¡Descarga Decaimiento radiactivo y más Diapositivas en PDF de Geología solo en Docsity!
7. DECAIMIENTOS NUCLEARES
7.1 Introducción. Tipos de decaimientos
Ahora que ya tenemos una idea más detallada de la constitución del núcleo atómico, vamos a estudiar en mayor profundidad sus posibles tipos de decaimiento. Como hemos estudiado en su momento, fue precisamente a través de ellos que se tuvo la primera evidencia experimental de la existencia de la estructura subatómica. Algunas de las leyes que regulan estos decaimientos fueron establecidas rápidamente después del descubrimiento de los rayos α, β y γ, hacia fines del siglo XIX. Otras fueron establecidas bastante más tarde, al igual que la existencia de otros tipos de decaimientos (fisión, etc.). En todo caso, llevó muchos años establecer una teoría precisa que explicara en cierto detalle los mecanismos involucrados en cada tipo de decaimiento. En general, podemos decir que un núcleo que se encuentra en un estado energéticamente inestable pierde energía ya sea a través de la emisión de partículas o de radiación electromagnética. Este proceso continua hasta que se llega a un núcleo final en su estado fundamental. El tipo de emisión está determinado por la energética de los distintos procesos posibles y por la estructura de los estados iniciales y finales. Usualmente, si la emisión de partículas es energéticamente posible éste es el proceso que ocurre con mayor probabilidad, seguido luego por la emisión de radiación electromagnética. Cuando el núcleo A X (^) Z llegó a su estado fundamental, la subsiguiente emisión de rayos γ es imposible. Sin embargo, si
todavía es inestable puede decaer por emisión β al estado fundamental o a estados excitados de los isóbaros con Z ± 1 , o por emisión α al núcleo X (^) Z^ A −− 42. Si decae a un estado excitado, luego seguirá
decayendo a través de emisión γ hasta llegar al fundamental, etc. En algunos casos todos los posibles modos de decaimiento están en competencia. Como ya hemos mencionado varias veces, la historia de los decaimientos nucleares comienza con el descubrimiento de la radiactividad natural por Becquerel. La naturaleza de los rayos α fue determinada por Rutherford en los primeros años del siglo XX. Sin embargo, sólo hacia fines de los años 20, Gamow y Condon lograron desarrollar una teoría cuántica que explique dichos decaimientos. La idea de utilizar las partículas α como proyectil fue muy fructífera ya que dio lugar a diversos nuevos descubrimientos; por ejemplo, el ya mencionado descubrimiento del neutrón en 1932 y el de la radioactividad artificial, es decir la producción de nuevas sustancias radioactivas a partir de reacciones nucleares, por F. Joliot e I. Curie en
- Esto último fue muy importante ya que, no solo dio lugar a nuevos experimentos que permitieron producir diversas sustancias radiactivas, sino llevó al descubrimiento de un nuevo tipo de decaimiento β, el llamado decaimiento β +. Este decaimiento corresponde a la emisión por parte de una sustancia radioactiva de un positrón o la captura de un electrón atómico (del orbital K) por el núcleo. Estos mecanismos siempre están en competencia y hacen que el isótopo radioactivo se transforme en un isótopo de igual masa y una unidad de carga menos. Por otra parte, en 1940 G. N. Flerov y J. Petrjak descubrieron que el uranio natural (99,27 % U^238 , 0.72 % U^235 , 0.0055 % U^234 ) se fisiona espontáneamente, es decir se separa en dos fragmentos aproximadamente iguales. Esta forma de decaimiento sólo ocurre para núcleos muy pesados. Finalmente, existen otros decaimientos más exóticos, tales como la emisión simultánea de 3 partículas α, el decaimiento doble β (p.ej. Se 82 → Kr 82 ), etc. En lo que sigue nos dedicaremos principalmente a los decaimientos α, β y γ. El estudio sistemático de las sustancias radioactivas naturales ha demostrado que se trata, en general, de isótopos de elementos pesados y que forman parte de unas pocas llamadas series radioactivas.
