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CAPÍTULO 06
VERDAD FORMAL
Objetivos: Sistematizar las reglas de los conectores lógicos. Identificar los tipos de matriz principal de una fórmula molecular evaluada mediante tablas de verdad. Aplicar las reglas de los conectores lógicos a diferentes modelos propuestos.
1. REGLAS DE LOS CONECTORES LÓGICOS. 1.1. Opción analítica. a) Negador. Si es p = V, ~p = F; si es p = F, ~p = V b) Conjuntor: VV = V, basta un F para que todo sea F. c) Disyuntor débil: FF = F, basta un V para que todo sea V. d) Daga de Shefer: FF = V, basta un V para que todo sea F. e) Barra de Nicod: VV = F, basta un F para que todo sea V. f) g) Implicador:Biimplicador: V 2 iguales = V; 2 diferentes = F.F = F, en los demás casos es V. h) Disyuntor fuerte: 2 iguales = F; 2 diferentes = V 2. LA TABLA DE VERDAD.
p q r ( ~ p (^) q ) (^) ( r (^) ~ p ) V V V V F F F F
V V
F F
V
V F
F
V F
V F
V
F V
F
F F
F F
V
V V
V
V V
V V
V
V F
F
V V
V V
V
V V
F
F F
F F
V
F V
F
F F
F F
V
V V
V
Esquema Molecular. Es la fórmula que representa a una proposición molecular cualquiera. Variables Una de cada una en orden alfabético. Pueden ser. p q r s t … o quizás A B C D E …
Variables (^) Esquema molecular
Arreglos de verdad Cálculo matricial
Arreglos, combinacione # de arreglos = 2n (^) (Lóg. Bivalente); n = # variables. (Lóg. Trivalente: 3 s de verdad o estados del mundo posible. n) Arreglos para 1, 2 y 3 variables: Cantidad de Combinaciones Variables Valores 1 – 0 Valores V – F 1 A A 10 VF 2 A B A B 11 10 VV VF 0 1 F V 0 0 F F 3 A 1 B 1 C 1 AV BV CV 11 10 01 VV VF FV 1 0 0 V F F 00 11 10 FF VV VF 00 00 10 FF FF VF Nota: V = 1 = Pasa corriente F = 0 = No pasa corriente Cálculo Se efectúa el cálculo de verdad del esquema molecular siguiendo las matricial. reglas de lo operación para cada conector presente y respetando la jerarquía de conectores y de signos de agrupación. El cálculo de la función de verdad se hace en el cuadrante inferior derecho.
2.1. Matrices de los conectores lógicos para dos variables. p q ~p ~q (^) pq pq pq pq pq pq pq pq pq pq V V F F V V V V F V F F F F V F F V F V F V V F F V V F F V V F F V V F V F F V F V F F V V F F V V F V V V F F JERARQUÍA DE LOS CONECTORES: Menor jerarquía: () Mayor Jerarquía
p es verdadera (V); q es falsa (F); r es falsa (F) Luego, reemplacemos los valores de p, q, r; en cada una de las fórmulas: I) (V ~F) (F ~V) = 1 II) V ~[(~FF) V] = 1 III) ~V Clave D [F (-FV)] = 0
Ejemplo Sean las variables A, B, definidas por: 2 : A = ~p q B = p q Luego, la matriz final del esquema: (A ~B) (A B) E A) 1011s: B) 0110 C) 1110 D) 0001 E) 1010
Solución: Primero determinamos las matrices que representarán a las variables A, B: Variable A: Variable B: p q ~p q p q p q 1 1 1 0 10 1 11 0 (^00) 0 1 0 0 11 0 10 0 (^10)
Luego, aplicamos la tabla de verdad al esquema: A B 1 0 (A 0 ~B) 1 1 (A B) 0 0 1 0 0 1 1 1 0 (^10 11 ) Matriz final: 1011 Clave A
Ejemplo De los siguientes esquemas formales: 3 :
- (p ~r) ~ (s ~q)
- ~q [(p ~s) ~r)]
- (p Los que tienen matriz principal tautológica son ~q) [r (s t)] : A) Solo 1 y 2 B) Solo 1 y 3 C) Solo 2 y 3 D) Todos E) Ninguno Solución: Cualquier automáticamente contingente. De los esquemas propuestos, todos tienen esta característica. En esquema que tenga solo una de cada una de las variables en mención es consecuencia, todos son contingentes. Clave E
Ejercicios de evaluación
- La fórmula: Tiene como características: [A (B C)] (A C)
- Presenta un ePresenta un esquema contingente.squema tautológico.
