¡Descarga Resolución de sistemas mediante determinantes y más Ejercicios en PDF de Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II solo en Docsity!
TEMA 4 – RESOLUCIÓN DE SISTEMAS MEDIANTE DETERMINANTES
Resolución de sistemas: Regla de Cramer y Teorema de Rouché-Frobenius
EJERCICIO 1 : Resuelve, aplicando la regla de Cramer, los siguientes sistemas:
2 x y z 1
x 3 y z 3
b) x 2 y z 0
x y 1
a) x^3 y^5
3 x y 5
2 x y 0 c)
3 x y z 6
x 2 y z 4
d) x y z 2
2 x 3 y 7
x 4 y 6 e)
x y 3 z 6
2 x 3 y z 3
f) x 2 y z 3
2 x y 1
g)^3 x^2 y^3
x 3 y 2 z 3
x 2 y z 1
h) 2 x y z 0
x y 3 z 5
3 x y z 5
j) x 2 y z 1
5 x y 1
i)^3 x^2 y^5
Solución:
; A 4
; A
x y 1
a) x 3 y 5
0 Sistema Compatible Determinado Existe una solución
2 ; y
4
x
La solución del sistema es: (x,y) = (2,-1)
; A
2 x y z 1
x 3 y z 3
b) x 2 y z 0
0 Sistema Compatible Determinado Existe 1 sol.
; y
3
x
z
Lasolucióndelsistemaes:(x,y,z )
; A 5
; A
3 x y 5
c) 2 x y 0
0 Sistema Compatible Determinado Existe una solución
1 ; y
5
x
La solución del sistema es: (x,y) = (1,2)
; A
3 x y z 6
x 2 y z 4
d) x y z 2
0 Sistema Compatible Determinado Existe 1 sol.
1 ; y
12
x
z
La solución del sistema es: (x,y,z) = (1,2,1)
; A 5
; A
2 x 3 y 7
e) x 4 y 6
0 Sistema Compatible Determinado Existe una sol.
2 ; y
5
x
La solución del sistema es: (x,y) = (2,1)
; A
x y 3 z 6
2 x 3 y z 3
f) x 2 y z 3
0 Sist. Compatible Determinado Existe 1 sol.
; y
17
x
z
Lasolucióndelsistemaes:(x,y,z )
Sist. Compatible Determinado Existe 1 sol.
1 ; y
1
x
La solución del sistema es: (x,y) = (1,3)
; A
x 3 y 2 z 3
x 2 y z 1
h) 2 x y z 0
0 Sist. Compatible Determinado Existe 1 sol.
1 ; y
2
x
z
La solución del sistema es: (x,y,z) = (1,0,2)
; A 7 0
; A
5 x y 1
i) 3 x 2 y 5
Sistema Compatible Determinado Existe una solución
1 ; y
7
x
La solución del sistema es: (x,y) = (1,-4)
; A
x y 3 z 5
3 x y z 5
j) x 2 y z 1
0 Sist. Compatible Determinado Existe 1 sol.
2 ; y
22
x
z
La solución del sistema es: (x,y,z) = (2,0,1)
EJERCICIO 2 : Utiliza el teorema de Rouché para estudiar la compatibilidad del los siguiente sistema:
2
7
2 3
3 4 1
x y
x z
x y z
x y z
Solución:
NºIncog 3
RangoA* 2
RangoA 2
Sistema Compatible Indeterminado.
; A 1 0
; A
2 x y 1
g) 3 x 2 y 3
Lo resolvemos aplicando la regla de Cramer:
3 k 2
3 k 2
; y
3 k 2
k 4
3 k 2
2 k
x
3 k 2
3 k 2
k 4
Solución: (x,y )
,queda :
3
Si
K
RangoA* 2
RangoA 1
A ' El sistema es incompatible.
b) Estudiamos el rango de la matriz de los coeficientes:
2 2 2 A 3 6 3 3 2 1 3 1
A
A 0 1
Si 1 El sistema es compatible determinado
x y 2 z 1
2 x y z 2
x λy 2 z 1
x
(^2)
y
(^2)
z
(^2)
Si = 1, queda:
NºIncog 3
RangoA* 2
RangoA 2
Sistema compatible indeterminado
Un grado de libertad : z = , y = , x = 1+ (x,y,z) = (1+, , ) R
c) Estudiamos el rango de la matriz de los coeficientes: A a a 2 0 paracualquiervalordea.