Cada una de estas series se origina en un isótopo cuyo tiempo de decaimiento es lento comparado con la edad de la Tierra. Existen, sin embargo, algunos isótopos radioactivos livianos.
7.2 Leyes de decaimiento.
En el curso de las primeras investigaciones sobre decaimientos nucleares, Rutherford y Soddy establecieron que en el caso en que uno de los productos radioactivos haya sido separado y sus decaimientos estudiados en forma independiente de la sustancia radiactiva que le dio origen (padre), se encuentra siempre que el número de decaimientos por unidad de tiempo decrece en forma exponencial con el tiempo. Esto se conoce como ley del decaimiento radioactivo. Si llamamos N(t) al número de átomos de una sustancia radioactiva al tiempo t y dN(t) a la disminución de dicho número en el intervalo de tiempo dt , esta ley implica que
dN / dt N
λ = − Equation Section 7(7.1)
es una constante independiente del tiempo. La constante λ se denomina constante de decaimiento y determina la probabilidad de decaimiento por unidad de tiempo. Esta magnitud es una constante característica de la sustancia y no depende del estado físico o químico de la misma (como presión, temperatura, concentración o edad). Integrando la Ec. (7.1) se obtiene
( 0 ) ( ) (^0) N t = N ⋅ e −^ λ t^ − t (7.2)
donde N 0 es el número de átomos radiactivos a un tiempo arbitrario t 0. Por simplicidad, usualmente se toma t 0 (^) = 0. Ec.(7.2) implica que el tiempo promedio de supervivencia de un átomo a partir de un t 0
arbitrario es independiente de t 0. Dicho tiempo τ se denomina vida promedio y su expresión en función de la constante de decaimiento es
(^0 0 ) 0 0 0
0 (^0 0) ( ) 0 0 0 0
N t (^) t t t N t
dN t t dt N t t t dt t t N e dN dt N t N
λ λ τ λ λ λ
∞ ∞ (^) − ⋅ − ∞
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
También es conveniente definir la llamada vida media T1/2. Esta magnitud corresponde al intervalo de tiempo en el cual un número dado de átomos de una sustancia se reduce a la mitad y que es característico de cada sustancia. Es decir, que la vida media satisface
(^00) 1 / 2 2
N (^) = N ⋅ e − λ ⋅ T (7.4)
de donde resulta
1/ 2
ln 2 T τln 2 λ
Las teorías de la formación de los elementos (núcleosíntesis) indican que, cuando los elementos se forman (principalmente en el interior de las estrellas), además de los elementos estables que existen en la Tierra se crean muchos elementos radioactivos, y entre ellos isótopos de los transuránicos ( Z > 92 ) que no tienen isótopos estables. Sin embargo, la mayoría de ellos tienen una vida media T1/2 mucho menor que el tiempo de existencia de la Tierra (~ 4.5 × 10 9 a ) y por lo tanto ya han decaído a núcleos estables. O sea que los que han sobrevivido y se encuentran hoy día en forma natural, o tienen vida media muy larga, o se producen continuamente a partir de sus precursores los cuales tienen vidas muy largas. La gran mayoría de los isótopos radioactivos naturales existentes pueden agruparse en tres series que se originan en los isótopos indicados en la Tabla 7.1.
Elemento Vida media Nombre de la serie
Nombre alternativo de la serie Th (^232) 1.4 × 10 10 a Serie del torio 4n U^238 4.5 × 109 a Serie del uranio 4n + 2 U^235 7.0 × 108 a Serie del actinio 4n + 3
Las masas (en amu) de los miembros de cada una de estas series están aproximadamente dadas por las expresiones que aparecen a la última columna de la tabla con n variando, de acuerdo a la serie, de 51 o 52 a 58 o 59. Estas series comienzan en el nucleido mencionado y decaen por emisión de partículas α o β hasta terminar en isótopos estables del plomo. Los miembros de estas series se indican en las Tablas 7.2, 7.3 y 7.
Energía (MeV) Elemento Símbolo Vida media α β γ Porcentaje de ocurrencia γ 90 Torio Th (^232) 1.4 × 10 10 a 4.00 (^) ⎯⎯⎯ 0.06 23 88 Radio Ra^228 5.8 a (^) ⎯⎯⎯ 0.054 (^) ⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯ 89 Actinio Ac^228 6.13 h (^) ⎯⎯⎯ 1.11 0.09 30 90 Torio Th 228 1.91 a 5.43 (^) ⎯⎯⎯ 0.08 28 88 Radio Ra^224 3.7 d 5.68 (^) ⎯⎯⎯ 0.24 5 86 Radón Rn 220 55.6 s 6.29 (^) ⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯ 84 Polonio Po 216 145 ms 6.78 (^) ⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯ 82 Plomo Pb 212 10.6 h (^) ⎯⎯⎯ 0.36 0.238 81 83 Bismuto Bi^212 60.6 m 6.05 2.20 0.04 17 84 Polonio Po 212 300 ns 8.78 (^) ⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯ 81 Talio Tl 208 3.1 m (^) ⎯⎯⎯ 1.79 2.62 100 82 Plomo Pb 208 Estable
Tabla 7.1: Isótopos que generan las tres series radioactivas naturales..
Tabla 7.2: Isótopos de la serie de Th 232.
Energía (MeV) Elemento Símbolo Vida media α β γ Porcentaje de ocurrencia γ 92 Uranio U^238 4.5 × 10 9 a 4.2 (^) ⎯⎯⎯ 0.048 23 90 Torio Th 234 24.1 d (^) ⎯⎯⎯ 0.19 0.09 4 91 Protoactinio Pa^234 1.17 m (^) ⎯⎯⎯ 2.29 1.0 0. 92 Uranio U^234 2.5 × 10 5 a 4.8 (^) ⎯⎯⎯ 0.05 28 90 Torio Th (^230) 7.5 × 10 4 a 4.8 (^) ⎯⎯⎯ 0.068 24 88 Radio Ra^226 1600 a 4.8 (^) ⎯⎯⎯ 0.186 4 86 Radón Rn^222 3.82 d 5.49 (^) ⎯⎯⎯ 0.5 0. 84 Polonio Po 218 3.05 m 6.00 (^) ⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯ 82 Plomo Pb 214 26.8 m (^) ⎯⎯⎯ 0.65 0.24 4 83 Bismuto Bi^214 19.9 m 5.5 1.5 0.61 47 84 Polonio Po (^214 164) μ s 7.7 (^) ⎯⎯⎯ 0.8 0. 82 Plomo Pb 210 22.3 a (^) ⎯⎯⎯ 0.016 0.046 81 83 Bismuto Bi^210 5.0 d (^) ⎯⎯⎯ 1.16 (^) ⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯ 84 Polonio Po 210 138 d 5.30 (^) ⎯⎯⎯ 0.80 0. 82 Plomo Pb 206 Estable
Energía (MeV) Elemento Símbolo Vida media α β γ Porcentaje de ocurrencia γ 92 Uranio U^235 7.0 × 10 8 a 4.38 (^) ⎯⎯⎯ 0.185 12
90 Torio Th 231 25.5 h (^) ⎯⎯⎯ 0.30 0.25 90 91 Protoactinio Pa^231 3.3 10^4 a 5.06 (^) ⎯⎯⎯ muchas 89 Actinio Ac^227 21 8 a 4.95 0.046 muchas 90 Torio Th 227 18.7 d 6.04 (^) ⎯⎯⎯ muchas 88 Radio Ra^223 11.4 d 5.86 (^) ⎯⎯⎯ muchas 86 Radón Rn 219 4.0 s 6.82 (^) ⎯⎯⎯ 0.27 11 84 Polonio Po 215 1.78 ms 7.38 (^) ⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯ 82 Plomo Pb 211 36.1 m (^) ⎯⎯⎯ 1.36 0.83 20 83 Bismuto Bi^211 2.15 m 6.62 0.59 0.35? 81 Talio Tl 207 4.79 m (^) ⎯⎯⎯ 1.44 0.90 0. 82 Plomo Pb 207 Estable
Tabla 7.3: Isótopos de la serie de U^238.
