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CAPÍTULO 11
LÓGICA CUANTIFICACIONAL
Objetivos:
Simboliza proposiciones y otros enunciados utilizando el lenguaje formal cuantificacional.
Obtiene equivalencias aplicando las leyes del universo infinito de la lógica cuantificacional.
Obtiene inferencias aplicando las leyes del universo finito de la lógica cuantificacional.
La lógica cuantificacional es un área de la lógica de predicados orientada al estudio de las
equivalencias y a las inferencias dándole un carácter matemático a sus procedimientos. Fue
desarrollada en la Época Moderna.
1. CUANTORES.
O Cuantificadores, son términos que indican la cantidad de una proposición categórica. Son de
dos tipos:
1.1. Universalizador.
Designa a un enunciado universal, ya sea afirmativo o negativo. En función a sus
traducciones verbales se tienen 2 variantes:
a) Afirmativo: x( )
Todos, cada uno, quienquiera que sea, cualquiera que sea, los, las, el 100%, etc.
b) Negativo: x( – )
Ninguno, nadie, ni siquiera uno, ni al menos uno, nada, el 0%, etc.
1.2. Particularizador (Existencializador): x( )
Designa a un enunciado particular, ya sea afirmativo o negativo. Lo encontramos como:
Existen, hay, pocos, algunos, la mayoría, al menos uno, muchos, la minoría, varios,
bastantes, solo algunos, unos cuantos, casi todos, casi ninguno, casi no hay, un pequeño
porcentaje, un gran porcentaje, etc.
2. PREDICADOS.
Son términos que designan a una categoría o a una clase. Ejemplos: médico, futbolista, mamífero,
jugar, bailar, etc.
2.1. Monádicos.
Son términos que solo se relacionan con otro predicado mediante un verbo copulativo. Se
les simboliza utilizando la primera letra al lado de una x. Ejemplos: Contador (Cx), Ser vivo
(Sx), Leche (Lx), etc.
2. 2. Diádicos.
Son términos que relacionan a dos o más predicados. También son llamados términos
relacionantes. Se les simboliza utilizando la primera letra al lado de x, y (dependiendo de
los predicados que relaciona). Ejemplos: Jugar (Jxy), Bailar (Bxy), Compartir (Cxy), etc.
3. FORMALIZACIÓN.
3.1. Proposiciones en formas típicas.
a) Universal afirmativa: Todo S es P x (Sx Px)
b) Universal negativa: Ningún S es P x (Sx – Px)
c) Particular afirmativa: Pocos S son P x (Sx Px)
d) Particular negativa: Pocos S no son P x (Sx – Px)
3.2. Proposiciones predicativas y relacionales.
Ejemplos:
Milagritos ingresó a la UNT Im
Edwin y Félix son ingenieros Ie If
Milagros y Jhonson son compadres Cmj
3.3. Un predicado.
Ejemplos:
Varios son artesanos x(Ax)
Todos son académicos x(Ax)
Ninguno es nihilista x(– Nx)
3.4. Dos predicados – no proposiciones
Ejemplos:
Varios son deportistas o músicos x(Dx Mx)
Todos son intelectuales y locuaces x(Ix Lx)
Nota.
Todos los hombres y las mujeres son racionales x[(Hx Mx) Rx]
4. EQUIVALENCIAS.
(En el universo infinito). Son las mismas de la lógica proposicional con el adicional que si el
negador cruza al cuantor, este cambia.
Ejemplos:
Def. del Implicador Conmutación D’ Morgan
x (Sx Px) x (Sx – Px) – x (Sx Px)
x (– Sx Px) x (– Px Sx) x (– Sx – Px)
Negación del Implicador D’Morgan D’ Morgan
- x (Sx Px) – x (Sx) – x (– Sx)
x (Sx – Px) x (– Sx) x (Sx)
- De la expresión: “Ni siquiera una es desordenada” se infiere:
Eva lo mismo que Meylín son ordenadas. 2) Luli tanto como Mary son ordenadas.
Aurea no obstante Paty no son desordenadas.
Laura es desordenada a pesar que Paola también. 5) Ni Mary ni Nicole son ordenadas.