- Tiene tres valores verdaderos en su matriz principalTiene cinco valores verdaderos en su matriz principal
- Tiene al menos un valor verdadero en su matriz principal Son ciertas: A) 1 y 5 B) 2 y 5 C) 2 y 3 D) 4 y 5 E) 1 y 4
- Sea la fórmula verdadera: {[(A B) (~A ~B)] [A (~A B)]} Luego, son afirmaciones correctas:
- (A B) (A B) es falsa
- (A B) ~(A B) es falsa
- (A B) (~A B) es verdadera
- Son ciertas: (A B) (A ~B) es verdadera A) Solo 1 y 2 B) Solo 2 y 3 C) Solo 1 y 3 D) 1, 2 y 3 E) 2, 3 y 4
- Si se cumple: p @ q = q Luego, Es: la matriz final de: (p @ q) @ (p @ q) A) 1100 B) 0011 C) 0101 D) 1010 E) 1001
- De los esquemas: I) (p q) (p q) II) [(p q) q] (p q) III) [(p V) (p q) q) ( (^) q]p q)q IV) [(pq) (p q)] (p q) Son contradictorios: A) 1, 2 y 3 B) 1, 3 y 5 C) Solo 3 y 5 D) Solo 2 y 3 E) 1, 2 y 4
- Si la proposición: “(x+y) (^0) = 1, pero, (x+y) (^3) = (x+y)(x+y) (^2) ; dado que (x+y) = (x+y) (^1) ” Tiene un valor de verdad falso Luego, de las fórmulas:.
- – (–p – q) s 2) (s s) – (p – q)
- r (p q) 4) (r – t) (t – r)
- Las que tienen valor de verdad falso, son: – {– [– (–p q) r] s} t A) 1, 2 y 3 B) 1, 3 y 4 C) Solo 3 y 4 D) Solo 1 y 2 E) Solo 2 y 3
CAPÍTULO 07
EQUIVALENCIAS LÓGICAS
Objetivos: Aplicar leyes de equivalencia lógica a proposiciones compuestas. Aplicar leyes de equivalencia lógica a fórmulas proposicionales. Aplicar compuestas leyes. de equivalencia lógica en base negada a proposiciones lógicas y fórmulas
1. D Agrega o quita pares consecutivos de negaciones OBLE NEGACIÓN (DN).. Ejemplos: 1) Adolfo Hittler fue austriaco. R. No es cierto que Adolfo Hittler no fue austriaco. p ~(~p) 2) Es inobjetable que el Perú tiene escasos recursos energéticos. ~(~r) En los siguientes casos, NO está bien aplicada la Doble negación:^ R.^ El Perú tiene^ escasos recursos energéticos.^ r 1) p p No utiliza la doble negación 2) (p q) (p q) Cancela dos negaciones indebidamente 2. LEY DE MORGAN (DM) La negación de la disyunción incluyente de dos equivale a la conjunción de dichas variables negadas. La negación de la conjunción de dos variables equivale a la disyunción incluyente de dichas variables negadas.
LEYES DEL ÁLGEBRA BOOLEANA
Conmutación Contraposición Ley de D’Morgan
Asociación
Distribución
Absorción
Mutación
Ley de Idempotencia
Ley de Identidad Ley del Complemento
Exportación Expansión
Ejemplos:
- C. Vallejo es un poeta peruano además pertenece a la escuela vanguardista. pq R. Es mentira que, C. Vallejo no sea un poeta peruano salvo que no pertenezca a la escuela vanguardista. (pq)
- No es cierto que, R. Darío sea un novelista peruano tal como que no sea representante de la escuela modernista. (pq) R. R. Darío no es un novelista peruano y bien o también es un representante de la escuela modernista. pq En los siguientes casos, NO está bien aplicada la Ley de Morgan:
- (pq) pq No se cumple con disyuntor excluyente.
