¡Descarga convexidad y más Apuntes en PDF de Matemáticas solo en Docsity!
ECONOMÍA APLICADA III^1
TEMA 1: CONVEXIDAD.
1. CONJUNTOS CONVEXOS. DEFINICIÓN Y PROPIEDADES.
- CONVEXOS NOTABLES DE R n.
- FUNCIONES CONVEXAS Y FUNCIONES CÓNCAVAS.
- CARACTERIZACIÓN DE FUNCIONES CONVEXAS Y CÓNCAVAS.
En este primer tema se establecen los conceptos y resultados sobre convexidad de conjuntos y funciones que son necesarios para el análisis de los problemas de optimización que se estudian en temas sucesivos.
1. CONJUNTOS CONVEXOS
Definición: El segmento que une dos puntos x ,y∈ Rnes el conjunto
[ x ,y] ={z∈Rn^ / z= λ x+( 1 − λ )y, 0 ≤ λ ≤ 1 }
Definición: Un conjunto S ⊆ Rnes convexo si ∀ x ,y∈S se verifica
λx +( 1 −λ)y∈S,∀λ∈ [ 0 , 1 ].
Es decir, un conjunto es convexo si dados dos puntos cualesquiera del conjunto, el segmento que los une está contenido en el conjunto.
Ejemplo: Gráficamente se observa que el conjunto a) cumple la condición que se establece en la definición de conjunto convexo. El conjunto b) no la cumple, pues existen al menos dos puntos del conjunto tales que algunos de los puntos del segmento que los une no están en el conjunto.
a) Convexo b) No convexo
Propiedades:
- La intersección de conjuntos convexos es un conjunto convexo.
- El conjunto de soluciones de un sistema lineal de ecuaciones es un conjunto convexo.
- El conjunto de soluciones de un sistema lineal de inecuaciones es un conjunto convexo.
Definición: Sea S ⊆ Rnconvexo. x ∈ S es un punto extremo o vértice de S si no existen
x 1 , x 2 ∈ S,x 1 ≠x 2 ,tales que x= λ x 1 +( 1 − λ )x 2 , 0 < λ < 1
2 G. ADMINISTRACIÓN Y DIRECCIÓN DE EMPRESAS Curso 2013/
Es decir, un punto extremo de un conjunto convexo es aquel punto tal que no está sobre un segmento que une otros dos puntos del conjunto.
Ejemplo:
Gráficamente se observa que x 1 y x 3 son puntos extremos, x 2 y x 4 no lo son.
Un conjunto convexo puede no tener puntos extremos, o tener un número finito o infinito de ellos.
- CONVEXOS NOTABLES DE Rn
Definición: Sea a ∈ Rn^ ,a≠θ, un hiperplano de normal a es un conjunto de la forma H ={x∈Rn^ /atx= α }, α ∈R.
Ejemplo: La recta 2 x + y= 4 es un hiperplano de normal (^)
a.
Un hiperplano, H, determina dos subconjuntos de R nllamados semiespacios
cerrados: H +^ ={x∈Rn,atx≥ α}, H −={x∈Rn,atx≤ α},
abiertos: H 0 +^ ={x∈Rn,atx> α}, H 0 −={x∈Rn,atx< α}.
Los hiperplanos y los semiespacios son conjuntos convexos.
Definición: Un politopo es la intersección de un número finito de semiespacios cerrados. Un poliedro es un politopo acotado.
Ejemplo:
Poliedro Politopo
Los politopos son conjuntos convexos, al ser intersección de convexos.
x 2 x 3
x 1
x 4
· ·
4 G. ADMINISTRACIÓN Y DIRECCIÓN DE EMPRESAS Curso 2013/
Ejemplo:
4. CARACTERIZACIÓN DE FUNCIONES CONVEXAS Y CÓNCAVAS
Teorema: Sea f :S⊆ Rn^ →R, S convexo y abierto, f ∈ C^2 (S).
a) f es convexa en S ⇔ ∀x ∈S, Hf(x) representa una forma cuadrática definida positiva (D.P.) o semidefinida positiva (S.D.P.).
b) ∀x ∈S,Hf(x) representa una forma cuadrática D.P. ⇒ f es estrictamente convexa en S.
c) f es cóncava en S ⇔ ∀x ∈S, Hf(x) representa una forma cuadrática definida negativa (D.N.) o semidefinida negativa (S.D.N.).
d) ∀x ∈S,Hf(x) representa una forma cuadrática D.N. ⇒ f es estrictamente cóncava en S.