Son falsas:
A) 2 y 3 B) 4 y 5 C) 1, 2 y 4 D) 3 y 5 E) Ninguna
- De la expresión: “No todos son leales” se infiere:
Es mentira que Andy y Juan sean leales. 2) En forma alguna ni Adan ni Saúl son leales.
Liliana, Eliana o Juliana no son leales. 4) O Daniel o Yanina no son leales.
Eva o Encarna no son leales.
Son ciertas:
A) 1, 2 y 4 B) 2, 3 y 5 C) 1, 4 y 5 D) 2, 3 y 4 E) 1, 3 y 5
- La expresión: “Algunos no son tenistas” equivale a:
Si todos son tenistas entonces algunos no son tenistas.
No todos son tenistas aunque, algunos no son tenistas.
Es mentira que ninguno no sea tenista, salvo que algunos no sean tenistas.
Si algunos no son tenistas entonces todos son tenistas.
No solo todos son tenistas sino también no hay no tenistas.
Son correctas:
A) Todas B) Solo 1, 2 y 3 C) Solo 2, 3 y 4 D) Solo 3, 4 y 5 E) Ninguna
- La expresión: “Varios son biocatalizadores o también bioenergéticos” tiene como negación a:
A) Todos no son biocatalizadores ni bioenergéticos.
B) No ocurre que varios no sean biocatalizadores ni bioenergéticos.
C) No todos no son bioenergéticos o también no son biocatalizadores.
D) En modo alguno todos son biocatalizadores tanto como bioenergéticos.
E) En forma alguna quienquiera no es bioenergético y tampoco es biocatalizador.
- La afirmación: “Todos son capitalistas, asimismo todos son poderosos”, implica a:
Augusto y Nicolás son capitalistas, además Augusto y Nicolás no son poderosos.
No siempre, algunos no son poderosos o varios no son capitalistas.
Es falso que algunos no son poderosos, también todos son capitalistas.
Es falso que algunos son capitalistas; pero todos son poderosos.
Cada uno es capitalista y poderoso.
Son ciertas:
A) Solo 2, 3 y 4 B) Solo 1, 2 y 4 C) Solo 1, 4 y 5 D) Solo 2, 3 y 5 E) Todas
- La proposición: “Todos son irresponsables y desobedientes”, equivale a:
A) Ninguno es responsable o todos son obedientes.
B) Todos los desobedientes son responsables.
C) Algunos son responsables, pero hay desobedientes
D) Cualquiera es no responsables a pesar que ninguno es obediente.
E) Es mentira que, varios son responsables o son desobedientes.
CAPÍTULO 12
LÓGICA TRADICIONAL
Objetivos:
Identifica proposiciones categóricas de acuerdo a las formas típicas.
Formaliza proposiciones categóricas utilizando el lenguaje lógico tradicional.
Identifica las relaciones por oposición y obtiene inferencias aplicando las reglas relacionadas al
Cuadro de Boecio.
Obtiene inferencias aplicando las reglas de la conversa, obversa y contrapuesta.
Lógica tradicional es el área de la lógica de predicados orientada a la determinación de
inferencias inmediatas utilizando las formas lógicas clásicas del tipo SaP, SeP, SiP y SoP y sus
relaciones en el Cuadro de Oposición además de la conversa, obversa y contrapuesta.
El lenguaje lógico tradicional también es usado en la resolución de silogismos aristotélicos.
1. FORMAS TÍPICAS DE LAS PROPOSICIONES CATEGÓRICAS.
Quedan determinadas por el cuantor y el verbo.
a) Universal afirmativa:
Forma: Todo S es P ( Ningún S no es P) S a P Distribución:
u
S a
p
P
(u = Universal o distribuido; p = particular o no distribuido)
b) Universal negativa:
Forma: Todo S no es P ( Ningún S es P) S e P Distribución:
u
S e
u
P
c) Particular afirmativa:
Forma: Algún S es P S i P Distribución:
p
S i
p
P
d) Particular negativa:
Forma: Algún S no es P S o P Distribución:
p
S a
u
P
2. INFERENCIAS POR CONVERSIÓN.
Aquellas en las que hay cambios en S P. Son de tres tipos: conversa, obversa y contrapuesta.