- (pq) pq No cambió el conector “” por el “”. Nota intercambiando s. La Ley de Morgan también se cumple con la 1ª y 2ª función de Shefer; peroolo entre ellas para obtener la misma aplicación. Ejemplos:
- (p q) p q 2) (p q) p q
3. CONMUTACIÓN. Consiste en intercambiar de posición las dos proposiciones – ya sean simples o compuestas– que estén unidas por uno de los operadores siguientes: , , , , , Ejemplos: 1) Juliaca es una ciudad puneña además es un centro de acopio de cuero fresco. pq R. Juliaca es un centro de acopio de cuero fresco además es una ciudad puneña. qp 2) El gobierno peruano es democrático sí y solo si es elegido por el pueblo. pq En los siguientes casos, NO está bie^ R.^ El gobierno peruano es elegido por el pueblo sí y sn aplicada la Conmutación:olo^ si es democrático. qp 1) p q q p Cambió las negaciones indebidamente. 2) (p q) (q p) No aplicable con el implicador. 4. CONTRAPOSICIÓN ( Es muy similar a la conmutación, la diferencia es que al aplica Transposición o contra recíproca) r esta ley, a la vez que cambiamos de lugar a las componentes, también cambiamos sus negaciones por afirmaciones y viceversa. S Ejemplosolo es aplicable con los siguientes conectores:: , , , 1) El gobierno peruano es democrático sí y solo si es elegido por el pueblo. pq R. El gobierno peruano no es elegido por el pueblo sí y solo si no es democrático. q p 2) O Finlandia integra la OTAN o integra el Pacto de Varsovia. p q En los siguientes casos, NO está bien aplicada la Contraposición:^ R.^ O Finlandia no integra el Pacto de Varsovia o no integra la OTAN.^ qp 1) (p q) (q p) No cambió neg / afirm de las variables. 2) 3) (p(p q) q) ( (qp p) (^) q) No se aplica con el conjuntor.No cambió la posición de las variables.
Ejemplos:
- P. Guerrero jugó en Brasil, además, es un delantero neto salvo que jugó en Brasil. R.^ p P. Guerrero jugó en Brasil(qp). p
- C. Cueva es huamachuquino, salvo que, juegue por la selección además sea huamachuquino. R.^ p C. Cueva es huamachuquino(qp). p
- El “Cuy” es uno de los goleadores del Perú, sin embargo, es un delantero salvo que no sea uno de los goleadores del Perú. p(qp) R. El “Cuy” es uno de los goleadores del Perú además es un delantero. pq
- G. Lapadula no es un futbolista peruano, salvo que, sea un futbolista peruano además delantero del Genoa. p(pq) R. G. Lapadula no es un futbolista peruano salvo que sea delantero del Genoa. pq En los siguientes casos, NO está bien aplicada la ABSORCIÓN:
- p(pq) p No aplicable con disyuntor excluyente.
- p(pq) p La variable repetida cambia negación.
8. DEFINICIÓN DEL IMPLICADOR “Niega el antecedente o el consecuente” (Base afirmada) “Antecedente y la negación del consecuente” (Base negada) Caso: Base afirmada Caso: Base negada a) p q p q a) (p q) p q b) p q p q b) (p q) p q c) p q p q c) (p q) p q Ejemplos: 1) Si la Tierra forma parte del Sistema Solar entonces forma parte de la Vía Láctea. R.^ p La Tierra no forma parte del Sistema Solar o forma parte de la Vía Láctea.q pq 2) Siempre que Venus no gire alrededor de su eje en sentido inverso al de la Tierra es obvio que su atmósfera contiene dióxido de carbono. R. Venus gira alrededor de su eje en sentido inverso al de la Tierra a menos que su atmósfera pq contenga dióxido de carbono. pq 9. DEFINICIÓN DEL BIIMPLICADOR. Definición de Es verdadera cuando las componentes tienen valores de verdad iguales, es decir: verdad: p q (p q) (p q) D Biimplicador indica que implica y está implicado, es decir: efinición de uso: p q (p q) (p q)
En los siguientes casos, NO está bien aplicada la Definición del biimplicador:
- (pq) (pq) (qp) (pq) y (qp) son iguales.
