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Cómo contrastar hipótesis paramétricas en un modelo lineal general (mlg) mediante el análisis de variancias y estadísticos de prueba. Se incluyen ejemplos y ecuaciones para ilustrar el proceso.
Tipo: Diapositivas
1 / 36
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Contrastes de hipótesis paramétricas en el MLG:
Contrastes de varias hipótesis lineales conjuntas sobre β
Contrastes de una única hipótesis lineal sobre β
Intervalos de confianza
Estimación de β bajo restricciones lineales generales
Relación entre estadístico F y las sumas residuales
Previsión de y.
Previsión del valor medio teórico.
Especificación: de lo general a lo particular y viceversa
Sea el modelo:
Algunos ejemplos de hipótesis lineales sobre los parámetros β son:
y t
= β 1
x t 2
x t k
β j = 0
β 2 = 0
β 3 = 0
β k = 0
● Significación conjunta de las pendientes:
● Significación individual de un parámetro:
● Hipótesis sobre un parámetro: β j = c
● Varias hipótesis conjuntas:
β 2 = - β 3
β 4 = β 5
● Varias hipótesis conjuntas:
β 2 = - β 3
β 4 = β 5
0 β 1 + 1 β 2 + 1 β 3 + 0 β 4 + 0 β 5 + … + 0 β k = 0
0 β 1 + 0 β 2 + 0 β 3 + 1 β 4 – 1 β 5 + … + 0 β k = 0
0
0
β 2
β k
β 1
.. .
A c
β 2 + β 3 = 0
β 4 – β 5 = 0
(^1 0 0) … 0
0 1 -1 … 0
0 1
0 0
● Significación individual de un parámetro:
β j = 0 0 β 1 + 0 β 2 + … + 1 β i + … + 0 β k = 0
Se trata de 1 hipótesis lineal, luego (^) = 0
β 2
β k
β 1
.. .
0 0 … (^1 0) … 0
Se trata de 2 hipótesis lineales,
luego matricialmente queda:
● Hipótesis sobre un parámetro:
β j = c 0 β 1 + 0 β 2 + … + 1 β j + … + 0 β k = c
Se trata de 1 hipótesis lineal, luego (^) = c
β 2
β k
β 1
.. .
0 0 … (^1 0) … 0
Ejemplo: (^) Pregunta 17, febrero 2005 (Hipótesis nula) (1 de 3)
Sea el modelo: Yt =^ β 1 +^ β 2 Xt 2 +^ β 3 Xt 3 +^ β 4 Xt 4 +^ Ut
Las hipótesis nulas del tipo
siendo:
0
( i ) : A
( i ) β = c
( i ) asociadas con las matrices y vectores
(1) =
0 1 1
1 0 0
0
0
0 0 1 -
c
(1) =
0
0
0
0
(1) : A
(1) β = c
(1)
0 1 1
1 0 0
0 0 1
0
0
0
0
0
β 2
β 3
β 4
β 1 0 β 1 + 1 β 2 + 1 β 3 + 0 β 4 = 0
1 β 1 + 0 β 2 + 0 β 3 + 0 β 4 = 0
0 β 1 + 0 β 2 + 1 β 3 – 1 β 4 = 0
β 2 + β 3 = 0
β 1 = 0
β 3 – β 4 = 0
β 2 = - β 3
β 3 = β 4
Es decir, (^) H 0
(1) : β 2 +^ β 3 =^^0 , β 1 =^^0 , β 3 =^ β 4
siguientes son:
(3 hipótesis lineales)
Ejemplo: (^) Pregunta 17, febrero 2005 (Hipótesis nula) (2 de 3)
siendo: (^) A
(2) = c
(2) =
1 0 0
0 2 -
0
0
0
0
(2) : A
(2) β = c
(2)
1 0 0
0 2 -
0
0
0
β 2
β 3
β 4
β 1
1 β 1 + 0 β 2 + 0 β 3 – 1 β 4 = 0 β 1 – β 4 = 0 β 1 = β 4
0 β 1 + 2 β 2 – 1 β 3 + 0 β 4 = 0 2 β 2 – β 3 = 0
Es decir,
2 β 2 = β 3
2 β 2 / β 3 = 1
(2) : β 1 –^ β 4 =^^0 ,^2 β 2 / β 3 =^^1 (2 hipótesis lineales)
^ ^
- 1 A'] - 1
m
^ σ
2 MCO
m , n – k
m
^ ^ (Aβ MCO
- c)'[A ( X' X ) - 1 A'] - 1 (Aβ MCO - c)
^ ^ ε'ε
Para contrastar m hipótesis lineales sobre los parámetros β del modelo:
basta con aplicar el test general:
0
: Aβ = c
2 con I )
siendo A :
vector de constantes conocidas de dimensión ( m x 1 )
matriz de coeficientes conocidos de dimensión ( m x k )
y rango = m
siendo c :
1
: Aβ ≠ c
H 0
7.1. Contrastes de varias hipótesis lineales conjuntas sobre β
Comprobación: Test general de hipótesis
H 0 : Aβ = c
^
Su tamaño se evalúa a partir de d'Var ( d )
^
^
^
^ ^ = A E[ ( β – β ) ( β – β ) '] A'
^ σ
2 A ( X'X )
- 1 A'
^ ^ = E[A ( β – β ) ( β – β ) 'A']
^ Var(d)
^ ^ = E[(d – E ( d ) ) (d – E ( d ) )']
^ A ( β – β )
^ Var(β)
^ A Var(β) A'
^ β ~ N
^ d ~ N ( ; )
^ 0
^ σ
2 A ( X'X )
- 1 A'
Para contrastar m hipótesis lineales:
Se define:
Si H 0 es cierta
Luego, si es cierta H 0 : pues:
7.1. Contrastes de varias hipótesis lineales conjuntas sobre β
(^0) Fα F
Zona de no rechazo de H 0
Zona de rechazo de H 0
m , n – k
Nivel de significación
α %
Contraste mediante el nivel de significación:
Se elige a priori un nivel de significación α % (p. ej. 1 %, 5 %, 10 %).