Se basan en el análisis del contenido.
2.1. Conversa.
Ocurre un intercambio entre sujeto (S) y predicado (P).
Estructura: S P Convertiente
P S Conversa
Nota.
Siguiendo una secuencia de pasos: S e P
O bversa S a P ’
C onversa P ’ i S Contrapuesta parcial
O bversa P ’ o S ’ Contrapuesta total
Nota.
La diferencia entre la contrapuesta total y la contrapuesta parcial es la obversa.
3. EL CUADRO DE OPOSICIÓN (Cuadro de Boecio).
Es un cuadrado en el que se colocan los 4 tipos de proposiciones categóricas (ver diseño). A cada
pareja se le llama opuestas pero tienen nombres específicos según se muestra:
3.1. Contrarias.
Son las proposiciones tipo A y tipo E. Mantienen la cantidad pero la calidad es diferente.
Inferencias: Las contrarias no son verdaderas a la vez, es decir:
V F
F ¿?
F V
¿? F
(¿? = Podría ser verdadero o podría ser falso = Indeterminado)
3. 2. Contradictorias.
Son las proposiciones tipo A y tipo O, o también la tipo E y la tipo I. Difieren en cantidad y
en calidad.
Inferencias: Las contradictorias tienen valores opuestos, es decir:
V F
F V
F V
V F
SaP SeP
SiP SoP
Contrarias
Subcontrarias
Subalternante Subalternante
Subalterna Subalterna
V F
F V
F V
V F
3. 3. Subcontrarias.
Son las proposiciones tipo I y tipo O. Mantienen la cantidad pero la calidad es diferente.
Inferencias: Las contrarias no son falsas a la vez, es decir:
V ¿?
F V
¿? V
V F
3. 4. Subalternación.
Se da en los laterales. La tipo A es subalternante para la tipo I, la tipo I es subalterna para la
tipo A. La tipo E es subalternante para la tipo O, la tipo O es subalterna para la tipo E.
Inferencias:
Si la subalternante es verdadera, la subalterna también. Si la subalterna es falsa, la
subalternante también; es decir:
V V
F ¿?
¿? V
F F
Ejemplo:
Los valores de verdad de las otras formas, en el Cuadro de Oposición, cuando la forma tipo
SaP es verdadera y cuando es falsa, son:
SaP
(V)
SeP
(F)
SoP
(F)
SiP
(V)
SaP
(F)
SeP
SoP
(V)
SiP
- La proposición: “Algunas golosinas son bebidas”, se infiere de:
Todas las golosinas no son bebidas. 2) Toda bebida es golosina.
Algunas golosinas no son no bebidas. 4) Hay bebidas que son golosinas.
Algunas no golosinas no son bebidas.
Son ciertas:
A) 1, 3 y 5 B) 1, 2, 3 y 4 C) Solo 2, 3 y 4 D) 3, 4 y 5 E) 2, 4 y 5
- La conversa de la obversa de la subalternante de “Muchos electrónicos son cibernéticos”, es:
A) Todos los que no son cibernéticos son definitivamente electrónicos.
B) Quienquiera de los electrónicos son ciertamente cibernéticos.
C) Ni siquiera un no cibernéticos es electrónico.
D) Ni siquiera uno de los electrónicos es objetivamente no cibernético.
E) Hay cibernéticos que no son electrónicos.
- De: “Sin dudas es cierto que todos los paralelepípedos son prismas”, se concluye en:
Algunos prismas son paralelepípedos.
Cualquier no prisma es no paralelepípedo.
Demasiados no prismas no son paralelepípedos.
Todo no prisma no es paralelepípedo.
Algunos paralelepípedos son prismas
Son inciertas excepto:
A) Solo 1, 2 y 3 B) Solo 3, 4 y 5 C) Solo 3 y 4 D) Ninguna E) Todas
- La proposición: “Pocos argumentos no son no leyes científicas”, representa la contrapuesta de la
conversa de la obversa de:
A) Hay argumentos que son leyes científicas.
B) Cualquier no argumento es ley científica.
C) Ni al menos uno de los argumentos es ley científica.