1 a 1
1 1 a
A
2
Por tanto, ran ( A ) = ran ( A ’) = n
o incógnitas = 3. El sistema es compatible determinado. Para cada valor de a , tenemos un sistema
diferente, todos ellos tienen solución única. Lo resolveremos aplicando la regla de Cramer:
A a a 2
1 a 1 1
1 1 a 1
2
a a 2
1 a 1
0 ; z
a a 2
1 1 a
1 ; y
a a 2
1 a 1
1 1 a
x 2 2 2
Cada uno de los sistemas que obtenemos, para cada valor distinto de a , tiene como solución única (x,y,z) = (1, 0, 0).
EJERCICIO 5 : Estudia, según los valores del parámetro a , el siguiente sistema homogéneo. Resuélvelo en los casos en los
que sea posible:
x ay z 0
x y az 0
4 x 4 z 0
Solución:
Estudiamos el rango de la matriz de los coeficientes: A a a 2 a a 2
1 a 1
1 1 a
A
2 2
dividiéndolaentre 4).
la 1 ecuación,
(Hemossimplifica do
a
Notienesolución A 0 paracualquiervalorde a
2
A 0 a
Por tanto, como el sistema es homogéneo, tiene como solución única x = 0, y = 0, z = 0, cualquiera que sea el valor de a.
y z 0
x y 2 z 1
EJERCICIO 6 : Discute el siguiente sistema, según los valores del parámetro a****. Resolverlo cuando sea compatible
indeterminado:
4 x 2 ay 10 z a
ax 2 y 6 z 0
2 x ay 4 z 2
Solución:
Estudiamos el rango de la matriz de los coeficientes: 2 a 8 0 a 2
4 2 a 10
a 2 6
2 a 4
A
2
Si a 2 y a 2 El sistema es compatible determinado.
Si a = 2, queda:
NºIncog 3
RangoA* 2
RangoA 2
Sistema Compatible
Indeterminado Existen infinitas soluciones
z 1
x y 2 z 1
Un grado de libertad: z = - 1, y = , x = 3 - (x,y,z) = (3-,,-1) R
Si a = 2, quedaría:
^
rangoA* 3
RangoA 2
Sistema Incompatible
EJERCICIO 7 : Discute el siguiente sistema de ecuaciones, según los valores del parámetro a****. Resolverlo en el caso a = 3:
x ay a 2 z 1
ax y az 3
x y az 1
Solución:
Estudiamos el rango de la matriz de los coeficientes: A a 2 a a 2 a 1 a 1 a 2
1 a a 2
a 1 a
1 1 a
A
3 2
A 0 a 1 , a 1 , a 2
Si a 1, a 1 y a 2 El sistema es compatible determinado.
Si a = 1, queda:
RangoA* 3
RangoA 2
Sistema Incompatible
Si a = 1, quedaría:
RangoA* 3
RangoA 2
Sistema
Incompatible
Si a = 2, queda:
RangoA* 3
RangoA 2
Sist. Incompatible
Si a = 3, queda:
z 0
y 0
x 1
x 3 y 5 z 1
3 x y 3 z 3
x y 3 z 1
EJERCICIO 8 : Estudia el siguiente sistema homogéneo, según los valores del parámetro m ; y resuélvelo en los casos en los
que resulte ser compatible indeterminado:
2 x 3 my 4 z 0
x my 2 z 0
x 3 y 2 z 0
x ;
y ;
z
Si = 0, queda: 1 0 1
A '
Si = 0 y = 1 ran ( A ) = ran ( A ’) = 2 < n
o incógnitas. El sistema es compatible determinado.
Si = 0 y 1 ran ( A ) = 2 ran ( A ’) = 3. El sistema es incompatible.