Se busca el correspondiente valor crítico ( F α ) en la tabla de la distribución, que
divide los posibles valores en dos zonas: de no rechazo y de rechazo.
Se comprueba en qué región queda situado el valor calculado F. Si^ F se sitúa en
la región crítica (zona de rechazo) se rechaza H 0 en favor de la hipótesis alterna-
tiva H 1.
Nivel de confianza
< (^) Rechazar H 0 en favor de^ H 1
7.1. Contrastes de varias hipótesis lineales conjuntas sobre β
Ejemplo: (^) Contraste mediante el nivel de significación 13, febrero 2005
(Contraste significación global pendientes)
Al 10% de nivel de significación:
F α = 2,
F = 3,50 (^) Rechazar H 0
en favor de H 1
(^) 2,44 = F α
Al 5% de nivel de significación:
F α = 3,
F = 3,50^ Rechazar H 0
en favor de H 1
3,20 = F α
Al 1% de nivel de significación:
F α = 5,
F = 3,50 (^) No rechazar H 0
en favor de H 1
< (^) 5,18 = F α
Contrastar^ H 0 : Aβ^ =^ c al 10%, 5% y 1% de significación
siendo: m = 3, n = 21, k = 4 y el valor calculado F = 3,
1 %
10 %
F α
5 %
0
3,50 <
< 3,
(^0) F α < 3,
F α
(^0) F α
7.1. Contrastes de varias hipótesis lineales conjuntas sobre β
^ ^ (Aβ MCO
- c)'[A ( X' X ) - 1 A'] - 1 (Aβ MCO - c)
m
^ σ
2 MCO
Para contrastar la significación conjunta (global) de las pendientes: m
basta con particularizar el test general:
0
: Aβ = 0
2 con I )
siendo:
1
: Aβ ≠ 0
A = 0 I k -1 c^ =^0
^ R
2
2
7.1. Contrastes de varias hipótesis lineales conjuntas sobre β
Ejemplo: (^) Pregunta 13, febrero 2005 (Contraste significación global pendientes)( 1 de 2)
La hipótesis nula
siendo:
0
: β 2 = β 3 = β 4 = 0
0 1 0
0 0 1
0
0
0 0 0 1
c =
0
0
0
0
: Aβ = c
(3 hipótesis lineales)
Sea el modelo:
^ REi = 632,79 + 0,839 VAAi + 10,79 VAIi + 4,53 IVIi + ui i = 1 , …, 10
^ u i
2
i = 1
10
∑ REi =
i = 1
10
∑ (^) 16,
1
10
i = 1
10
∑ (^) RE i
donde:^2
F
^ R
2
2
4 – 1
10 – (^4) R^^2
1 – R^2
3
6 0,
1 – 0,
equivale a:
( y – y ) ' ( y – y )
^ ^ ε'ε 1 –
49,
3104,25 – 10 (16,15)
2
17,
Y se puede contrastar a partir del valor calculado del estadístico F :
7.1. Contrastes de varias hipótesis lineales conjuntas sobre β
RE representa la renta,VAA el valor añadido del sector agrícola,VAI el valor añadido del sector industrial, eIVI la inversión en vivienda.
Ejemplo: (^) Pregunta 4, febrero 2005 (Contraste significación global pendientes)
Sea el modelo: (^) Y i =^ β 1 +^ β 2 Xi 2 +^ β 3 Xi 3 +^ Ui
es el valor calculado del estadístico F de contraste de
con i = 1 , …, 20
F
^ R
2
2
3 – 1
20 – (^3) R ^^2
1 – R^2
Nivel de significación marginal (p-value) =
^ F = = 2 , 17
F
p- value
≠ Pr [ F 3 , 17 ≤ F ] D)
1 – Pr [ F 2 , 17 ≤ F ]
_α_* = Pr [ F 2 , 17 ≥ F ]
0
: β 2 = β 3 = 0
A) verdadera
B) verdaderas
2
(^17) SEC
SCR
C)
0
F m , n – k
_α_* %
falsa
7.1. Contrastes de varias hipótesis lineales conjuntas sobre β
7.2. Contrastes de una única hipótesis lineal sobre β
^ ^ (a'β MCO
- c )'[a' ( X' X ) - 1 a] - 1 (a'β MCO - c )
1
^ σ
2 MCO
Para contrastar 1 hipótesis lineal sobre los parámetros β del modelo:
basta con particularizar el test general:
H 0 : a'β = c
2 con I )
siendo a :
una constante conocida. c
vector de coeficientes conocidos de dimensión ( 1 x k )
siendo c:
H 1
: a'β ≠ c
^ (a'β MCO
- c )
2
^ σ
2 MCO
^ [a' ( X' X )
- 1 a]
1 , n – k
^ a'β MCO
- c
^ σMCO
^ a' ( X' X )
- 1 √ a
O, alternativamente, tomado su raíz cuadrada:
