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Teorema de Fortescue.
El teorema de Fortescue o teorema de las componentes simétricas fue presentado por
primera vez en 1918 en la AIEE y titulado " Method of Symmetrical Coordinates Applied to
the Solution of Polyphase Networks ". Se utiliza para simplificar el análisis de los sistemas
trifásicos desequilibrados, y demuestra que, de forma general, un sistema de n fases
desbalanceado puede ser descrito por la suma de n sistemas equilibrados, denominados
componentes simétricas, aplicando el principio de superposición.
En nuestro caso, un sistema trifásico desequilibrado puede descomponerse en tres sistemas equilibrados que denominaremos:
- componentes de secuencia directa o positiva.
- componentes de secuencia inversa o negativa.
- componentes de secuencia homopolar o cero.
Por tanto tenemos que
V (^) a =V (^) a0 +V (^) a1 +V (^) a V (^) b =V (^) b0 +V (^) b1 +V (^) b V (^) c=V (^) c0 +V (^) c1 +V (^) c
Va
directa
Va
V (^) c
V (^) b
V (^) c
V (^) b
inversa homopolar
Va
V (^) b
V (^) c
V (^) b
V (^) c0V (^) b0Va
Va
Va
V (^) c
Vb
V (^) c
V (^) b
Va
V (^) b
V (^) c
Va
V (^) b
V (^) c
Para simplificar nuestro trabajo vamos a introducir el operador a=^1 ∣ 120 que es similar al
operador i=^1 ∣ 90. Alguna relaciones que tenemos con este operador son:
a^2 = (^1) ∣ 240 a^3 = (^1) ∣ 360 = (^1 1) +a+a^2 = 0
Teníamos que
V (^) a=V (^) a0 + V (^) a1 + V (^) a V (^) b=V (^) b0 + V (^) b1 + V (^) b V (^) c=V (^) c0 + V (^) c1 + V (^) c
V (^) a =V (^) a0 + V (^) a1 + V (^) a V (^) b =V (^) a0 +a^2 V (^) a1 +a V (^) a V (^) c=V (^) a0 +a V (^) a1 +a^2 V (^) a
y que puesto en forma matricial queda [
V (^) a V (^) b V (^) c^ ]
[
1 a^2 a 1 a a^2 ] [
V (^) a V (^) a V (^) a2^ ]
Llamaremos A= [
1 a^2 a 1 a a^2 ]^
y entonces A−^1 =
(^3) [
1 a a^2 1 a^2 a ]^
con lo que queda
[
V (^) a V (^) b V (^) c ]
= A
[
V (^) a V (^) a V (^) a2]^
y multiplicando por A -1^ por la izquierda en ambos lados de la ecuación
A−^1
[
V (^) a V (^) b V (^) c ]
= A−^1 A
[
V (^) a V (^) a V (^) a2]^ [
V (^) a V (^) a V (^) a2]
= A−^1
[
V (^) a V (^) b V (^) c ]^ [
V (^) a V (^) a V (^) a2]
(^3) [
1 a a^2 1 a^2 a ] [
V (^) a V (^) b V (^) c ]
obtenemos cómo descomponer tres vectores asimétricos en sus componentes simétricas:
V (^) a0 =
(V (^) a+ V (^) b + V (^) c)
V (^) a1 =
(V (^) a+ aV (^) b+a^2 V (^) c )
V (^) a2 = 1 3
(V (^) a+ a^2 V (^) b +a V (^) c )
Va
directa
Va
V (^) c
V (^) b
V (^) c
V (^) b inversa homopolar
a 2
V (^) c0V (^) b0Va
a
a 2
a
quedando: 3 a a − 1
I (^) ab1+ I (^) a2= ( 1 −a ) I (^) ab1+ ( 1 −a 2 ) I (^) ab
I (^) a2=
(^1 −a) (a−^1 ) I^ ab1−^3 a I^ ab
a− 1
( a− 1 −a^2 + a− 3 a) I (^) ab a− 1
I (^) a2= ( 1 −a^2 ) I (^) ab2= (^) √ (^3) ∣ 30 I (^) ab2 I^ ab2=(^1 /^ √^3 )∣− 30 I^ a
Relación entre tensiones compuestas y simples.
Ya sabemos que:
V (^) ab=V (^) ab0 + V (^) ab1 + V (^) ab V (^) bc=V (^) ab0 + a^2 V (^) ab1 + a V (^) ab V (^) ca=V (^) ab0 + a V (^) ab1 + a^2 V (^) ab
y que
V (^) an=V (^) an0 + V (^) an1 + V (^) an V (^) bn=V (^) an0 +a^2 V (^) an1 +a V (^) an V (^) cn=V (^) an0 +a V (^) an1 +a 2 V (^) an
del análisis de las mallas que presenta el circuito de la figura obtenemos que:
V (^) ab=V (^) an−V (^) bn V (^) bc=V (^) bn−V (^) cn V (^) ca=V (^) cn−V (^) an
de estas 3 ecuaciones vamos a utilizar la 1ª y la 3ª pasándolas a sus
componentes simétricas.
V (^) ab =V (^) an−V (^) bn V (^) ab0 + V (^) ab1+ V (^) ab2=( V (^) an0+ V (^) an1+ V (^) an2 )− (^) (V (^) an0+ a^2 V (^) an1+ a V (^) an2)
V (^) ca=V (^) cn−V (^) an V (^) ab0 + a V (^) ab1+ a^2 V (^) ab2= (^) (V (^) an0+ a V (^) an1+ a^2 V (^) an2) −( V (^) an0+ V (^) an1+ V (^) an2 )
como V (^) ab0 =
3 (
V (^) ab+ V (^) bc+ V (^) ca) = 0 entonces las dos ecuaciones anteriores quedan:
V (^) ab1+ V (^) ab2= ( 1 −a^2 ) V (^) an1 + (^) ( 1 −a (^) )V (^) an2 ( 1 ) a V (^) ab1+ a^2 V (^) ab2= (^) ( a− (^1) )V (^) an1 + (a^2 − 1 ) V (^) an2 ( 2 )
a la (1) la multiplicamos ahora por -a 2
n
Z (^) Y Z^ Y
Z (^) Y
Vab
a
b
c
Van
I (^) a
−a^2 V (^) ab1−a^2 V (^) ab2=( −a^2 + a^4 ) V (^) an1 + (−a^2 + a^3 ) V (^) an a V (^) ab1+ a^2 V (^) ab2= (^) (a− (^1) )V (^) an1 + ( a^2 − 1 ) V (^) an
y si sumamos las dos
nos queda: (a −a^2 )V (^) ab1=( a− 1 −a^2 + a^4 ) V (^) an1+ ( a^2 − 1 −a^2 + a^3 ) V (^) an2 que
simplificando (^) (a −a^2 )V (^) ab1=3a V (^) an1 V (^) ab1=
1 −a
V (^) an1 V (^) ab1=√ (^3) ∣ 30 V (^) an
Ahora sustituimos el resultado obtenido V^ ab1=^
1 −a
V (^) an1 en la ecuación (1).
quedando:
1 −a
V (^) an1+ V (^) ab2= ( 1 −a^2 )V (^) an1+ ( 1 −a )V (^) an
V (^) ab2=
( 1 −a^2 ) ( 1 −a)V (^) an1− 3 V (^) an 1 −a
+ ( 1 −a) V an2=
( 1 −a^2 −a+ a^3 − 3 )V (^) an 1 −a
+ ( 1 −a) V an
V ab2= ( 1 −a) V an2= √ 3 ∣− 30 V an
Potencia en componentes simétricas.
La potencia trifásica en la figura anterior sería: S 3 Φ =V^ an I^ a^ ✶+^ V^ bn I^ b^ ✶+^ V^ cn I^ c^ ✶
que puesto en forma matricial queda S 3 Φ =^ [V^ an V^ bn V^ cn ]
[
I (^) a I (^) b
I c ]^
✶
=
[
V (^) an V (^) bn
V cn ]
T
[
I (^) a I (^) b
I c ]^
✶
y si sustituimos por sus componentes simétricas queda:
S 3 Φ =
[
A
[
V (^) an V (^) an
V an2]]
T
[
A
[
I (^) a I (^) a
I a2]]^
✶
=
[
V (^) an V (^) an
V an2 ]
T
AT^ A✶
[
I (^) a I (^) a
I a2 ]
✶
ya que ( X Y )T^ =Y T^ X T
El resultado de (^) AT^ A✶^ = 3 I donde I es la matriz identidad. Por lo que:
S 3 Φ = 3
[
V (^) an V (^) an
V an2^ ]
T
[
I (^) a I (^) a
I a2^ ]^
✶
=3Van0 I (^) a0^ ✶^ + 3Van1 I (^) a1^ ✶^ + 3 V (^) an2 I (^) a2^ ✶
o en forma de sistema de ecuaciones:
V (^) a0= (Z (^) Y + 3Zn) I (^) a0= Z 0 I (^) a V (^) a1= Z (^) Y I (^) a1= Z 1 I (^) a V (^) a2= Z (^) Y I (^) a2= Z 2 I (^) a
Circuitos de secuencia de impedancias. Carga en triángulo.
V (^) ab =Z (^) ∆ I (^) ab V (^) bc=Z (^) ∆ I (^) bc V (^) ca=Z (^) ∆ I (^) ca
Que en forma matricial [
V (^) ab V (^) bc V (^) ca]
[
Z ∆ 0 0
0 Z ∆ 0
0 0 Z (^) ∆] [
I (^) ab I (^) bc I (^) ca]
Ahora sustituimos por sus componentes simétricas quedando:
A
[
V (^) ab V (^) ab V (^) ab2^ ]
[
Z ∆ 0 0
0 Z ∆ 0
0 0 Z (^) ∆]^
A
[
I (^) ab I (^) ab I (^) ab2^ ]^
que multiplicamos a su izquierda por A -
Z∆
Vab
a
b
c
I (^) a
I (^) b
I (^) c
Z∆
Z∆
I (^) ab
Ibc
I (^) ca
Va
a I^ a0 n
3Z (^) n
ZY
Va
a I^ a1 Z 1 =Z^ Y n
Va
a I^ a2 Z^2 =ZY n
a I^ a0=0^ ZY n
Si no estuviera el Va0=0 neutro “aterrizado”
Z 0 =Z (^) Y+3Zn
A−^1 A
[
V (^) ab V (^) ab V (^) ab2]
= Z ∆ I A−^1 A
[
I (^) ab I (^) ab I (^) ab2]^ [
V (^) ab V (^) ab V (^) ab2]
= Z ∆
[
I (^) ab I (^) ab I (^) ab2 ]
Sustituimos por las relaciones entre tensiones y corrientes compuestas con sus
correspondientes valores simples: [
√^3 ∣ 30 V^ a
√^3 ∣− 30 V^ a2 ]
= Z ∆
[
( 1 / √ 3 )∣ 30 I a
( 1 / (^) √ 3 )∣− 30 I (^) a2]
√^3
[
(^1) ∣− 30 ] [^
V (^) a V (^) a2]
= Z ∆ ( 1 / √ 3 )
[
(^1) ∣− 30 ] [^
I (^) a I (^) a2]^ [^
V (^) a V (^) a2]^
= Z∆
(^3) [
I (^) a I (^) a2]
Circuitos de secuencia de impedancias. Generador aterrizado con una impedancia.
Ean, E (^) bn, y E (^) cn los definimos como de secuencia positiva por lo que
E (^) bn=a^2 E (^) an E (^) cn=a E (^) an
Va
a I^ a1 Z^1 =Z∆/3 n
Va
a I^ a0=0 n a^ I^ a2 Z^2 =Z∆/3 n
Va0=
Z∆
n
R+jwL
Z (^) n
a
c
Van
I (^) a
V (^) n
I (^) b
I (^) c
I (^) n
E (^) an
+
b
E (^) cn E (^) bn
+ +
R+jwL R+jwL
Secuencia directa:
Secuencia inversa:
Secuencia homopolar:
n
a
c
I (^) a
I (^) b
I (^) c
E (^) an
+
b
E (^) cn E (^) bn
+ +
Z (^) g
Z (^) g1 Z^ g1 n
E (^) an
+
Z (^) g
I (^) a Va1=Van
+
-
n
a
c
I (^) a
I (^) b
I (^) c
b
Z (^) g
Z (^) g2 Z^ g2 n
Z (^) g
I (^) a Va2=Van
+
-
n
a
c
I (^) a
I (^) b
I (^) c
b
Zg
Z (^) g0 Zg
n
Zg
I (^) a Va
+
-
Z (^) n 3I (^) a
3Z (^) n Z 0 = 3Z (^) n+ Zg
Circuitos de secuencia de impedancias. Transformador estrella-estrella.
Por ser un transformador se cumplirá que:
V AN
V (^) an
N 1
N 2
I A
I (^) a
N 2
N 1
V AN =
N 1
N 2
V (^) an
I A=
N 2
N 1
I (^) a
I A=
N 2
N 1
I (^) a → I (^) A+ I (^) B+ I (^) C =
N 2
N 1
( I (^) a+ I (^) b+ I (^) c) → 3IA0 =
N 2
N 1
3Ia0 → I (^) a0=
N 1
N 2
I A
Según se aprecia en la última figura:
V A=V AN +V N
V (^) a=V (^) an +V (^) n
→ V^ AN^ =V^ A−V^ N
V (^) an=V (^) a −V (^) n
y como
V AN =
N 1
N 2
V (^) an → V (^) A −V (^) N =
N 1
N 2
(V (^) a−V (^) n) →
→ (V A0 +V A1 +V A2 )−3IA0 Z N =
N 1
N 2
(V (^) a0 +V (^) a1+V (^) a2+ 3Ia0 Z (^) n) (^) en donde sustituyo a I (^) a
N
I A=IA0 +IA1 +IA
Z N
3I A
n Z (^) n
3I (^) a
I B=I B0+I B1+IB
I C=IC0+I C1+I C
N 1 :N 2
Ia =Ia0 +Ia1+I (^) a
I (^) b =Ib0+I (^) b1 +I (^) b
I (^) c=I (^) c0 +I (^) c1+Ic
N
I A=I A0+I A1+I A
Z N
3I (^) A0 n Z (^) n
3I (^) a
N 1 :N 2 I
a=Ia0+I^ a1 +Ia
VA
VAN
Va
Van
V (^) N V (^) n
Por ser un transformador se cumplirá que:
V AB
V (^) ab
N 1
N 2
V AB=
N 1
N 2
V (^) ab donde
sustituyendo por sus componentes simétricas: V^ AB0 +V^ AB1+V^ AB2=^
N 1
N 2
(V (^) ab0+V (^) ab1+V (^) ab2)
Al ser conexiones en triángulo tanto el primario y como el secundario, se cumplirá que en
cada lado la suma fasorial de los voltajes de linea es cero y por tanto las tensiones
homopolares serán nulas V^ AB0=V^ ab0=^0 quedando la ecuación anterior como:
V AB1+V AB2=
N 1
N 2
(V (^) ab1+V (^) ab2) (^) e igualando términos
V AB1 =
N 1
N 2 V^ ab
V (^) AB2 =
N 1
N 2
V (^) ab
en donde podremos
aplicar las relaciones tensión compuesta-simple que ya conocemos
V ab1= √ 3 ∣ 30 V an
V ab2= √ 3 ∣− 30 V an
quedando
√ 3 ∣ 30 V AN1 =
N 1
N 2
√ 3 ∣ 30 V an
√^3 ∣− 30 V^ AN2 =^
N 1
N 2
√^3 ∣− 30 V^ an
V AN1=
N 1
N 2
V (^) an
V AN2=
N 1
N 2
V (^) an
Si añadimos la impedancia de dispersión Z, los circuitos de secuencia quedarían:
Z Z (^0) N 1 :N 2 N^1 :N^2
Ia
Van
+
V' (^) AN
+ I^ A1^ Z
VAN
N 1 :N 2
I (^) a
Van
+
V'AN
+ I^ A2^ Z
VAN
Puede haber corrientes homopolares dentro de los triángulos pero no fuera.
Circuitos de secuencia de impedancias. Transformador estrella-triángulo.
Por ser un transformador se cumplirá que:
V AN
V (^) ab
N 1
N 2
V AN =
N 1
N 2
V (^) ab
Según se aprecia en la figura: V^ A=V^ AN +V^ N y sustituyendo queda V (^) A=
N 1
N 2
V (^) ab+V (^) N
donde sustituyendo por sus componentes simétricas:
V (^) A0 +V (^) A1 +V (^) A2 =
N 1
N 2
(V (^) ab0+V (^) ab1+V (^) ab2) + 3IA0 Z (^) N
En el triángulo sabemos que V^ ab0=^0 por lo que nos queda
V A0 −3ZN I A0= 0
V A1=
N 1
N 2
V (^) ab
V A2=
N 1
N 2
V (^) ab
aplicando las relaciones tensión compuesta-simple que ya conocemos
V ab1= √ 3 ∣ 30 V an
V ab2= √ 3 ∣− 30 V an
queda finalmente
V A0 −3ZN I A0= 0
V A1=
N 1
N 2 √
(^3) ∣ 30 V (^) an
V A2=
N 1
N 2 √
(^3) ∣− 30 V (^) an
Si añadimos la impedancia de dispersión Z, los circuitos de secuencia quedarían:
I A
I B
I C
N 1 :N 2
I (^) a
I (^) b
I (^) c
VAN
Vab
N
Z N
3I A
V N
aplicando las relaciones tensión compuesta-simple que conocemos
V AB1= √ 3 ∣ 30 V AN
V AB2= √ 3 ∣− 30 V AN
queda finalmente
V (^) a0−3Zn I (^) a0= 0
V (^) a1=
N 2
N 1 √
3 ∣ 30 V AN
V (^) a2=
N 2
N 1
√^3 ∣− 30 V^ AN
V (^) a0−3Zn I (^) a0= 0
V (^) AN1=
N 1
N 2
V (^) a
V AN2=
N 1
N 2
√^3 ∣− 30
V (^) a
Si añadimos la impedancia de dispersión Z, los circuitos de secuencia quedarían:
+
Z 0 I^ a0 =
Si no estuviera la estrella “aterrizada”
Va0=
Z 0 =Z+3Z (^) n
N 1 :N 2
I (^) a
Va
+
V' (^) AN
+ I^ A1^ Z
VAN
I (^) a
Va
+
V' (^) AN
+ I^ A2^ Z
VAN
V'a
+
3Zn Z I (^) a
Va
N 1 :N 2
N 1 : N 2 √ 3 ∣− 30
N 1 : N 2 √ 3 ∣ 30
