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Tipo: Apuntes
Subido el 27/11/2019
1 / 74
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Ing. Mecatrónica
Universidad Veracruzana
Dr. Marving O. Aguilar Justo
Agosto 201 9
Notas de Clase basadas en las siguientes Referencias:
La transformada Z de una función continua g(t) se define por:
( ) ( ) ( ) ( ) 0
k
k
G z g t g kT g kT z
−
=
Obsérvese que la función continua g(t) se considera muestreada, por lo que se convierte en una
secuencia de valores separados en el tiempo por T segundos, definida por la función g(kT) donde k
= 0, 1 ,2, … , y T es el periodo de muestreo.
Para una secuencia de números g(k) el periodo de muestreo se considera unitario, y su
transformada Z se define por:
( ) ( ) ( ) 0
k
k
G z g k g k z
−
=
( )
1 2 3 G z 1 z z z − − − = + + + +
Con base en la serie infinita 2 3
0
k
k
r r r r r
=
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1 2 13 1
G z z z z z
− − − −
( ) (^1)
z G z z z −
( ) 1
z G z z
Ejemplo 1. 2
Sea la función rampa unitaria
( )
t t g t t
a) Obtenga la función (^) g kT ( ).
b) Obtenga la gráfica de (^) g t ( )y la de (^) g kT ( )cuando el periodo de muestreo es T = 0.1.
c) Obtenga la transformada Z de (^) g t ( )cuando el periodo de muestreo es T = 0.1.
a) La función g kT ( )es:
( )
kT k g kT k
b) Gráficas de (^) g t ( )y de (^) g kT ( )cuando el periodo de muestreo es T = 0.1.
0 0.5 1 1.
0
1
Funciones Continua y Muestreada
Tiempo (s y kT)
g(t) y
g(kT)
Contínua Muestreada
c) La transformada Z de g t ( )cuando el periodo de muestreo es T = 0.1 es:
( ) ( ) ( ) ( ) 0
k
k
G z g t g kT g kT z
−
=
= = =
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
0 1 2 3 G z g 0 T z g 1 T z g 2 T z g 3 T z
− − − = + + + +
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 0 1 2 3 0 0.1 0.2 0.3 12 1
z G z z z z z T z
− − − − −
(… compruebe)
( ) ( ) (^ )
1 2
1 2 2 2 1 1
z z Tz G z T z z^ z
−
−
Ejemplo 1. 4
Sea la función exponencial
( )
2 0
0 0
t e t g t t
− =
a) Obtenga la función (^) g kT ( ).
b) Obtenga la gráfica de (^) g t ( )y la de (^) g kT ( )cuando el periodo de muestreo es T = 0. 05.
c) Obtenga la transformada Z de g t ( )cuando el periodo de muestreo es T = 0. 05.
a) La función g kT ( )es:
( )
2 0,1, 2,3,
0 0
kT e k g kT k
− = =
b) Gráficas de (^) g t ( )y de (^) g kT ( )cuando el periodo de muestreo es T = 0.1.
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
0
1
Funciones Continua y Muestreada
Tiempo (s y kT)
g(t) y
g(kT)
Contínua Muestreada
c) La transformada Z de g t ( )cuando el periodo de muestreo es T = 0. 05 es:
( ) ( ) ( ) ( ) 0
k
k
G z g t g kT g kT z
−
=
= = =
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
0 1 2 3 G z g 0 T z g 1 T z g 2 T z g 3 T z
− − − = + + + +
( )
0 0 0.1 1 0.2 2 0.3 3 0.1 1
G z e z e z e z e z e z
− − − − − − = + + + + = (^) − − −
Con base en la serie infinita
2 3
0
k
k
r r r r r
=
( ) (^) ( ) ( ) ( ) ( )
0.1 1 0.1 1 2 0.1 13 0.1 1
G z e z e z e z e z
− − − − − − − −
( ) (^) 0.1 1
z G z e z z − −
( ) (^) 0.
z z G z z e z −
Ejemplo 1. 5
Sea la función sinusoidal
( )
sen 4( ) 0
0 0
t t g t t
a) Obtenga la función (^) g kT ( ).
b) Obtenga la gráfica de g t ( )y la de g kT ( )cuando el periodo de muestreo es T = 0.02.
c) Obtenga la transformada Z de (^) g t ( )cuando el periodo de muestreo es T = 0.02.
a) La función (^) g kT ( )es:
( )
sen 4( ) 0,1, 2,3,
0 0
kT k g kT k
b) Gráficas de g t ( )y de g kT ( )cuando el periodo de muestreo es T = 0.02.
