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Asignatura: Matemàtiques I, Profesor: , Carrera: Dret + Administració i Direcció de Empreses o Economia, Universidad: UPF
Tipo: Apuntes
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Professors: Angel Gil (coord.), Mireia L´opez, Joan Miralles,
Ramon Villanova
La referencia basica ´es el mateix llibre que usarem durant el curs regular: S&H=Sydsaeter&Hammond ”Matem´aticas para el
An´alisis Econ´omico”. Ed. Prentide&Hall (1a^ o 2a edici´o)
Operacions amb reals; propietats
ancia dels parentesiper avaluar una expressi´o:
I (^) Pot`encies i arrels - Productes i quocients - Sumes i restes I (^9) − 7 + 5 + 2 − 6 + 8 − 3 = 8 I (^3) ∗ 2 − 5 = 1 mentre que 3 ∗ (2 − 5) = 3 ∗ (−3) = − 9 I (^) 10 : 2 + 3 ∗ 5 + 4 = 5 + 15 + 4 = 24 mentre que 10 : (2 + 3) ∗ 3 + 4 = 2 ∗ 3 + 4 = 10. I (^2) ∗ 32 = 2 ∗ 9 = 18 mentre que (2 ∗ 3)^2 = 36
Escrivim : i / per a quocients i ∗ o · per el producte.
Operacions amb reals; propietats
m´es 4”? Escriu les operacions que cal realitzar amb els par`entesis que calguin.
La geometria de (a + b)^2
Recordem que a^2 denota el producte de a per a, ´es a dir
a^2 = a ∗ a
Geom`etricament
Si en comptes de tenir exponent 2 tenim altre exponent natural,
ak^ = a︸ ∗ · · · ∗︷︷ a︸
k
La geometria de (a + b)^2
2
Recordem que (a + b)^2 es l’area del quadrat de costat a + b, i que, tal i como es veu en el seg¨uent grafic,
es t´e que (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2.
Propietat distributiva i factor com´u
(^3) t (^2) x 2 per a obtenir t k x
(^2) + x k +^
k^2 t^2 x^2
Propietat distributiva i factor com´u (a + b)^2
De vegades resulta problematic el calcul de (a + b)^2 ; usant la propietat distributiva podem obtenir f`acilment que
(a + b)
2 = (a + b) ∗ (a + b) = a ∗ (a + b) + b ∗ (a + b)
= a ∗ a + a ∗ b + b ∗ a + b ∗ b = a^2 + 2ab + b^2
Es important recordar que
(a + b)^2 6 = a^2 + b^2
com es pot veure geometricament, ja que a^2 + b^2 ´es nom´es la suma de lesarees dels quadrats de costats a i b.
Arrels quadrades
Recordem que si x ≥ 0, aleshores
√ x
´es aquell nombre no negatiu tal que
√ x ∗
x =
x
= x
Aix´ı doncs tenim que
√ x ≥ 0 i
x
= x
Observeu que per tant
Arrels quadrades
L’arrel quadrada
a ∗ b =
a ∗
b
(
x^2 n^ = xn^ (per exemple
a +
b (per exemple 3 =
Pot`encies
Les funcions de la forma f (x) = xn^ on n es un nombre enter
s’anomenen funcions potencials. Per a repassar-les cal recordar les
propietats dels exponents:
n
n xk^ =^ x
n−k
a b
= a
K bK
encia d’una potenciaxK^
= xKL.
Pot`encies
Calculeu
encies al maxim en 2^3 ∗ 64 ,encies al maxim en 2^3 + 6^4encies al maxim en a^3 ∗ 6(ab)^4 ,encies al maxim en a^3 + (ab)^43 62
(ac)^3 (ab)^2
Pot`encies
ja que √K xL^ = x
L K
Per exemple
x^3 = x
3 4
x^2 = x
2 (^4) = x
1 2
x−^3 = x
− 3 (^5) = √ 51 x^3
x ∗ y = (x ∗ y )
1 (^2) = x
1 (^2) y
1 2
x^5 = 2 ⇒ x
5 (^4) = 2 ⇒
x
5 4
5 = 2
4 (^5) ⇒ x = 2
4 5
Potencies Arrels i potencies
Moltes vegades podem simplificar arrels factoritzant el radicand i despr´es aplicant les propietats de les funcions potencials (ens
ajudar`a escriure les potencies i les arrels como a exponents):
I