Tabla 7.4: Isótopos de la serie de U^235.
Salvo dos, todos los isótopos que aparecen en la Tabla 7.5 tienen vida medias suficientemente largas como para encontrarse en la Tierra en forma natural. Las dos excepciones son el H^3 (tritón) y el C 14 que se forman continuamente aún hoy en dia. El tritón se forma a partir de reacciones inducidas por rayos cósmicos. Dos de ellas son
14 12
d d t p n N C t
Por otro lado una reacción de creación C 14 es
n + N^14 → C^14 + p
Dado que el flujo y composición de los rayos cósmicos ha sido prácticamente constante a lo largo de grandes períodos de tiempo, es de esperar que el porcentaje de C^14 en la composición natural del carbono sea constante. Este hecho se usa para estimar la edad de objetos y artefactos que contienen material orgánico (madera y pinturas) midiendo la relación de C^14 a C^12. Además de las sustancias enumeradas, se conocen hoy en día una gran cantidad de especies radiactivas creadas artificialmente, ya sea en el laboratorio o en explosiones nucleares.
7.4 Decaimientos dentro de las series radioactivas.
Hemos visto que la actividad de una sustancia radiactiva aislada sigue una simple ley exponencial. Sin embargo si la sustancia no está aislada de sus progenitores su actividad no presenta un decaimiento puramente exponencial. Esto se debe a que, por poder ser continuamente creada, la correspondiente actividad depende del tiempo no sólo a través de la vida media de la sustancia sino también de las de sus progenitores. No vamos a considerar aquí el caso más general, sino que nos vamos a referir al caso particular en que el isótopo en cuestión (al que llamaremos hijo ) tiene un solo precursor (que denominaremos padre ) que decae en él con una constante de decaimiento relativa f. Sea N 1 (t) el número de núcleos del padre al tiempo t y N 2 (t) el número de núcleos del hijo. La actividad del padre (que en el caso de emisión α o γ se puede separar claramente de la correspondiente al hijo) decrece exponencialmente con una constante de decaimiento λ 1. Por lo tanto, la variación del número de núcleos del hijo dN 2 en un intervalo dt está dada por
dN (^) 2 = ( f λ 1 N 1 (^) − λ 2 N (^) 2 ) dt = ( N 1 (^) (0) f λ 1 ⋅ e −^ λ^1 ⋅ t − λ 2 N 2 ) (7.11)
Hay que tener en cuenta que en la Ec.(7.11) la cantidad dN (^) 2 corresponde a la variación total del número
de núcleos del hijo en el intervalo dt. Si, experimentalmente, uno no midiera la actividad total del hijo sino, p. ej : el número de partículas α de una cierta energía emitidas en dt por el hijo con constante de decaimiento relativa f α , entonces para obtener la cantidad dN (^) 2 que entra en la ecuación anterior la
actividad medida debe ser dividida por f α. Si a t = 0 , el número de núcleos del hijo es N 2 (0) = 0, la Ec.(7.11) puede ser fácilmente integrada dando por resultado
2 1 1 (^1 2 )
2 1
N ( ) t f N (0) e^ λ t^ e λ t λ λ λ
= −^ − −
Existen dos casos límites de interés practico en que se pueden obtener formas simplificadas de la Ec.(7.12)
(a) Si se verifica que λ 1 << λ 2 : En este caso el hijo tiene una vida media mucho más corta que el padre,
es decir ( T 1 / 2 ) 2 << ( T 1/ 2) 1. En esta situación se puede aproximar λ 2 − λ 1 ≅ λ 2. Además, para tiempos
no muy largos se puede considerar e −^ λ^1 t ≅ 1. Con estas aproximaciones se obtiene
2 1 1 (^2 )
2
N ( ) t f N (0) 1 e^ λ t
λ λ
Por la tanto para valores de t en el rango ( T 1/ 2 ) 2 << t << ( T 1/ 2) 1 , N 2 (t) alcanza un valor de equilibrio
dado por :
1 2 1 2
N equil f N (0)
λ λ
ya que el hijo decae ni bien se forma. En ejemplo de esta situación se ilustra en la Fig.7.1 para el decaimiento del Ra^226 en Rn 222.