EJERCICIO 11 : Discute el siguiente sistema de ecuaciones, según los valores de los parámetros que contiene. Resuélvelo en
los casos en los que sea compatible determinado:
x b
x y b a
x a
x y
Solución:
0 0 2 b 2 a
0 1 2 a 3
0 0 2 b 2 a
0 0 2 b 2 a
0 1 2 a 3
0 1 2 b 3
0 3 2 b 4 a 9
0 1 2 a 3
1 0 b
5 1 3 b 2 a
1 0 a
2b – 2a = 0 b = a
Si a = b Rango A = Rango A
= Nº Incógnitas = 2 Sistema compatible determinado Existe una solución
y 3 2 a,x a (x,y) (a, 3 2 a )
y 2 a 3
2 x y 3
Si a b Rango A = 2 Rango A
= 3 Sistema Incompatible No tiene solución
EJERCICIO 12 : Estudia el siguiente sistema, en función de a y b****. Resuélvelo en los casos en los que sea compatible
indeterminado:
x 2 y az b
2 x y az 3
x y az 1
Solución:
Estudiamos el rango de la matriz de los coeficientes: A 3 a 0 a 0
1 2 a
2 1 a
1 1 a
A
Si a 0 El sistema es compatible determinado, cualquier que sea el valor de b.
Si a = 0, queda: b 2 0 b 2
0 0 0 b 2
0 3 0 b 1
b
A '
- Si a = 0 y b 2 ran ( A ) = 2 ran ( A ’) = 3. El sistema es incompatible.
- Si a = 0 y b = 2 ran ( A ) = ran ( A ’) = 2 < n
o incógnitas. El sistema es compatible indeterminado. Lo resolvemos:
, R
,z (x,y,z )
3
, x
3
y
3 y 1
x y 1
EJERCICIO 13 : Discute, en función de y , el siguiente sistema de ecuaciones. Resuélvelo en los casos en los que sea
compatible determinado:
x 4 y z
x 2 y z 2
x y z 2
Solución:
Estudiamos el rango de la matriz de los coeficientes: A 3 3 0 1
A
Si 1 El sistema es compatible determinado, cualquiera que sea el valor de .
Lo resolvemos aplicando la regla de Cramer:
x ; 0
3 3
y
z
La solucion es
Si = 1, queda: 2 0 2
A '
- Si = 1 y 2 ran ( A ) = 2 ran ( A ’) = 3. El sistema es incompatible.
- Si = 1 y = 2 ran ( A ) = ran ( A ’) = 2.< nº incógnitas El sistema es compatible indeterminado.
EJERCICIO 14 : Estudia los siguientes sistemas, según los valores de los parámetros que contienen:
a)
4 x ay z b
2 x y z 3
3 x y z b
b)
x 4 y z
x y z 4
x 2 y z 5
c)
x 5 y az 5
3 x y az 5
x 2 y az b
d)
x y z 3
x 2 y z 0
x y z
e)
x ay 2 z 2
2 x ay z 2
x ay z b
Solución:
a) Estudiamos el rango de la matriz de los coeficientes: A a 1 0 a 1
4 a 1
A
Si a 1 El sistema es compatible determinado, cualquier que sea el valor de b.
Si a = 1, queda: b 3 0 b 3
0 0 0 b 3
0 1 1 9 2 b
3 1 1 b
0 1 1 b 6
0 1 1 9 2 b
3 1 1 b
b
b
Si a 1 yb 3 ran A ranA ' 2 .El sistema sería compatible determinado.
Si a = 1 y b 3 ran ( A ) = 2 ran ( A ’) = 3. El sistema sería incompatible.
b) Estudiamos el rango de la matriz de los coeficientes: A 1 0 1
A
Si 1 El sistema es compatible determinado, cualquiera que sea el valor de .
Si = 1, queda: 7 0 7
Si = 1 y = 7 ran ( A ) = ran ( A ’) = 2 > n
o incógnitas, el sistema sería compatible determinado.
