Cuadrilateros geometria, Transcripciones de Matemáticas Orientadas a las Enseñanzas Académica

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RELACIONES MÉTRICAS EN LOS CUADRILÁTEROS

Teorema de Euler

I.- Cuadrilátero Convexo

II.- Cuadrilátero no Convexo o Cóncavo

En todo cuadrilátero, cóncavo o convexo, la

suma de los cuadrados de las longitudes de sus

cuatro lados, es igual a la suma de los

cuadrados de las longitudes de sus diagonales,

más cuatro veces el cuadrado de la longitud del

segmento que une los puntos medios de dichas

diagonales.

𝟐

𝟐

𝟐

𝟐

𝟐

𝟐

𝟐

𝒎

𝟐

𝒏

𝟐

𝒏

𝟐

𝒎

𝟐

𝒏

𝟐

𝒎

𝟐

𝒏

𝟐

𝒎

𝟐

𝟐

𝟐

𝟐

𝟐

𝟐

𝟐

𝟐

EJERCICIOS DE APLICACIÓN

EXERCISE

11

RESOLUTION

En un trapecio ABCD ( BC // AD ) se cumple que 𝐴𝐶

2

2

2

2

Calcular el valor de “BC.AD”

a)

𝒂

𝟐

b)

𝟑𝒂

𝟐

c)

𝟐𝒂

𝟑

d) a e)

𝒂

𝟒

A D

B C

Nos piden calcular el valor de “(BC).(AD).”

Dato: 𝐴𝐶

2

2

2

2

Q

P

Teorema: 𝑃𝑄 =

𝐴𝐷−𝐵𝐶

2

Teorema de Euler: Cuadrilátero Convexo

𝑨𝑩

𝟐

• 𝑩𝑪

𝟐

• 𝑪𝑫

𝟐

• 𝑨𝑫

𝟐

= 𝑨𝑪

𝟐

• 𝑩𝑫

𝟐

• 𝟒 𝑷𝑸

𝟐

a + 𝑩𝑪

𝟐

• 𝑨𝑫

𝟐

= 𝟐𝒂 + 𝟒

𝑨𝑫−𝑩𝑪

𝟐

𝟐

𝑩𝑪

𝟐

• 𝑨𝑫

𝟐

= 𝒂 + 𝑨𝑫

𝟐

• 𝑩𝑪

𝟐

− 𝟐 𝑨𝑫. (𝑩𝑪)

𝟐 𝑨𝑫. 𝑩𝑪 = 𝒂

(AD)(BC)= a/

EXERCISE

14

RESOLUTION

En el cuadrilátero ABCD. Hallar el segmento que une

los puntos medios de AC y BD, si BC= 3 y el triángulo

ABD es isósceles con lado desigual AD.

a) 𝟑

b) 𝟐

c) 0 , 60

d) 0 , 75

e) 1 , 50

A

B

C

D

P

Q

X

3

n

a

a

m

❑ Aplicando el Teorema de Euler :

Cuadrilátero convexo (ABCD)

( )

2 2 2 2 2 2 2

a + 3 + m + n = a + AC + 4 X ...( ) I

Δ ADC: T. de Pitágoras

( )

2 2 2

m + n = AC ...( II )

❑ Reemplazando (II) en (I)

2 2 2 2 2 2 2 2

a + 3 + m + n = a + m + n + 4 X

2

= X

= X

X=1,

8

EXERCISE 16

RESOLUTION

Del gráfico, calcular el valor de “x”

Si : 𝐵𝐷

2

2

a) 8

b) 2

c) 6

d) 4

e) 5

x

C

B

D

A

❑ Δ BAD: T. de Pitágoras

❑ Aplicando el Teorema de Euler :

Cuadrilátero convexo (ABCD)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 2 2 2 2 2 2

AB + BC + CD + AD = BD + AC + 4 X ...( ) I

( ) ( ) ( )

2 2 2

AB + AD = BD ...( II )

❑ Δ BCD: T. de Pitágoras

( ) ( ) ( )

2 2 2

BC + CD = BD ...( III )

❑ Reemplazando (IV) en (I)

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 2 2 2 2

AB + AD + BC + CD = 2 BD ...( IV )

❑ Sumamos (II) con (III)

( ) ( ) ( )

2 2 2 2

2 BD = BD + AC + 4 X

( ) ( )

2 2 2

BD − AC = 4 X

2

16 = 4 X

X=

Teorema de Ptolomeo

En todo cuadrilátero inscrito en una

circunferencia, el producto de las longitudes

de sus diagonales es igual a la suma de los

productos de las longitudes de sus lados

opuestos respectivamente.