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.
-0.
-0.
-0.
-0.
0
1
Funciones Continua y Muestreada
Tiempo (s y kT)
g(t) y
g(kT)
Contínua Muestreada
c) La transformada Z de g t ( )cuando el periodo de muestreo es T = 0.02 es:
( ) ( ) ( ) ( ) 0
k
k
G z g t g kT g kT z
−
=
donde
( ) ( ) ( )
sen 4 2
j kT j kT g kT kT e e j
− = = −
Matlab tiene la capacidad de calcular la transformada Z de una función de transferencia G(s). Por
tanto, cuando se requiera aplicar la transformada Z a una función en el dominio del tiempo g(t),
primero se debe obtener su función de transferencia G(s). Es importante destacar que la transformada
Z que calcula Matlab es con algún retenedor (por defecto de orden cero), es decir:
ZOH
G(z)
Transformada Z con Matlab
G(s)
La instrucción que ejecuta la transformada Z es
c 2 d(“función de transferencia”,“periodo de muestreo”,“orden del retenedor”)
( ) (^4)
T
z z G z z e z −
d) La transformada Z de (^) g t ( )con T = 0.1 es:
( ) ( ) ( )
4 4 4 4 kT kT G z g t g kT e e − − = = = =
( ) (^4 1 4 )
T T
z G z e z e z z − − − −
( ) (^4)
T
z z G z z e z −
e) La transformada Z de una función de transferencia G(s) junto con un retenedor de orden
cero se calcula sabiendo que la función de transferencia de éste es
( )
Ts e ZOH s s
− − =
y que Ts z = e
Con esto en consideración
( ) ( )
Ts
ZOH
e G s G s s
( )
( ) ( )
Ts
ZOH
G s (^) e G s G s s s
− = (^) − ^
( )
( ) ( ) (^1) ZOH
G s G s G s z s s
( )
( ) ( )
1 1 ZOH
G s G s z s
En el caso de nuestro ejemplo
( ) ( )
t t G s g t e e s s
− − = = = = =
( ) ( )
( )
ZOH G s z s s
−
Utilizando la tabla de la transformada Z:
( ) ( )
( )
( )
( )( )
( )
4 1 1 1 1 4 1
T
ZOH T
e z G s z z s s (^) z e z
− − − − − − −
( )
( )
( )
( )
( )
4 1 4 1
4 1 4 1
T T
ZOH T T
e z e z (^) z G s e z e z z
− − − −
− − − −
( )
4
4
T
ZOH T
e G s z e z
−
−
f) La transformada Z de G(s) junto con su retenedor de orden cero se calcula en Matlab con el
siguiente código
Con ello se obtiene la siguiente respuesta
Ts = 0.1; Gs = tf([4],[1 4]) Gz = c2d(Gs,Ts,’zoh’)
Transfer function: 4
s + 4
Transfer function:
z - 0.
Sampling time: 0.
( )
( ) ( )
1 1 ZOH
G s G s z s
En el caso de nuestro ejemplo
( ) ( ) (^2 )
G s L g t L 3 t 3L t 3 s s
( ) (^) ( )
1 3
ZOH G s z s
Utilizando la tabla de la transformada Z:
( ) (^) ( )
( )
( )
( )
2 1 1 1 1 3 13
ZOH
T z z G s z z s (^) z
− − − − −
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
(^2 1 1 2 1 1 )
1 2 12 2 2
ZOH
T z z T z z (^) z T z G s z z z^ z
− − − −
− −
( )
( ) 2
ZOH
z G s z z
e) La transformada Z de G(s) junto con su retenedor de orden cero se calcula en Matlab con el
siguiente código
Con ello se obtiene la siguiente respuesta
Ts = 0. 03 ; Gs = tf([ 3 ],[ 1 0 0]) Gz = c2d(Gs,Ts,’zoh’)
Transfer function: 3
s^
Transfer function: 0.00135 z + 0.
z^2 - 2 z + 1
Sampling time: 0.
