguientes funciones y sitúa las curvas respecto
a ellas:
a)
2
x
x
f x b)
2
x x
f x
Solución:
a) 1 0 1 ; 1.
2
x x x Las asíntotas verticales son x 1 y x 1.
Posición de la curva respecto a ellas:
1
2
1 1
x
x
lim
x x
x
lim
x x
1
2
1
2
1
x
x
lim
x
x
lim
x x
b) 2 1 0 1
2
x x x Solo tiene una asíntota vertical: x 1
Posición de la curva respecto a la asíntota:
2 2
x
x x
2
1
2
1
1
x
lim
x
lim
x x
EJERCICIO 39 : Halla las ramas infinitas de las siguientes funciones y representa los resultados
obtenidos:
a) x
x x
f x 2
3 2
b)
3
f x 3 x c)
2
4
x
x
f x
d)
x
x x
f x
3
Solución:
a)
x
x x
lim
x
x x
lim
x
x
3 2
3 2
b)
3 3
lim 3 x lim 3 x
x x
c)
2
4
2
4
x
x
lim
x
x
lim
x
x
d)
x
x x
lim
x
x x
lim
x
x
3
3
EJERCICIO 40 : Halla lasramasinfinitas,cuando x , delassiguientesfuncionesy representa
la información que obtengas:
4
a) f x x 2
2
b) f x x x
Solución:
4
a) lim x 2
x
2
b ) lim x x
x
EJERCICIO 41 : Halla lasramasinfinitas,cuando x , de las siguientes funciones y representa
los resultados que obtengas:
3
a) f x x 1 f x x x
2
b)
Solución:
3
a) lim x 1
x
lim x x
x
2
b)
EJERCICIO 44 : Halla las asíntotas de las siguientes funciones y sitúa las curvas respecto a ellas:
a)
2
2
x
x
f x b)
2
2
x
x x
f x
Solución:
a)
Asíntotas verticales: Puntos que anulan el denominador: x
2
x = 1
x 1
2 x 1
lim
x 1
2 x 1
lim
2
2
x 1
2
2
x 1
x = 1
x 1
2 x 1
lim
x 1
2 x 1
lim
2
2
x 1
2
2
x 1
Asíntota horizontal:
2
2
2
2
x
x
lim
x
x
lim
x
x
y = 2
f( 100 ) 2
f( 100 ) 2
Representación:
b)
Asíntota vertical: Puntos que anulan el denominador x
2
= 0 x 0
x
x 3
lim
x
x 3
lim
x
x 3
lim
x
xx 3
lim
x
x 3 x
lim
x 0
x 0
x 0
2
x 0
2
2
x 0
Asíntota horizontal:
x
x 3 x
lim
x
x 3 x
lim
2
2
x
2
2
x
y = 1
f( 100 ) 1
f( 100 ) 1
Representación:
