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Tema IV. Estadística Descriptiva
Bivariable III
Introducción a los modelos de correlación y
regresión lineal para variables de intervalo
Correlación
Bibliografía Básica: GARCIA FERRANDO, M. (2017): Socioestadística. Introducción a la estadística en sociología. Madrid, Alianza editorial (Páginas 226-234).
1. Planteamiento General
2. Correlación lineal
2.1. Concepto de correlación
2.2. Diagramas de dispersión
2.3. Ejercicios diagramas de dispersión
3. Coeficiente de correlación r de Pearson
3.1. Cálculo del coeficiente. Fórmula
3.2. Interpretación del coeficiente
3.3. Ejercicios calculo r de Pearson
Sumario
Hemos visto como organizar, cuantificar y analizar datos
aportados por observaciones de 2 variables (nominales y
ordinales) en el marco de la estadística descriptiva.
Ahora nos centraremos en los conceptos de:
o Correlación: en qué medida se relacionan 2 variables intervalo: coeficiente de correlación de Pearson.
o Regresión lineal: calcular/dibujar la recta de mejor ajuste, que nos permitirá realizar predicciones, a partir de datos de una tabla. Ecuación de regresión lineal
1. Planteamiento general
Comprender la diferencia entre los objetivos del análisis
de correlación lineal y del análisis de regresión:
- Correlación : conocer fuerza y dirección de una
asociación.
- Regresión : predecir cómo se distribuirán los valores
en una variable a partir del conocimiento que se tiene
de la distribución de los valores de la otra.
Correlación y regresión lineales:
punto de partida para abordar los temas de la inferencia
estadística.
1. Planteamiento general
2. Correlación lineal
2.1. Concepto
Componentes fundamentales de una relación entre 2 variables de intervalo son:
La Fuerza El Sentido La Forma
Fuerza de la relación: grado en que los pares de
observaciones quedan representados en una línea. Si la nube de observaciones (puntos) es estrecha y alargada, una línea recta representará adecuadamente a la nube de puntos y a la relación y por tanto ésta será fuerte.
Sentido de la relación: se refiere a cómo varían los valores de
Y con respecto a X.
o Si al crecer valores X lo hacen los de Y = relación + o directa.
o Si al aumentar X , disminuye Y , la relación será - o inversa.
Forma de la relación: establece el tipo de línea a emplear para
definir el mejor ajuste. Dos tipos: o línea recta o Una curva
2. Correlación lineal
2.1. Concepto
Muestra número de ventas ( y ) por 15 vendedores de una empresa y el nº de años de experiencia que tiene cada vendedor ( x ).
2. Correlación lineal
2.1. Concepto
¿Cómo comprobar si existe relación entre X e Y?
Gráficamente (diagrama de dispersión) podemos observar si están correlacionadas y cómo es esa correlación.
Más adelante, veremos cómo el coeficiente de Pearson nos indicará el grado de relación entre ellas.
Trasladados los puntos para observar la relación entre estas variables
2. Correlación lineal
2.1. Concepto
Este diagrama indica : a medida que los valores X aumentan, tb. lo hacen los de Y.
Además, vemos que los puntos se agrupan a lo largo de una línea recta.
Por ello decimos que hay una relación lineal entre las variables X e Y
2. Correlación lineal
2.2. Diagramas de dispersión
Nivel de estudios
Ingresos anuales
Dispersión de estos puntos (pares ordenados) tiene las siguientes formas generales :
Correlación lineal negativa : Si observamos que los valores de X aumentan mientras que los valores de Y decrecen.
p.e. : al correlacionar el nº de accidentes de trabajo acaecidos en un periodo de tiempo, con el nº de dispositivos de seguridad existentes en las instalaciones de una fábrica.
A mayor nº de dispositivos de seguridad, menor nº de accidentes de trabajo.
Los puntos se distribuyen de forma que se aproximan a la línea recta. Valor de r se encontrará próximo a 1 , aunque con signo negativo, ya que es negativa la relación entre las variables.
2. Correlación lineal
2.2. Diagramas de dispersión
Correlación Lineal Positiva: Cuando los puntos se localizan de manera que se vea que si los valores de X aumentan, los valores de Y tb. aumentan.
p.e : al correlacionar el nivel de estudios e ingresos anuales.
En este caso a mayor nivel de estudios , mayor nivel de ingresos anuales.
2. Correlación lineal
2.2. Diagramas de dispersión
Ingresos anuales
Nivel de estudios
Cuando observamos que la relación no es lineal , las variables presentan una relación no lineal.
P.e.: al correlacionar la cantidad de lluvia caída y el rendimiento de ciertos productos agrícolas, que son afectados desfavorablemente por excesiva sequía, alta humedad del suelo, se tiene una correlación curvilínea.
r =0, se refiere tan sólo a la ausencia de relación lineal , pero no de relación.
2. Correlación lineal
2.2. Diagramas de dispersión
Ejercicio 1 : Departamento de Ventas de una empresa realiza un análisis comparativo entre el volumen de pedidos conseguidos y el nº de visitas efectuadas por sus 10 vendedores en un periodo de tiempo.
Todos trabajan en zonas similares, en cuanto al nº de clientes y al potencial de compra de dichos clientes. Tabla: resultados de la comparación
2. Correlación lineal
2.2. Diagramas de dispersión
- Considerar nº de visitas como VI ( X ) y el monto de pedidos como VD ( Y ).
- Construir diagrama de dispersión e inferir si existe algún tipo de correlación
Solución : La tabla de valores nos proporciona los pares para localizarlos en los ejes, como se muestra en la siguiente gráfica.
El diagrama de dispersión indica que existe una correlación lineal positiva.
2. Correlación lineal
2.2. Diagramas de dispersión
Ejercicio 2 : Al efectuarse un estudio sobre la marca de un producto se encontró que 50 personas habían usado con anterioridad dicha marca y la habían cambiado por otra.
La relación entre el tiempo que habían usado la marca , antes de sustituirla por otra, y el nº de ex-usuarios en cada caso, fue:
2. Correlación lineal
2.2. Diagramas de dispersión
Construir la gráfica correspondiente e indicar qué tipo de correlación tiene.
2. Correlación lineal
2.2. Diagramas de dispersión
La tabla facilita la localización de los puntos en los ejes.
Existe correlación lineal negativa.
Vemos pues la facilidad con que se construye este tipo de diagramas y se reconoce el tipo de correlación que existe entre las variables.
Visto como construir diagramas de dispersión e identificar cuándo hay correlación (positiva y negativa), podemos pasar al cálculo
del Coeficiente de Correlación r de Pearson.
El más popular entre los diversos coeficientes existentes.
Para su aplicación es indispensable que la correlación sea lineal.
Se simboliza con r.
3. Coeficiente de correlación r de Pearson
3.1 Cálculo del coeficiente
Y es el resultado de dividir :
- Suma de los productos de las desviaciones de cada puntuación (X,Y) con respecto a sus medias ( covarianza de X e Y )
- Dividido por el producto de las desviaciones estándar de ambas variables.
Su resultado es un valor que fluctúa entre –1 (correlación perfecta de sentido negativo) y +1 (correlación perfecta de sentido positivo).
N = nº de casos.
3. Coeficiente de correlación r de Pearson
3.1 Cálculo del coeficiente
Cuanto más cercanos a 0 sean los valores
mayor debilidad de la relación o incluso ausencia de correlación.
Ejercicio 1 : La siguiente tabla muestra los datos registrados en una muestra aleatoria de 10 escuelas para niños superdotados.
La razón alumno/maestro es (X) y los estudiantes que abandonan antes de completar el curso es (Y).
Calcular el Coeficiente de Correlación r de Pearson:
IMPORTANTE: Para hacer el cálculo directo del coeficiente r de Pearson es conveniente desarrollar una tabla con los resultados de los componentes del numerador/denominador de la fórmula, para posteriormente sustituirlos en la fórmula.
3. Coeficiente de correlación r de Pearson
3.1 Cálculo del coeficiente
- (1) y (2) : puntuaciones originales
- (3) : cuadrados de las puntuaciones X
- (4) : cuadrados de las puntuaciones Y
- (5) : producto de cada X por cada Y 3. Coeficiente de correlación r de Pearson
3.1 Cálculo del coeficiente
0
Lo anterior significa que:
o entre 0 y +1 cabe toda una gama de correlaciones positivas, que serán tanto más directamente proporcionales, cuanto más se acerquen a +.
o entre –1 y 0 cabe toda una gama de correlaciones negativas, que serán tanto más inversamente proporcionales, cuanto más se acerquen a -.
o Cuanto más cerca de cero, indican menor correlación.
3. Coeficiente de correlación r de Pearson
3.2. Interpretación
3. Coeficiente de correlación r de Pearson
3.2. Interpretación
r r^2
0,90 0, 0,80 0, 0,70 0, 0,60 0, 0,50 0, 0,40 0, 0,30 0, 0,20 0, 0,10 0,
r : Medida simétrica RPE del grado de correlación
r^2 = RPE cometido al predecir los valores para la VD a partir de la ecuación de regresión. Ajustada por mínimos cuadrados.
proporción de la variación (varianza) en una variable que queda explicada por su asociación lineal con otra.
p.e.: r =0,55= (0,55)^2 =0,3025 (sólo estamos explicando el 30% de la varianza).
Para que se produzca una reducción importante del porcentaje de variación explicada, el valor de r ha de ser superior al 0,
Ejercicio 2 : Retomemos los valores utilizados en el ejemplo de las visitas realizadas y los pedidos hechos por 10 vendedores de un departamento de Ventas:
3. Coeficiente de correlación r de Pearson
3.3. Ejercicios
Calcular el coeficiente r de Pearson
- Suma de las visitas realizadas: ΣX=2.
- Suma de los pedidos hechos: ΣY = 104
- Suma del producto de (X) por (Y): ΣXY = 23.546,
- Suma de los cuadrados de (X): ΣX^2 = 46.
- La suma de los cuadrados de (Y) es: ΣY^2 = 1.217,
Ahora procedemos a sustituir en la fórmula del coeficiente de correlación de Pearson, r:
Solución : Para facilitar este cálculo, se puede elaborar una tabla para mostrar los totales, la cual está a continuación de la tabla de datos, como observas
3. Coeficiente de correlación r de Pearson