D) Cada uno de los no argumentos son no leyes científicas.
E) Pocos argumentos no son leyes científicas.
- Con relación al Cuadro de Oposición, es cierto que:
Si A es verdadera, entonces E es falsa por ser contraria.
Si E es verdadera, entonces O es falsa por ser subalterna.
Si I es verdadera, entonces A es indeterminada.
Si I es falsa, entonces A es falsa por ser subalternante.
Si O es falsa, entonces A es indeterminada por ser contradictoria.
Son ciertas:
A) 1, 2 y 3 B) 1, 3 y 4 C) 2, 3 y 4 D) Solo 3 y 5 E) 1, 3 y 5
CAPÍTULO 13
LÓGICA DE CLASES
Objetivos:
Formaliza proposiciones categóricas y enunciados con un predicado usando el álgebra de Boole y
los diagramas de Venn.
Obtiene equivalencias aplicando el álgebra de Boole, la Teoría de Clases y los diagramas de Venn
Obtiene equivalencias e inferencias aplicando las reglas del álgebra de Boole.
Obtiene equivalencias e inferencias aplicando los criterios de los diagramas de Venn.
1. Teoría de Clases.
1.1. Noción de clase.
Cantidad de objetos que tienen una cualidad común. Ejemplos: silla, alumnos etc.
1.2. Tipos de clases.
a) Universal.
La clase universal es aquella que incluye a todos los elementos presentes en un contexto
determinado. Se le simboliza por U.
b) Vacía o Nula.
La clase nula o vacía es aquella que no incluye a elemento alguno en un contexto
determinado. Se le simboliza por .
c) No Vacía.
La clase particular es aquella que incluye a algunos de los elementos presentes en un
contexto determinado.
1.3. Operaciones entre clases.
a) Producto (Intersección).
Se dice que una clase C es el producto de las clases A y B cuando C es la clase
compuesta de todos los elementos que pertenecen simultáneamente a las clases A y B.
El producto de clases es conmutativo así como asociativo.
El símbolo del producto de clases es: “” o “x”
Así, A B se lee “El producto lógico de las clases A y B”
b) Suma (Unión).
Se dice que una clase C es la suma lógica de las clases A y B cuando C es la clase
compuesta de todos los elementos que pertenecen a la clase A o a la clase B, o a ambas
a la vez. La suma de clases es conmutativa como asociativa.
El símbolo de la suma de clases es: “” o “+”
2.1. Universal afirmativa.
Mediante el álgebra de Boole: S P=
Se interpreta como: “No existen elementos S que no estén en P”
2.2. Universal negativa.
Mediante el álgebra de Boole: SP =
Se interpreta como: “No existen elementos S que estén en P”
2.3. Particular afirmativa.
Mediante el álgebra de Boole: SP
Se interpreta como: “Existen elementos S que están en P”
2.4. Particular negativa.
Mediante el álgebra de Boole: S P
Se interpreta como: “Existen elementos S que no están en P”
2.5. Proposiciones atípicas.
a) Forma: “Todo no S es P”
Mediante el Álgebra de Boole: S
P=
Se interpreta: “No hay elementos no S que estén en no P”
b) Forma: “Algunos no S son no P”
Mediante el Álgebra de Boole: S P
Se interpreta como: “Existen elementos no S que son no P”
S P
S P
x
S P
x
S P
x
S P
S P
3. DIAGRAMAS Y VALIDEZ.
El uso de los diagramas de Venn es un método muy eficaz para probar la validez de las
inferencias inmediatas en la lógica de predicados. La regla es muy sencilla: “en una inferencia
inmediata; si tanto la premisa como la conclusión tienen el mismo diagrama, entonces la
inferencia es válida”
Ejemplo:
Premisa: “Todos los mamíferos son seres vivos”
Diagrama:
Conclusión: “No hay mamíferos que no sean seres vivos”
Diagrama:
Luego, la inferencia es válida.
3.1. El Contenido existencial.
Solo se utiliza para el caso en que de una premisa universal se infiere una premisa
particular.