- (pq) (pq) (pq) Confundió conectores
10. RELACIÓN BIIMPLICADOR – DISYUNTOR EXCLUYENTE. Esta Ley es Biimplicador (o Equivalorador) con el Disyuntor excluyente (o Contravalorador) además de las muy importante porque nos permite identificar las relaciones que hay entre el equivalencias que hay entre ellos al variar la cantidad de negaciones. Veamos: 1º. S excluyente, el conector principal no cambia y las fórmulas obtenidas son equivalentes.i agregamos o quitamos un (01) par de negaciones a una fórmula biimplicativa o disyuntiva Ejemplos: p q ≡ ( p q ) ≡ ( p q ) ≡ p q 2º. Si agregamos o quitamos una (01) o tres (03) negaciones a una fórmula biimplicativa o disyuntiva excluyente, el conector principal si cambia y las fórmulas obtenidas son equivalentes. Ejemplos: p q ≡ ( p q ) ≡ p q ≡ p q 11. DEFINICIÓN DEL DISYUNTOR EXCLUYENTE. D Es verdadera cuando las componentes tienen valores de verdad diferentes, es decir: efinición de verdad: p q (p q) (p q) D Disyuntor excluyente indica que es uno de los dos p efinición de uso: ero no pueden ser los dos, es decir: p q (p q) (p q) 12. EXPORTACIÓN. Esta ley de equivalencia relaciona una implicación con una conjunción para dar una proposición solo implicativa con tres variables. (p q) r p (q r) (p q r) s p [q (r s)] Ejemplos: 1) Siempre que Alemania y Francia integren la Unión Europea, entonces juntos constituyen el soporte económico de la Unión. (p q) r R. Siempre que Alemania integre la Unión Europea entonces, el que Francia integre la Unión 2) Si Cueva^ es^ suficiente para juntos constituyan el soporte económico de la Unión., Farfán, y Flores son futbolistas que juegan fuera del país, luego juntos serán^ p^ ^ (^ q^ ^ r) convocados para jugar por la selección. (p R. Si Cueva es un futbolista que juega fuera del país; entonces dado queqr)s Farfán es un futbolista que juega fuera del país es obvio que es suficiente que Flores juegue fuera del país para que juntos sean convocados para jugar por la selección. p [q (r s)]
16. LEY DEL COMPLEMENTO. Esta Ley es muy similar a la anterior con la diferencia que se aplica a una proposición junto a la negación (complemento) de la misma, es decir: p p 0 p p 1 17. IDENTIDADES. Otra de la una proposición cualquiera (llamémoslas leyes con similar aplicación que las dos anteriores. La diferencia, en este caso, es que “p” ) es evaluada al lado de una Tautología (1) o una Contradicción (0) p 1 p p 0 0 p 1 1 p 0 p
Ejercicios de evaluación
- La proposición: “No es verdad que los indicadores económicos disminuyen siempre que la economía del país se mantiene sólida”, equivale a: A) B) La economía del país nunca se mantiene sólida pero los indicadores económicos disminuyenEn el caso que los indicadores económicos aumenten, la economía del país no se mantendrá sólida.. C) D) La economía del país se mantiene sólida aun cuando los indicadores económicos aumentanEs necesario que los indicadores económicos disminuyan para que la economía del país se. E) mantenga sólidaLa economía del país se mantiene sólida siempre y cuando los indicadores económicos aumentan..