Si = 1 y 7 ran ( A ) = 2 ran ( A ’) = 3. El sistema sería incompatible.
c) Estudiamos el rango de la matriz de los coeficientes:
0 , paracualquiervalordea.
A a
1 5 a
a
a
A
- 2b = 0 b = 0
Si b = 0 ran ( A ) = ran ( A ’) = 2. El sistema sería compatible indeterminado, cualquiera que fuese el valor de a.
Si b 0 ran ( A ) = 2 ran ( A ’) = 3. El sistema sería incompatible.
d) Estudiamos el rango de la matriz de los coeficientes:
(^) A 0 paracualquiervalorde
A
0 0 0 2 b
0 14 4 a 10
1 5 a 5
0 7 2 a b 5
0 14 4 a 10
1 5 a 5
1 2 a b
3 1 a 5
1 5 a 5
Para a = 0 , queda:
A Como lasdosprimerasfilassoniguales, A 0 .Por tanto,enestecaso,noexiste.
1 A
EJERCICIO 17
a) Calcula para qué valores de existe la inversa de la matriz:
A b) CalculaA para 0.
1
Solución:
a) LacondiciónnecesariaysuficienteparaqueexistaA esqueA 0.
1
Calculamos el determinante de A :
2 2 2 2 2 4 1 2 4 3 6 3 3 1
A
A 0 3 1 0 1 0 1
2 Por tanto, existeA para 1.
1
b) Para = 0, la matriz es:
Adj A
Adj A
A
t
A 3
Adj A
A
A
1 t
EJERCICIO 18
a) Encuentra los valores de a para los que la matriz:
a 2 2 2
1 a 1
a 1 1
A no es inversible. b) CalculaA paraa 2.
1
Solución:
a) LacondiciónnecesariaysuficienteparaqueexistaA esqueA 0.
1
Calculamos el determinante de A :
2 a 2 a 2 a a 2 2 a 2 3 a 5 a 2 0
a 2 2 2
1 a 1
a 1 1
A
2 2
a
a
a.
3
Por tanto, lamatriznoesinversibleparaa 1 ypara a
b) Paraa 2 ,tenemosque A 4 .LamatrizAqueda :
Adj A
Adj A
A
t
Adj A
A
A
1 t
EJERCICIO 19 :
noseainversible.
a) Encuentralosvaloresde paraquelosla matriz
m
m A m
b) CalculaA param 0.
1
Solución:
a) Lacondiciónnecesariaysuficienteparaqueexista A esqueA 0 .CalculamoseldeterminantedeA :
1
m 2
m 1
m 3 m 2 0 m
1 m 1
2 1 m
A
2
Por tanto, A no es inversible para m = 1 ni para m = 2.
b) Para m = 0, la matriz es: A 2
A
Adj A
Adj A
t
Adj A
A
A
1 t
EJERCICIO 20 : Comprueba que la matriz
1 a
a a 1 A
2
tiene inversa cualquiera que sea el valor del parámetro a y
calcula A
- 1
Solución:
Calculamos el determinante de A : a a 1 a a 1 1 0 paracualquiervalordea
1 a
a a 1 A
2 2 2 2
2
Por tanto,como 0 ,existe paratodo.
1 A A a
Hallamos :
1
A
1 a
a 1 a Adj A
1 a a
a 1
Adj A
2 t
2
1 a
a 1 a Adj A
A
A
2 1 t
EJERCICIO 21
a) Estudia para qué valores de existe la inversa de la matriz:
A b) Calcula A
- 1 para = 0
Solución:
a) LacondiciónnecesariaysuficienteparaqueexistaA esque A 0.
1
Calculamos el determinante de A :
A
2
Por tanto, existeA si 3 y 2.
1
b) Para = 0, la matriz es: A 6
A
Adj A
Adj A
t
Adj A
A
A
1 t
EJERCICIO 22
a) Halla los valores de a para que los que existe la matriz inversa de:
a 1 1
1 1 a
1 a 1
A b) CalculaA paraa 0.
1
Solución:
a) Lacondiciónnecesariaysuficienteparaqueexista esque 0.
