Primer Control d’`
Algebra Lineal
Grup M1
9 d’octubre de 2017
Grau d’Enginyeria Qu´ımica
Grau d’Enginyeria de Materials
Universitat de Barcelona
1. Considereu les matrius
A=
a1 1
1−a1
1 1 1
, B =
1
1
1
,
on a∈R´es un par`ametre. Es demana:
(a) Determineu els valors de aper als que el sistema AX = 0 t´e m´es d’una soluci´o.
(2 punts)
(b) Per als valors de aper als que Asigui invertible, trobeu l’expressi´o de A−1en funci´o de a.
(2 punts)
(c) Feu servir els resultats anteriors per a resoldre el sistema AX =Bquan aquest sigui
compatible determinat.
(2 punts)
Soluci´o:
(a) El sistema AX = 0 t´e m´es d’una soluci´o quan ´es compatible indeterminat, i segons el
teorema de Rouch´e-Frobenius aix`o passar`a quan sigui rang(A)<3. Aquesta darrera
condici´o la podem traduir en termes de determinants com det(A) = 0, obtenint
a1 1
1−a1
1 1 1
= 1 −a2= 0.
Aix´ı, AX = 0 t´e m´es d’una soluci´o per a=±1.
(b) La matriu A ´es invertible o regular quan el seu determinant ´es no nul. Segons l’apartat
anterior, aix`o passar`a quan sigui a6=±1. En tal cas, sabem que la inversa la podem trobar
fent servir la f´ormula
A−1=1
det(A)Aadt.
En aquest cas, resulta
Aad =
−(a+ 1) 0 a+ 1
0a−1 1 −a
a+ 1 1 −a−(a2+ 1)
,
A−1=1
1−a2
−(a+ 1) 0 a+ 1
0a−1 1 −a
a+ 1 1 −a−(a2+ 1)
.
(c) Per a6=±1 hem vist que rang(A) = 3, de forma que rang(A|B) = 3 i el sistema AX =B
´es compatible determinat. En tal cas, la soluci´o la podem trobar fent servir la matriu
inversa de l’apartat anterior:
X=A−1B=1
1−a2
−(a+ 1) 0 a+ 1
0a−1 1 −a
a+ 1 1 −a−(a2+ 1)
1
1
1
=
0
0
1
.
Per a=±1 sabem que ´es rang(A)<3, de forma que el sistema no ser`a compatible
determinat (de fet, ´es compatible indeterminat perqu`e Bcoincideix amb la tercera columna
de A).
