Teorema de Lagrange: Suposem que f i g tenen derivades parcials
contínues a una regió A del pla i que x0, és un punt interior d’A i òptim
local per a f amb la restricció g(x) = c. Suposem a més que no s’anul·len a
la vegada gx’(x0) i gy’(x0). Aleshores existeix un únic nombre
tal que la
funció Lagrangiana: L(x) = f(x) –
(g(x) – c) té un punt estacionari en x0.
(Suficiència global) Suposem que les funcions f i g del nostre problema
són contínuament diferenciables en un conjunt obert i convex A del pla i
sigui x0 un punt estacionari de la funció Lagrangiana: L(x) = f(x) –
(g(x) –
c). Suposem que a més g(x0) = c. Aleshores:
si L(x) còncava x0 és màxim de f
si L(x)convexa x0 és mínim de f
Interpretació dels multiplicadors de Lagrange
*()
**
11
() ( ) ( ) ( ) ( ) ... ( )
i
dc petits
i m m
i
df c c f c dc f c c dc c dc
dc
Suposem que un punt x0 és solució del problema
1 1 2 1
12
12
( , ,..., )
( ) ( , ,..., ) .... ... ...
( , ,..., )
n
n
m n m
g x x x c
màx mín f x x x amb
g x x x c
On f, g1,…, gm són funcions contínuament diferenciables.
Condicions necessàries de Kuhn-Tucker
Suposem que els vectors gradient de g1,…, gm són linealment independents. Sigui x0
un òptim pel problema anterior. Aleshores, existeixen uns únics nombres
1,...,
m
tals que:
a) x0 és un punt estacionari de la funció Lagrangiana corresponent, i
b)
j (gj(x0) - c ) = 0, per a tot j = 1,…, m.
A més, si x0 és un màxim es compleix que totes les
1,...,
m són positives, i si x0 és
un mínim aleshores totes les
1,...,
m són negatives.
Condicions suficients de Kuhn-Tucker
(i) Suposem que la funció Lagrangiana associada és còncava i que existeixen uns
únics nombres
1,...,
m
0
tals que es compleixen les condicions necessàries a) i b)
de Kuhn-Tucker per a un cert punt x0 . Aleshores x0 és un màxim.
(ii) Suposem que la funció Lagrangiana associada és convexa i que existeixen uns
únics nombres
1,...,
m
0
tals que es compleixen les condicions necessàries a) i
b) de Kuhn-Tucker per a un cert punt x0. Aleshores x0 és un mínim