Son dos las proposiciones que cumplen con el contenido existencial. Ejemplo:
De la proposición: “Ningún pez es ave” P A =
Se presupone: P o A
Se puede derivar: P A o A P
Si se acepta que una de las componentes de la proposición universal es una clase no
vacía, la otra componente debe ser una clase vacía lo cual conlleva al producto igual a
una clase vacía.
Si se presupone a una de las componentes de la proposición categórica vacía, su
complemento debe ser una clase no vacía.
Ejemplo:
De: “Todos los rumiantes son mamíferos”.
Se infiere : “Algunos rumiantes son mamíferos”
Formulación de las proposiciones mediante Álgebra de Boole:
Premisa: R M=
Conclusión: RM
Diagramas:
Premisa:
Conclusión:
Como se observa, ambos diagramas son diferentes por lo que la inferencia sería no válida.
Sin embargo, al presuponer que: R o M , la inferencia es válida.
M S
M S
R M
R M
x
El argumento no es correcto. 2) Es válido aplicando el contenido existencial.
La conclusión es la negación de una proposición del tipo SeP.
La premisa tiene la forma: – (S o P). 5) Es un razonamiento válido.
Son inciertas:
A) 1 y 2 B) Solo 3 y 5 C) 2 y 3 D) 3, 4 y 5 E) 1, 3 y 4
- El diagrama:
Dónde:
M = Maestros
Equivale a:
No muchos son maestros. 2) No hay los que dejan de ser maestros.
Pocos son maestros. 4) Ninguno deja de ser maestros.
Cualquiera no se da que sea maestro.
Son inciertas:
A) 1, 2 y 3 B) 2, 3 y 4 C) 3, 4 y 5 D) Solo 1 y 5 E) Solo 4 y 5
- El diagrama:
Representa el complemento de:
A) Los burócratas son coimeros. B) Ningún burócrata es coimero.
C) Es falso que ningún burócrata es coimero. D) Muchos burócratas no son coimeros.
E) Cada uno de los no burócratas son coimeros.
- En el gráfico:
Se lee:
1) [B. (C + A) ’ ] + (C. B) ≠ 2) [B. (C + A) ’ ] + (C. B) = 3) (A + B) ’ =
4) (A + B) ’ ≠ 5) B. A ’ =
Son ciertas:
A) 1, 4 y 5 B) 2, 4 y 5 C) 2, 3 y 4 D) 2, 3 y 5 E) Ninguna
- El diagrama:
Dónde:
U = Universitario
T = Técnico
Es el complemento de:
No todos los técnicos son universitarios.
Muchos no universitarios no son técnicos.
Varios no técnicos sin duda son no universitarios.
Es mentira que, todos los no técnicos no son no universitarios.
Ningún no técnico es universitario.
Son inciertas:
A) Solo 2 y 3 B) 2, 3 y 4 C) 1, 3 y 5 D) Solo 1 y 5 E) 2 y 5
A B
x
x
x
x x
A
B
C
x
U T
M
CAPÍTULO 14
SILOGISMOS
Objetivos:
Identifica los componentes de un silogismo aristotélico.
Aplica las reglas de inferencia silogísticas (Cuantificacional, booleana, tradicional o diagramas)
para obtener la conclusión a partir de premisas dadas.
Determina la validez de un silogismo utilizando los diferentes criterios de formales
(Cuantificacional, booleana, tradicional o diagramas).
1. SILOGISMOS Y LÓGICA TRADICIONAL.
1.1. Características.
Contiene solo tres proposiciones: premisa mayor, premisa menor y conclusión.
Contiene tres términos: S = Sujeto (término menor), M = Medio (Término medio) y P =
Predicado (Término Mayor).
El término medio solo va en las premisas.
El sujeto de la conclusión es el término menor y aparece en la premisa menor.
El predicado de la conclusión es el término mayor y aparece en la premisa mayor.
1.2. Reglas Aristotélicas.
El término medio debe estar distribuido (incluido) por lo menos en una de las premisas.
No puede haber en la conclusión ningún término distribuido (incluido) que no lo esté
también en las premisas.
De dos premisas afirmativas no se puede concluir una negativa.
De dos premisas universales negativas nada se concluye.