1
A A
Calculamos el determinante de A :
a 2
a 1
a 3 a 2 a 1 a 2 0
a 1 1
1 1 a
1 a 1
A
3 2
Para resolverlo,despejamosXmultiplicandoporlaizquierdaporA :
1 AX C A AX A C X A C
1 1 1
Comprobamos que A 3 0 yhallamosA :
1
Adj A
Adj A
t
Adj A
A
A
1 t
Obtenemos X :
X A C
1
Por tanto la solución del sistema es: x = 1; y = 2; z = 1
d) Expresamos el sistema en forma matricial: AX C
z
y
x
; C
z
y
x
; X
A
Calculamos A,paraversiexisteA :
1 1 1 0 ExisteA
A
Calculamos la inversa de A :
Adj A
Adj A
t
Adj A
A
A
1 t
Despejamos X: AX C A AX A C X A C
1 1 1
X
Por tanto, la solución del sistema es: x = 2, y = 0, z = 1
e) Expresamos el sistema en forma matricial: AX C
z
y
x
; C
z
y
x
; X
A
Calculamos A paraversiexisteA :
1 1 3 0 ExisteA
A
Calculamos la inversa de :
Adj A
Adj A
t
Adj A
A
A
1 t
Despejamos X: AX C A AX A C X A C
1 1 1
X
Por tanto, la solución del sistema es: x = 1, y = 1, x = 0
f) Expresamos el sistema en forma matricial:
Si llamamos: AX C
z
y
x
; C
z
y
x
; X
A
Para resolverlo, despejamos X multiplicando por la izquierda por A
: AX C A AX A C X A C
1 1 1
Comprobamos que 1 0 yhallamos :
1
A A
Adj A
Adj A
t
Adj A
A
A
1 t
Obtenemos X :
X A C
1 Por tanto, la solución del sistema es: x = 2, y = 0, z = 1
g) Expresamos el sistema en forma matricial: AX C
z
y
x
; C
z
y
x
; X
A
Para resolverlo, multiplicamos por la izquierda por A
: AX C A AX A C X A C
1 1 1
Comprobamos que 1 0 yhallamos :
1 A A
Adj A
Adj A
t
Adj A
A
A
1 t
Obtenemos X :
X A C
1 Por tanto, la solución del sistema es: x = 1, y = 1, z = 1
h) Expresamos el sistema en forma matricial:
AX C
z
y
x
; C
z
y
x
; X
A
Para resolverlo, multiplicamos por la izquierda por A
: AX C A AX A C X A C
1 1 1
Comprobamos que A 2 0 yhallamosA :
1
Adj A
Adj A
t
Adj A
A
A
1 t
Obtenemos X :
X A C
1
Por tanto la solución del sistema es: x = 0, y = 1, z = 1
i) Expresamos el sistema en forma matricial.
AX C
z
y
x
; C
z
y
x
; X
A
Para resolverlo, multiplicamos por la izquierda por A
: A AX AC X AC
1 1 1
Comprobamos que A 5 0 yhallamosA :
1
Adj A
Adj A
t
Adj A
A
A
1 t
Obtenemos X :
X A C
1
Por tanto, la solución del sistema es: x = 3, y = 1, z = 0
EJERCICIO 27 : Halla una matriz, X, tal que AX = B , siendo:
y
A B
Solución:
Despejamos Xenlaecuación,multiplicandoporlaizquierdaporA :
1 AX B A AX A B X A B
1 1 1
Comprobamos que A 2 0 yhallamosA :
1
Adj A
Adj A
t
Adj A
A
A
1 t
Por tanto:
X A B
1
EJERCICIO 28 : Resuelve matricialmente el siguiente sistema:
z
y
x
Solución:
; B
z
y
x
; X
Llamamos: A Así, tenemos que A · X = B. Hemos de calcular X = A
· B.
Hallamos A
(existe, pues | A | = 1 0):
t t ij AdjA
|A |
Adj A Adj A
1 A
Por tanto:
X A · B
1 Solución: x = 2; y = - 3 ; z = 2.
