Convexidad: Propiedades y Teoremas, Apuntes de Matemáticas

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Apuntes de Matemáticas 2

ADE y Economía

Capítulo 3

Universitat d’Alacant

Begoña Subiza & Josep E. Peris Mètodes Quantitatius i Teoria Econòmica licensed under a Creative Commons Internacional License

combinación convexa de estos puntos a todo punto z ∈ R n^ que se puede expresar como

z = λx + μy λ , μ ∈ R λ ≥ 0, μ ≥ 0 λ + μ = 1

Nota 1 Se observa que las combinaciones convexas son un caso particular de las combinaciones no negativas que, a su vez, son un tipo de combinación lineal. Las combinaciones convexas pueden expre- sarse, de manera equivalente, de la forma

z = λx + (1 − λ ) y λ ∈ R 0 ≤ λ ≤ 1 esto es, λ ∈ [0, 1]

Gráficamente, como se observa en la figura 3.1, las combinaciones convexas de dos puntos se corres- ponden con los puntos del segmento que los une

[ x , y

]

z ∈ R n^ : z = λx + (1 − λ ) y ; λ ∈ [0, 1]

Cuando se hace λ = 0 en la expresión anterior, entonces z = y, con lo que se está en un extremo del segmento; al hacer λ = 1 queda z = x con lo que se trata del otro extremo del segmento. Cuando λ = 0 ′ 5 el punto z es justo el punto medio del segmento.

Figura 3.1: Combinación convexa de dos puntos en R^2

Ejemplo 1 Las combinaciones convexas de los puntos (2, 2) y (6, 4) (es decir, el segmento que une estos puntos; véase la figura 3.1) son:

[(2, 2), (6, 4)] = { λ (2, 2) + (1 − λ )(6, 4); λ ∈ [0, 1]} = {(6 − 4 λ , 4 − 2 λ ); λ ∈ [0, 1]}

Ejemplo 2 Las combinaciones convexas de los puntos (2, 2) y (5, 2) son:

[(2, 2), (5, 2)] = { λ (2, 2) + (1 − λ )(5, 2); λ ∈ [0, 1]} = {(5 − 3 λ , 2); λ ∈ [0, 1]}

Al ser la segunda componente siempre constante se trata de un segmento horizontal.

Nota 2 Para obtener gráficamente las combinaciones no negativas de dos puntos, basta unir estos pun- tos con el origen mediante rectas y quedarse con la zona determinada por estas semirrectas.

Figura 3.2: Combinación no negativa de dos puntos en R^2

Ejemplo 3 Las combinaciones lineales no negativas de los puntos (2, 2) y (6, 4) son:

K [(2, 2), (6, 4)] =

λ (2, 2) + μ (6, 4); λ ≥ 0, μ ≥ 0

(2 λ + 6 μ , 2 λ + 4 μ ); λ ≥ 0, μ ≥ 0

Gráficamente, como se observa en la figura 3.2, se corresponde con lo que se denomina el cono deter- minado por estos puntos.

Estos conceptos se pueden extender de manera inmediata para más de dos puntos.

Definición 2 Dados los puntos x 1 , x 2 ,... , xk ∈ R n^ se denomina:

combinación lineal de estos puntos a todo punto z ∈ R n^ que se puede expresar como

z = λ 1 x 1 + λ 2 x 2 +... + λk xk λi ∈ R cualesquiera

combinación lineal no negativa de estos puntos a todo punto z ∈ R n^ que se puede expresar como

z = λ 1 x 1 + λ 2 x 2 +... + λk xk λi ∈ R λi ≥ 0 ∀ i

combinación convexa de estos puntos a todo punto z ∈ R n^ que se puede expresar como

z = λ 1 x 1 + λ 2 x 2 +... + λk xk λi ∈ R λi ≥ 0 ∀ i ,

∑^ k

i = 1

λi = 1

Ejemplo 4 La combinación convexa de los puntos (1, 3) , (4, 4) y (5, 2) se corresponde con los puntos del triángulo que aparece en la figura 3.3. En general, las combinaciones convexas de k puntos serán un politopo (si está en el plano, se tratará de un polígono ). La figura 3.4 muestra un poliedro (cubo) en R^3 que resulta de la combinación convexa de ocho puntos.

2. Conjuntos convexos. Propiedades

Definición 3 Un subconjunto S ⊆ R n^ es convexo si para cualquier par de puntos del conjunto el seg- mento que los une está incluido en el conjunto. Formalmente,

S ⊆ R n^ es convexo si ∀ x , y ∈ S , λx + (1 − λ ) y ∈ S para cualquier λ ∈ [0, 1]

La idea geométrica es que se puede ir en línea recta entre dos puntos cualesquiera del conjunto, sin salirse de dicho conjunto.

Ejemplo 5 Obsérvese gráficamente si los subconjuntos de R^2 en las figuras 3.5 y 3.6 son convexos o no.

Figura 3.5: a) Conjunto no convexo b) Conjunto convexo

Figura 3.6: a) Conjunto no convexo b) Conjunto convexo

Ejemplo 6 ¿Es convexo el conjunto S =

( x , y ) ∈ R^2 : x − 2 y ≤ 1

? Su imagen gráfica es la que aparece en la figura 3.7 en la que se observa que efectivamente se trata de un conjunto convexo. Para verlo formalmente (utilizando la definición) se consideran dos puntos ( x , y ) , ( x ′, y ′) en el conjunto S y un escalar λ ∈ [0, 1] ; esto es, x − 2 y ≤ 1 x ′^ − 2 y ′^ ≤ 1 λ ∈ [0, 1]

Entonces, λ ( x , y ) + (1 − λ )( x ′, y ′) =

λx + (1 − λ ) x ′, λy + (1 − λ ) y ′

= ( x ′′, y ′′)

que debe averiguarse si pertenece al conjunto S (es decir, si cumple la condición que define al conjunto)

x ′′^ − 2 y ′′^ = λx + (1 − λ ) x ′^ − 2

λy + (1 − λ ) y ′

= λ

x − 2 y

• (1 − λ )

x ′^ − 2 y ′

≤ λ · 1 + (1 − λ ) · 1 = 1

Luego cumple la condición y el conjunto es convexo.

Figura 3.7: S =

( x , y ) ∈ R^2 : x − 2 y ≤ 1

es un conjunto convexo

Propiedades

1. La intersección de conjuntos convexos es un conjunto convexo.
2. La unión de conjuntos convexos en general no es un conjunto convexo.

Ejemplo 7 Dados los conjuntos S =

( x , y ) ∈ R^2 : x − 2 y ≤ 1

y T =

( x , y ) ∈ R^2 : x − y ≥ 0

se observa que S ∩ T es un conjunto convexo, mientras que S ∪ T no lo es (véase la figura 3.8).

Definición 4 De forma intuitiva, un punto de un conjunto convexo es un extremo (o vértice ) de dicho conjunto si no se encuentra en el interior de un segmento que une dos puntos del conjunto. Formal- mente, dado un conjunto convexo S, un punto v ∈ S se dice que es punto extremo o vértice si no existen x , y ∈ S, x 6 = y, λ ∈ (0, 1) de modo que v = λx + (1 − λ ) y.

x = 0 , y = 0 , que se cortan en el punto C = (0, 0).

x = 0 , 2 x + y = 5 , que se cortan en el punto (0, 5) que no está en el conjunto S.

y = 0 , 2 x + y = 5 , que se cortan en el punto D = (2′5, 0).

La figura 3.10 muestra el conjunto y los puntos extremos.

Figura 3.10: Los vértices en el conjunto S del ejemplo 9

3. Funciones cóncavas y convexas. Propiedades y generalizaciones

Definición 5 Sea S ⊆ R n^ un conjunto convexo. Una función f : S → R se dice que es:

convexa si ∀ x , y ∈ S , ∀ λ ∈ [0, 1] f ( λx + (1 − λ ) y ) ≤ λ f ( x ) + (1 − λ ) f ( y )

cóncava si ∀ x , y ∈ S , ∀ λ ∈ [0, 1] f ( λx + (1 − λ ) y ) ≥ λ f ( x ) + (1 − λ ) f ( y )

Nota 3 a) Las funciones lineales cumplen f ( λx + (1 − λ ) y ) = λ f ( x ) + (1 − λ ) f ( y ) , luego son cóncavas y convexas a la vez.

b) En general, como ocurre con las funciones de una variable, las funciones pueden tener zonas en las que son convexas y otras en las que son cóncavas.

c) Es importante señalar que existen funciones cóncavas y funciones convexas. Pero no ocurre lo mismo con los conjuntos: no existe el concepto de conjunto cóncavo. Los conjuntos serán convexos, o no convexos.

Definición 6 Sea S ⊆ R n^ un conjunto convexo. Una función f : S → R se dice que es:

estrictamente convexa si ∀ x , y ∈ S , x 6 = y ∀ λ ∈ (0, 1) , f ( λx + (1 − λ ) y ) < λ f ( x ) + (1 − λ ) f ( y )

estrictamente cóncava si ∀ x , y ∈ S , x 6 = y ∀ λ ∈ (0, 1) f ( λx + (1 − λ ) y ) > λ f ( x ) + (1 − λ ) f ( y )

La idea es que la gráfica de la función f no contenga tramos lineales.

Figura 3.11: Función convexa

Figura 3.12: Función cóncava

3.1. Hipografo, epigrafo y concavidad/convexidad de funciones

Definición 7 Sea S ⊆ R n^ un conjunto convexo. Dada una función f : S → R se denomina:

hipografo de f al conjunto (parte inferior de la gráfica)

Hip( f ) =

( x , y ) ∈ S × R : y ≤ f ( x )

epigrafo de f al conjunto (parte superior de la gráfica)

Epi( f ) =

( x , y ) ∈ S × R : y ≥ f ( x )

Figura 3.13: Hipografo y Epigrafo de una función de una variable

El siguiente resultado relaciona la concavidad/convexidad de una función con la convexidad, res- pectivamente, del hipografo y el epigrafo de la función.

Teorema 3 Sea S ⊆ R n^ un conjunto convexo. Una función f : S → R es:

I ) cóncava si, y solo si, Hip( f ) es un conjunto convexo.

II ) convexa si, y solo si, Epi( f ) es un conjunto convexo.

Demostración Se verá solo el primer apartado, ya que el otro es totalmente análogo. Para ello, en primer lugar se supone que la función es cóncava y se quiere demostrar que el conjunto Hip( f ) es un conjunto convexo. Sean ( x , y ), ( x ′, y ′) ∈ Hip( f ) y sea λ ∈ [0, 1]. Hay que probar que

λ ( x , y ) + (1 − λ )( x ′, y ′) =

λx + (1 − λ ) x ′, λy + (1 − λy ′

∈ Hip( f ),

es decir, f

λx + (1 − λ ) x ′

≥ λy + (1 − λ ) y ′.

Como la función f es cóncava, y los puntos están en Hip( f ) se cumple que

f

λx + (1 − λ ) x ′

≥ λ f ( x ) + (1 − λ ) f ( x ′) f ( x ) ≥ y f ( x ′) ≥ y ′

entonces, al ser λ ≥ 0, 1 − λ ≥ 0, se tiene

f

λx + (1 − λ ) x ′

≥ λ f ( x ) + (1 − λ ) f ( x ′) ≥ λy + (1 − λ ) y ′

Hay que probar ahora que si Hip( f ) es un conjunto convexo, entonces la función es cóncava. Sean x , x ′^ ∈ S , λ ∈ [0, 1]. Entonces, los puntos

x , f ( x )

x ′, f ( x ′)

están en Hip( f ). Al ser convexo, λ

x , f ( x )

• (1 − λ )

x ′, f ( x ′)

∈ Hip( f ), lo que significa ( λx + (1 − λ ) x ′, λ f ( x ) + (1 − λ ) f ( x ′)

∈ Hip( f ) ⇒ λ f ( x ) + (1 − λ ) f ( x ′) ≤ f

λx + (1 − λ ) x ′

luego la función es cóncava. 

Figura 3.14: Hipografo de una función cóncava y Epigrafo de una función convexa

Ejercicio 1 Demuestra el segundo apartado del teorema 3.

Nota 4 El resultado anterior es muy útil para demostrar la convexidad de conjuntos, siempre que es- tos se puedan poner como hipografos o epigrafos de funciones cóncavas o convexas, respectivamente (o como intersección de conjuntos de esta forma, aplicando después la propiedad que dice que la inter- sección de conjuntos convexos es un conjunto convexo).

Ejemplo 12 Prueba que el conjunto S =

( x , y ) ∈ R^2 : y ≥ x^2

es convexo.

Este conjunto es el epigrafo de la función f ( x ) = x^2 , que es convexa (es una función real cuya segunda derivada es positiva, f ′′( x ) = 2 > 0 ). Por tanto, aplicando el teorema 3 se trata de un conjunto convexo.

Nota 5 En el capítulo anterior se vio el concepto de conjunto de contorno (superior e inferior) que no hay que confundir con los conceptos de epigrafo e hipografo de una función. Si la función es de dos variables, f ( x , y ), los conjuntos de contorno superior e inferior son subconjuntos de R^2 , mientras que el epigrafo y el hipografo son subconjuntos de R^3

UC ( f ) =

( x , y ) ∈ R^2 : f ( x , y ) ≥ C

; LC ( f ) =

( x , y ) ∈ R^2 : f ( x , y ) ≤ C

Epi( f ) =

( x , y , z ) ∈ R^3 : z ≥ f ( x , y )

; Hip( f ) =

( x , y , z ) ∈ R^3 : z ≤ f ( x , y )

La diferencia entre estos conceptos se ve muy clara con funciones de una variable que se pueden repre- sentar gráficamente. El siguiente ejemplo ilustra este hecho.

Ejemplo 13 Dada la función f ( x ) = x^3 − x, el conjunto de contorno superior de nivel C = 0 serían todos los puntos x ∈ R de manera que f ( x ) ≥ 0 y con la desigualdad al contrario para el conjunto de contorno inferior. Si se observa la gráfica de esta función (figura 3.15), resulta claro que

U 0 ( f ) = [−1, 0] ∪ [1, +∞) L 0 ( f ) = (−∞, −1] ∪ [0, 1]

Figura 3.16: Gráfica de la función f ( x ) = x^3

3.2. Funciones cuasi-cóncavas y cuasi-convexas

Se definen ahora los conceptos de cuasi-convexidad y cuasi-concavidad de funciones en base a la convexidad de los conjuntos de contorno.

Definición 8 Sea S ⊆ R n^ un conjunto convexo. Una función f : S → R se dice que es:

cuasi-cóncava si para todo C el conjunto UC ( f ) =

x ∈ R n^ : f ( x ) ≥ C

es convexo.

cuasi-convexa si para todo C el conjunto LC ( f ) =

x ∈ R n^ : f ( x ) ≤ C

es convexo.

Ahora, el teorema 4 se puede enunciar como:

Toda función cóncava es cuasi-cóncava.

Toda función convexa es cuasi-convexa.

Pero como ya se ha visto, el recíproco no es cierto. La función de distribución normal N ( μ , σ ) (cuya gráfica se denomina coloquialmente Campana de Gauss , ver figura 3.17), muy utilizada en Estadística y Probabilidad, es otro ejemplo de función cuasi-cóncava que no es cóncava. Una definición alternativa que es más útil para comprobar en la práctica la cuasi-concavidad o cuasi-convexidad de funciones es la siguiente. Esta definición también permite introducir la cuasi- concavidad/cuasi-convexidad estricta.

Definición 9 Sea S ⊆ R n^ un conjunto convexo. Una función f : S → R se dice que es:

cuasi-cóncava si para todo x , x ′^ ∈ S y para todo escalar λ ∈ [0, 1],

f

λx + (1 − λ ) x ′

≥ m´ın

f ( x ), f ( x ′)

cuasi-convexa si para todo x , x ′^ ∈ S y para todo escalar λ ∈ [0, 1],

f

λx + (1 − λ ) x ′

≤ m´ax

f ( x ), f ( x ′)

Como con las funciones cóncavas y convexas, si las desigualdades son estrictas, entonces la fun- ción se dice que es estrictamente cuasi-cóncava o estrictamente cuasi-convexa.

Figura 3.17: Campana de Gauss: gráfica de la distribución normal N (0; 4)

Definición 10 Sea S ⊆ R n^ un conjunto convexo. Una función f : S → R se dice que es:

estrictamente cuasi-cóncava si para todo x , x ′^ ∈ S, x 6 = x ′ , y para todo escalar λ ∈ (0, 1),

f

λx + (1 − λ ) x ′

m´ın

f ( x ), f ( x ′)

estrictamente cuasi-convexa si para todo x , x ′^ ∈ S, x 6 = x ′ , y para todo escalar λ ∈ (0, 1),

f

λx + (1 − λ ) x ′

< m´ax

f ( x ), f ( x ′)

La Campana de Gauss (figura 3.17) es la gráfica de una función estrictamente cuasi-cóncava. Las funciones cuasi-cóncavas/cuasi-convexas tienen propiedades parecidas a las de las funciones cón- cavas/convexas.

Teorema 5 Sea S ⊆ R n^ un conjunto convexo y sea una función f : S → R_. Entonces,_

1. Si la función f es cuasi-cóncava y h ( t ) es una función de una variable estrictamente creciente, entonces la función ϕ ( x ) = h ( f ( x )) _es cuasi-cóncava.

2. Si la función f es cuasi-cóncava y h_ ( t ) es una función de una variable estrictamente decreciente, entonces la función ϕ ( x ) = h ( f ( x )) _es cuasi-convexa.
3. Si la función f es cuasi-convexa y h_ ( t ) es una función de una variable estrictamente creciente, entonces la función ϕ ( x ) = h ( f ( x )) _es cuasi-convexa.
4. Si la función f es cuasi-convexa y h_ ( t ) es una función de una variable estrictamente decreciente, entonces la función ϕ ( x ) = h ( f ( x )) es cuasi-cóncava.

Ejemplo 15 La función f ( x ) = − 2 x^2 es cuasi-cóncava (por ser cóncava, ya que su segunda derivada es siempre negativa, f ′′( x ) = − 4 ) y la función h ( t ) = et^ es creciente. Por tanto, la función compuesta ϕ ( x ) = h ( f ( x )) = e −^2 x

2 es cuasi-cóncava. La segunda derivada de esta función, ϕ ′′( x ) = (− 4 + 16 x^2 ) e −^2 x

2 , es positiva en el conjunto

2 ,^ +∞

, y negativa en el intervalo

, luego no es cóncava en R_. Su gráfica es similar a la campana de Gauss._

Figura 3.19: Plano tangente a) función cóncava b) función convexa

se deduce que para saber si se cumplen las condiciones del teorema 6 basta con identificar el signo de ( x − a )′^ H f ( z )( x − a ), que es una forma cuadrática de matriz H f ( z ). De este modo se deduce el siguiente teorema que es el que se utiliza en la práctica para saber si una función de varias variables es cóncava o convexa.

Teorema 7 Sea S ⊆ R n^ un conjunto convexo. Una función f : S → R , que tiene parciales primeras y segundas continuas, es:

I ) cóncava si, y solo si, para todo x ∈ S, H f ( x ) tiene asociada una forma cuadrática semidefinida negativa o definida negativa.

II ) convexa si, y solo si, para todo x ∈ S, H f ( x ) tiene asociada una forma cuadrática semidefinida positiva o definida positiva.

III ) estrictamente cóncava si, y solo si, para todo x ∈ S, H f ( x ) tiene asociada una forma cuadrática definida negativa.

IV ) estrictamente convexa si, y solo si, para todo x ∈ S, H f ( x ) tiene asociada una forma cuadrática definida positiva.