La conclusión sigue siempre a la premisa débil, entendiéndose por tal la premisa
particular o la negativa.
De dos premisas particulares nada se concluye.
1.3. Figuras del silogismo.
1° Figura 2° Figura 3° Figura 4° Figura
M P
S M
S P
P M
S M
S P
M P
M S
S P
P M
M S
S P
1.4. Modos del silogismo.
Un modo está determinado por los tipos de proposiciones categóricas que contiene. Como
todo silogismo contiene solo tres proposiciones categóricas y éstas a su vez son de cuatro
tipos (A, E, I, O), el número de modos es 4
3
= 64; pero como son cuatro figuras y a cada una
le correspondería 64, el número total de modos posibles es 64 x 4 = 256. Sin embargo de
todos ellos se consideran válidos y demostrables en la lógica matemática solamente 15.
4. EL SORITES
Llamado también poli silogismo. Está formado por 3 o más premisas.
Puede ser resuelto por partes, es decir, (P 1 P 2 ) C 1 ; (C 1 P 3 ) C 2 ; etc.
Ejercicios de evaluación
- De las premisas: “Cada militante es activista, aun cuando, demasiados congresistas no son
activistas”. Se concluye:
A) Pocos activistas son congresistas. B) Varios congresistas no son militantes.
C) No existen congresistas que no sean militantes.
D) Es imposible que ningún militante sea activista. E) Todos son congresistas o militantes.
- Las premisas del silogismo
representado por el diagrama:
Son:
1) MS = 2) PM
3) M S= 4) M S 5) S P
Son ciertas:
A) Solo 2 y 3 B) 1 y 3 C) 4 y 5 D) 2 y 4 E) 2, 3 y 5
- En el diagrama:
La conclusión que se lee es:
A) Cualquier no A es no C
B) Muchos no C no son A
C) Cada A es no C
D) Ciertos no A no son no C
E) Pocos no B no son tampoco C
- En el diagrama:
Donde:
V = Visionarios
E = Empresarios
I = Ingenieros
La conclusión que se lee, es:
A) La mayoría de ingenieros son empresarios. B) Pocos empresarios no son visionarios.
C) Ciertos ingenieros no son visionarios. D) Todo visionario es empresario.
E) Es imposible que cada empresario sea visionario.
- De las premisas:
P1: Cualquier futbolista es deportista
P2: Ningún nadador es tenista
P3: Muchos tenistas son futbolistas
Se infiere:
S M
P
x x
x
V E
I
x
A) Al menos un deportista es nadador. B) Al menos un nadador no es deportista.
C) Al menos un deportista no es nadador. D) Algún no deportista no es nadador.
E) Cualquier nadador no es deportista.
- En el diagrama:
La conclusión final es:
A) Cada A es C
B) Ciertos no D son C
C) Pocos B no son D
D) Ningún A es B
E) No todos los D son C
- De las premisas:
P1: P Q P2: ( R P= )
Se concluye:
A) R Q B) R Q C) Q R= D) (Q R= ) E) (R Q= )
- De las premisas formales:
P1: – (F K ’ = ) P2: – (F ’ A ’ = )
Se infiere:
A) AK B) A ’ K C) – (AK ’ = ) D) – (A ’ K ’ ) E) – (AK )
- En el gráfico:
Donde
P = Peruanos
C = Chilenos
I = Ingenieros
La conclusión que se lee, es:
Ningún peruano es chileno. 2) Por lo menos un peruano no es chileno.
Muchos ingenieros no son chilenos. 4) Por lo menos un ingeniero es peruano.
Varios no chilenos no son no peruanos.
Son ciertas:
A) 1, 3 y 4 B) Solo 2 y 5 C) Solo 3 y 4 D) 2, 3, 4 y 5 E) 1, 2 y 5
- En el gráfico:
Donde
T = Trujillanos
A = Ajedrecistas
D = Deportistas
La conclusión que se lee, es:
A) Ningún trujillano es ajedrecista. B) Todo no deportista es ajedrecista.
C) Cualquier ajedrecista es deportista. D) Ningún no ajedrecista no es deportistas.
E) Cualquier no trujillano no es no deportista.
P C
I
X
x
T D
A
