Propuesta de ejercicios semana III
1) Sea 𝐴 = {(𝑥, 𝑦)∈ 𝑅∶ 0 ≤ 𝑥 ≤ 4, 0 ≤ 𝑦 ≤ 2}. Demostrar
analíticamente que A es un conjunto convexo
Ayuda: para ver si es convexo recordad que, si cogemos 2
puntos cualesquiera de A, P(𝑥, 𝑦) 𝑦 𝑄(𝑥, 𝑦) y el
segmento que los une es el conjunto
𝑆 = {(𝑥, 𝑦)∈ 𝑅∶(𝑥, 𝑦)=(1 − 𝜆)(𝑥, 𝑦)+
𝜆(𝑥, 𝑦), 𝜆 ∈ [0,1]}.
Si es convexo → 𝑆 ⊂ 𝐴
Lo que hay que demostrar es que si (x,y) cumple las
ecuaciones de S (porque pertenece a S) entonces también
cumple las ecuaciones de A (porque pertenece a A). Fijaos
que (𝑥, 𝑦) 𝑦 (𝑥, 𝑦) cumplen las ecuaciones de A porque
pertenecen a A.
Solución:
Veamos las condiciones que tenemos inicialmente, las que
son ciertas por la definición del problema:
Como P y Q pertenecen al conjunto A se tiene que cumplir
lo siguiente:
a) 𝑆𝑖 𝑃(𝑥, 𝑦)∈ 𝐴 → 0 ≤ 𝑥≤ 4, 0 ≤ 𝑦≤ 2
b) 𝑆𝑖 𝑄(𝑥, 𝑦)∈ 𝐴 → 0 ≤ 𝑥≤ 4, 0 ≤ 𝑦≤ 2
Como (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑆 se tiene que cumplir:
c) 𝑆𝑖 (𝑥, 𝑦)∈ 𝑆 → 𝑥 = (1 − 𝜆)𝑥+ 𝜆𝑥 , ∀ 𝜆 ∈ [0,1]
d) 𝑆𝑖 (𝑥, 𝑦)∈ 𝑆 → 𝑦 = (1 − 𝜆)𝑦+ 𝜆𝑦, ∀ 𝜆 ∈ [0,1]