Ejemplo 1. 8
Sea la función
( ) ( )
3 cos 5 t g t e t − =
a) Obtenga la función (^) g kT ( ).
b) Obtenga la gráfica de (^) g t ( )y la de (^) g kT ( )cuando el periodo de muestreo es T = 0. 1.
c) Obtenga la transformada Z de (^) g t ( )cuando el periodo de muestreo es T = 0. 1.
d) Obtenga la transformada Z de g t ( ), junto con un retenedor de orden cero, cuando el
periodo de muestreo es T = 0. 1.
e) Obtenga la transformada Z de (^) g t ( )en Matlab mediante el comando “c2d”.
a) La función (^) g kT ( )es:
( ) ( )
3 cos 5
kT g kT e kT
b) Las gráficas de (^) g t ( )y (^) g kT ( )son:
0 0.5 1 1.
-0.
-0.
-0.
-0.
0
1
Funciones Continua y Muestreada
Tiempo (s y kT)
g(t) y
g(kT)
Contínua Muestreada
c) Usando la tabla de la transformada Z, la discretización de g t ( )con T = 0. 1 es:
( ) ( ) ( ) ( )
3 cos 5
kT G z g t g kT e kT
− = = = ^ ^ (^)
( )
( )
( )
( )
( )
(^3 1 3 1 )
3 1 6 2 3 1 6 2 2
1 cos 5 1 cos 5
1 2 cos 5 1 2 cos 5
T T
T T T T
e z T e z T (^) z G z e z T e z e z T e z z
− − − −
− − − − − − − −
( )
( )
( )
2 3
2 3 6
cos 5
2 cos 5
T
T T
z e z T G z z e z T e
−
− −
( )
2
2
z z G z z z
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
1
1 1 (^2 2 )
ZOH G s z s
s z z s s
−
− −
( ) (^) ( )
( )
( ) ( )( ) (^) ( )
( )
1
1 1 (^2 2 )
−
− −
G s (^) ZOH z s
s z z s s
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
3 1 1 3 1 6 2
3 1 1 3 1 6 2
3 3 1 cos 5 1 34 34 1 2 cos 5
5 sen 5 1 34 1 2 cos 5
− − − − − − −
− − − − − − −
T
ZOH T T
T
T T
e z T G s z e z T e z
e z T z e z T e z
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
3 1 1 3 2
3 1 6 2
3 1 3 2
3 1 6 2
3 3 1 cos 5^ cos 5
34 34 1 2 cos 5
5 sen 5^ sen 5
34 1 2 cos 5
− − − − −
− − − −
− − − −
− − − −
T T
ZOH T T
T T
T T
e z T z e z T G s e z T e z
e z T e z T
e z T e z
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
3 1 1 3 2
3 1 6 2
3 1 3 2
3 1 6 2
3 1 cos 5^ cos 5 1 34 1 2 cos 5
5 sen 5^ sen 5
3 1 2 cos 5
− − − − −
− − − −
− − − −
− − − −
T T
ZOH T T
T T
T T
e z T z e z T G s e z T e z
e z T e z T
e z T e z
( )
( )
( )
( ) ( )
( ) (^ )^ ( ) (^ )
3 1 6 2
3 1 6 2
3 1 1 3 2
3 1 3 2
3 1 2 cos 5
34 1 2 cos 5
1 cos 5 cos 5
(^5) sen 5 5 sen 5 3 3
− − − −
− − − −
− − − − −
− − − −
T T
ZOH T^ T
T T
T T
e z T e z G s e z T e z
e z T z e z T
e z T e z T
( )
1 2 1 2 2
1 2 1 2 2
− − − −
− − − −
ZOH
z z z z z G s z z z z z
( ) (^2)
ZOH
z G s z z
e) La transformada Z de G(s) junto con su retenedor de orden cero se calcula en Matlab con el
siguiente código
Con ello se obtiene la siguiente respuesta
Ts = 0. 1 ; Gs = tf([1 3],[ 1 6 34]) Gz = c2d(Gs,Ts,’zoh’)
Transfer function: s + 3
s^2 + 6 s + 34
Transfer function: 0.0831 z - 0.
z^2 - 1.3 z + 0.
Sampling time: 0.