Nota 6 Estas condiciones son (básicamente) las mismas que se usan para identificar funciones cónca- vas/convexas de una variable: cóncava cuando la segunda derivada es menor o igual a cero (definida negativa); convexa cuando la segunda derivada es mayor o igual a cero (definida positiva).

Ejemplo 16 Analiza la concavidad/convexidad de las siguientes funciones.

a) f ( x , y ) = 2 x^2 + 2 x y + 5 y^2

∂ f ∂x

= 4 x + 2 y

∂ f ∂y

= 2 x + 10 y

∂^2 f ∂x^2

∂^2 f ∂y^2

∂^2 f ∂x∂y

H f ( x , y ) =

La forma cuadrática es definida positiva ya que D 1 = 4 > 0 , D 2 = 36 > 0. Por tanto, la función es estrictamente convexa.

b) f ( x , y , z ) = − 2 x^2 + 2 x y − 5 y^2 − xz − z^2

∂ f ∂x

= − 4 x + 2 y − z

∂ f ∂y

= 2 x − 10 y

∂ f ∂z

= − x − 2 z

∂^2 f ∂x^2

∂^2 f ∂y^2

∂^2 f ∂z^2

∂^2 f ∂x∂y

∂^2 f ∂x∂z

∂^2 f ∂y∂z

H f ( x , y , z ) =

D 1 = − 4 < 0 , D 2 = 36 > 0 , D 3 = − 62 < 0 , luego la forma cuadrática es definida negativa. Por tanto, la función es estrictamente cóncava.

c) f ( x , y ) = x^4 + 2 x^2 y^2

∂ f ∂x

= 4 x^3 + 4 x y^2

∂ f ∂y

= 4 x^2 y

∂^2 f ∂x^2

= 12 x^2 + 4 y^2

∂^2 f ∂y^2

= 4 x^2

∂^2 f ∂x∂y

= 8 x y

H f ( x , y ) =

12 x^2 + 4 y^2 8 x y 8 x y 4 x^2

D 1 = 12 x^2 + 4 y^2 ≥ 0 , D 2 = 48 x^4 − 48 x^2 y^2 = 48 x^2 ( x^2 − y^2 ) que a veces es positivo (por ejemplo, en el punto (2, 1) ) y a veces negativo (por ejemplo, en el punto (1, 2) ). La forma cuadrática es entonces indefinida. Por tanto, la función no es, en general, ni cóncava, ni convexa.

De igual manera que las funciones cóncavas/convexas se pueden identificar fácilmente con la hessiana de la función, hay también un método similar para las funciones cuasi-cóncavas/cuasi- convexas.

Teorema 8 Dada una función con dos variables f ( x , y ) que tiene parciales segundas continuas se con- sideran los determinantes

Q 1 = det

∂ f ∂x

∂ f ∂x

∂^2 f ∂x^2

Q 2 = det

∂ f ∂x

∂ f ∂y

∂ f ∂x

∂^2 f ∂x^2

∂^2 f ∂x∂y

∂ f ∂y

∂^2 f ∂x∂y

∂^2 f ∂y^2

Entonces:

1. Si Q 1 < 0, Q 2 > 0, la función es estrictamente cuasi-cóncava _(luego es cuasi-cóncava)

2. Si Q_ 1 < 0, Q 2 < 0, la función es estrictamente cuasi-convexa (luego es cuasi-convexa)

Nota 7 Estas condiciones son solo suficientes. Si no se cumplen, hay que usar la definición para com- probar si una función es cuasi-cóncava o cuasi-convexa.

Ejemplo 17 Como aplicación del resultado anterior, se puede ver que una función de producción de ti- po Cobb-Douglas es siempre cuasi-cóncava (de hecho, con rendimientos constantes o decrecientes a es- cala es cóncava, mientras que si tiene rendimientos crecientes a escala es simplemente cuasi-cóncava). Las derivadas parciales primera y segunda de una función Cobb-Douglas f ( x , y ) = xα^ yβ, α , β > 0 , son :