Se cumple: mn = ac + bd

EXERCISE

15

En un cuadrilátero ABCD se cumple:

m<BAD=m<BCD=90º,m<BAC=m<CAD,

𝐴𝐵 + 𝐴𝐷 = 𝐾 2. Calcular el valor de AC

a)

𝐊

𝟐

b)

𝟑𝐊

𝟐

c) K d) 2k e) 𝐤 𝟑

RESOLUTION

A

D

C

B

❑ Por Dato: 𝐴𝐵 + 𝐴𝐷 = 𝐾 2

x

❑ ABCD : Cuadrilátero

Inscriptible

𝑦 2

❑ Aplicando el T. de

Ptolomeo

y

y

Aplicando la Propiedad

de Choca y Rebota

( )

x. y 2 = (^) ( AB (^) ). y +( AD (^) ). y

( )

( )

x. y 2 = y AB + AD

 x. 2 = K 2

x=k

Se tiene un triángulo equilátero ABC inscrito

en una circunferencia, T es un punto del arco BC.

Si AB=k. Hallar el valor de :

a) 𝒌

𝟐

b) 2 𝒌

𝟐

c) 𝟑𝒌

𝟐

d)

𝟐

𝟑

𝟐

e)

𝟒

𝟓

𝟐

EXERCISE

17

2 2 2

TA + TB + TC

RESOLUTION

T

A

C

B

K

K

K

❑ Aplicando el

Teorema de Chadú

𝟐𝒌

𝟐

= 𝑻𝑨

𝟐

• 𝑻𝑩

𝟐

• 𝑻𝑨

𝟐

11

EXERCISE

18

Para el cuadrilátero mostrado, calcular “x”.

a) 26

b) 12

c) 24

d) 13

e) 15

RESOLUTION

❑ ABCD: Cuadrilátero Inscriptible

❑ Teorema de Cuerdas

( x ).( x ) =8.(18)

X=

EXERCISE

19

Según el gráfico calcular el valor de PD

Si PA=a; PB=b; PC=c; PE=e; y PF=f

RESOLUTION

x

f

e

c

b

a

❑ Se prolonga 𝐶𝐷 hasta un punto Q

Q

❑ Se traza 𝑃𝑄

y

❑ En el rectángulo ABCQ como P es un punto

interior ,aplicamos el Teorema de Marlen.

2 2 2 2

a + c = b + y ...( ) I

❑ En el rectángulo DEFQ como P es un punto

exterior ,aplicamos el Teorema de Marlen.

2 2 2 2

x + f = e + y ...( II )

2 2 2 2

y = a + c − b ..( III )

2 2 2 2 2 2

x + f = e + a + c − b

❑ Reemplazamos el valor de (III) en (II)

2 2 2 2 2 2

x = e + a + c − b − f

2 2 2 2 2

 x = e + a + c − b − f

14

En todo cuadrilátero cuyas

diagonales se intersectan

perpendicularmente, se cumple

que la suma de los cuadrados de

sus lados opuestos son iguales.

𝟐

𝟐

𝟐

𝟐

EXERCISE 20

En el cuadrilátero ABCD donde las diagonales

se cortan en “O”, calcule el valor de OP si “P” es el

punto medio de 𝐷𝐶 , 𝐴𝐵 = 6 2 , BC = 6, CD = 8 y

AD = 10.

a) 5 b) 𝟑 𝟐 c) 4 d) 6 e) 𝟒 𝟐

RESOLUTION

A

D

C

B

O

P

X

6 2

6

10

8

Del gráfico:

2

2 2 2

6 2 + 8 = 6 + 10  m DOC = 90 

Δ DOC: T. Mediana

Relativa a la

Hipotenusa

DP=PC=PO

X=