- La proposición: “El axioma es una verdad evidente puesto que no requiere demostración, sin embargo es falaz negar que el axioma no deje de no ser una verdad evidente”, NO equivale:
- El axioma requiere demostración pero no es una verdad evidenteEl axioma no es una verdad evidente excepto que requiera demostración..
- Es mentira que el axioma es una verdad evidente pero no requEs incongruente que, si el axioma requiere demostración luego el axioma es una verdad evidenteiera demostración..
- Son FALSAS: El axioma requiere demostración. A) Solo 2 y 3 B) 2, 3 y 5 C) Solo 1 y 4 D) 1, 4 y 5 E) 3, 4 y 5
- La proposición: “La lógica fuz aproximación; sin embrago, que evalúe la verdad en porcentajes de aproximación implica que no seazy es un conjunto borroso puesto que evalúa la verdad en porcentajes de un conjunto borroso”, biimplica tautológicamente a: A) La lógica fuzzy es un conjunto borroso. B) C) Es mendaz que la lógica fuzzy no deje de evaluar la verdad en porcentajes de aproximaciónLa lógica fuzzy no es un conjunto borroso.. D) E) Mentira resulta que la lógica fuzzy no evalúa la verdad en porcentajes de aproximaciónLa lógica fuzzy evalúa la verdad en algunos casos posibles..
- La proposición: “Es falso que, la tabla de verdad es un algoritmo tan igual como la forma normal conjuntiva. Sin embargo, si la forma normal conjuntiva no es un algoritmo así pues la tabla de verdad si lo e 1) s”, equivale a:La forma normal conjuntiva o la tabla de verdad son algoritmos.
- SoloSolo uno de los dos, la forma normal conjuntiva o la tabla de verdad, son algoritmossi la tabla de verdad es un algoritmo, entonces la forma normal conjuntiva también lo. es.
- La tabla de verdad es un algoritmo siempre que yEs mentira que la tabla de verdad y la forma normal conjuntiva no son algoritmos solo cuando la forma normal conjuntiva no lo. es. Son ciertas: A) 1 y 5 B) Solo 2 y 4 C) 2, 3 y 4 D) Solo 2 y 3 E) 3, 4 y 5
- La proposición: “El mercurio es enfriado a Equivale a: - 269ºC, luego y solo luego es usado como superconductor”.
- Es imposible que no sea enfriado aSiempre y cuando el mercurio no sea usado como - 269ºC salvo que superconductor solo no sea usado como superconductor, no es enfriado a - 269ºC..
- El mercurio es enfriado aO el mercurio es enfriado a - 269ºC cuando no es usado como superconductor - 269ºC o no deja de ser usado como superconductor
- Son ciertas: El mercurio no es usado como superconductor cuando y siempre deje de ser enfriado a - 269ºC A) 1, 2 y 3 B) 2, 3 y 4 C) 3, 4 y 5 D) 1, 2 y 5 E) 1, 4 y 5
- La fórmula proposicional: [ (AB)Δ(BA)]B Equivale A) B a: B) B C) B B D) A E) A B
- Al simplificar la siguiente fórmula proposicional: (A A A… A) (B B B… B)
Se tiene:^ 2n + 4 veces^ 2n + 3 veces A) A B) B C) B A D) B E) B A
- La proposición: “La intensión y la extensión en lógica son inversamente proporcionales cuando nos referimos a conceptos subordinados” Equivale a:
- A 4) ( (^) AB (^) B) C 2)5) (A (A B) B) (^) C 3) B A Son indudablemente falsas: A) 2, 4 y 5 B) 1, 3 y 5 C) 1, 4 y 5 D) 1, 2 y 3 E) Solo 1 y 3
- Si se sabe que las fórmulas: El equivalente de: (^) P %(P % Q) Q y (P * Q), tienen matrices idénticas, determinar: A) (Q * P) B) Q * P C) P * Q D) (Q * P) E) P * Q
- Si la fórmula p # q = VVFV, entonces p # (p # q) equivale a: A) p q B) p p C) p q D) p q E) q
1.2. Funciones. Serie Paralelo
p q p q
1.3. Otros conectores Para otros conectores se usan equ. ivalencias, ejemplos:
p q (p q)
p q p q
-------------------------^ p^ ^ q^ -------------------------p^ ^ q (p q) (p q) (p q) (p q)
-------------------------^ p^ ^ q^ -------------p^ ------------^ q (p q) (p q) (p q) (p q)
Nota. ---------------^ p^ ^ q^ ^ r^ --------------p^ ^1
p q
p q
p q
p p
q q
p q
p q
p p
q q
p q
p q p q
p q r^ p
q q
q q
p p
1.4. Ejemplos. Ejemplo 1: Simplifique el circuito: Solución: por bloques: i) donde: AB A (qp) (p q) p q Por Idempotencia B qq 1 AB (p q) 1 p q Ejemplo 2: Hallar el circuito más simple para: (p q) (q p) Solución: (pq) (qp) (pq) (qp) (pq) (qp) p [q (qp)] p q ... representamos está fórmula
Ejemplo Dado el siguiente circuito: 3 :
Su circuito equivalente es: A) B) C) D) E)
Solución: A (A B) (A A) (A B) 1 (A B) A B ... representamos esta fórmula: Clave A
p q
p q
A A B A B
A B A
A^ B
B
A B
- La proposición: “El desarrollo psicológico y social del adolescente se complementan entre si ya que ninguno se desarrolla aisladamente” Se diseña en circuito lógico como: A) B)
C) D) E)
- La proposición: “ manera que la ‘Las fases de desarrollo biológico y psicológico del niño ‘influencia socio cultural’ de Vigosky. Por lo que el desarrollo moral es propuesto’ es propuesto por Piaget de misma para equilibrar el estado emocional del adolescente”. Se diseña en circuito lógico como: A) B) C) D) E)
- La proposición “El resistor es un componente electrónico que disipa potencia y se opone al paso de la corriente: eléctrica al mismo instante. De manera similar ocurre con el transistor” Tiene como diseño de circuito: A) B) C) D) E)
- El circuito lógico:
Es el complemento de: A) - p B) – q C) - (p q) D) p (q p) p E) – (p q)
- El circuito lógico a conmutadores:
Equivale a: A) p B) – r C) q D) p - r E) - p
p
p
p
q
p
p
r
p
p
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p
p p
p
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- r - p - q r
- p q (^) - p q p
r
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p q s
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p q
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p
p
p q
q p
p
p
p
p
q
p
p
r
p
p
q p q
p
p q (^) p
- La proposición: “Los mochicas predijeron la venida del fenómeno del niño e hicieron sacrificios humanos, salvo que hicieron sacrificios humanos ya que creyeron en el castigo de los dioses”. Equivale en circuito a conmutadores a: A) B)
C) D) E)
- La proposición: “Que la gonadotropina sea una sustancia que se produce en las mujeres embarazadas es suficiente para que los fetos se alimenten y cr dicha sustancia no se produce en ezcan en el mismo instante, o bien necesariamente, comolas embarazadas implica que las mujeres embarazadas abortarán”. Equivale en circuito lógico a: A) B)
C) D) E)
- En el circuito lógico:
Si cada conmutador tiene un costo de S/ 10,00; al simplificarlo se ahorrará: A) S/ 10 B) S/ 15 C) S/20 D) S/ 25 E) S/ 30
- La proposición: “La dialéctica marxista es un método excepto que también una estrategia para interpretar la realidad, ya que, la investigación científica usa la dialéctica marxista solo si es una estrategia para interpretar la realidad”. En circuito a conmutadores tiene un costo de S/ 40.00 soles, pero al simplificarlo se tiene otro circuito cuyo costo mínimo es: A) S/ 5 B) S/ 20 C) S/ 10 D) S/ 30 E) S/ 15
q p
p r
q^ - p^ - q^ r
p p q^ r
p (^) q
p q r s
p p q r
r
p
q p
q (^) - r
p