(b) Si se verifica que λ 1 >> λ 2 : En este caso el hijo tiene una vida media mucho mas larga que el padre. El número de núcleos del hijo al principio crece rápidamente, alcanza un máximo y luego comienza a decrecer. Después de pasado unas 10 veces el tiempo de vida media del padre es posible suponer
Fig.7.1: Variación con el tiempo de la cantidad de Rn 222 , cuya vida media es de 2.62 d, y que se forma por el decaimiento (con f =1) del Ra^226 , cuya vida media es de 1600 a.
Algunas veces es necesario considerar toda una serie de decaimientos. El correspondiente análisis puede ser tratado en forma analítica resolviendo un conjunto de ecuaciones diferenciales acopladas, llamadas usualmente ecuaciones de Bateman. Si consideramos la serie de decaimientos
1 → 2 → 3 → ... → k -1 → k → ...→ N
la variación con el tiempo del nucleido k está dada por,
dN (^) k = ( λ k -1 N (^) k -1 - λ k Nk ) dt (7.17)
que es la k -ésima ecuación del conjunto acoplado de ecuaciones. Suponiendo que para t = 0 sólo N 1 (0) ≠ 0, la integración de las ecuaciones da por resultado:
( ) 1 (0) ( 1 1 2 2 ... k^ )
t t t Nk t N h e h e h ek = −^ λ + −λ^ + + −^ λ (7.18)
donde
1
j k i j k ii j i j
h
λ (^) λ λ (^) = λ λ ≠
Fig.7.3: Variación con el tiempo de la cantidad de Ra 223 , cuya vida media es de 11.4 m, y que se forma por el decaimiento del Th 227 , cuya vida media es de 18.7 m. También se indica el decaimiento de este último. Para t ~ 50 d ya se ha alcanzado el equilibrio secular.
7.5 Creación y decaimiento de isótopos radioactivos artificiales.
Como la gran mayoría de los isótopos radioactivos artificiales son creados usando fuentes tales como reactores nucleares, aceleradores, etc, la situación en cuanto a los decaimientos sucesivos es diferente de la recién estudiada. Esto se debe a que, mientras la fuente está activa, los distintos isótopos que forman la cadena pueden ser producidos ya sea directamente por la fuente o por el decaimiento de precursores también producidos por la fuente, cada uno con distintas probabilidades. En este caso la ecuación diferencial que debe satisfacer la variación del número de átomos de cada nucleido tiene un término adicional debido a la fuente y cuya dependencia temporal puede no ser conocida. Aquí consideraremos sólo dos casos muy simplificados que, sin embargo, tienen importantes aplicaciones ya que se refieren a experimentos típicos en los cuales las reacciones nucleares son inducidas por un haz interactuando con un blanco en el intervalo 0 ≤ t ≤ T : a) El isótopo se produce sólo por efecto de la irradiación del blanco; b) El isótopo se produce tanto por efecto de la irradiación del blanco como por el decaimiento de un padre también producido durante la irradiación. En el caso a) tenemos un isótopo radioactivo con constante de decaimiento λ que se crea debido a la irradiación de n núcleos blancos por un haz de intensidad I(t) y que se produce durante el intervalo de tiempo 0 < t < T. Si llamamos σ a la sección eficaz de la reacción que produce el isótopo tenemos entonces que para t ≤ T , el incremento del número de átomos del mismo en dt es
dN = ( σ n I t ( ) − λ N ) dt para t ≤ T (7.20)
Resolviendo esta ecuación con la condición N (0) = 0 se obtiene que para t = T
' ( ) 0 ' ( ') T T t N T = σ n e −^ λ ∫ dt I t e λ (7.21)
Para t > T el número de átomos disminuye debido a los procesos de decaimientos. Por lo tanto, la variación de dicho número en un intervalo dt es
dN = − λ N dt para t > T (7.22)
Integrando esta ecuación con la condición que para t=T el número de átomos esta dado por la Ec.(7.21) se obtiene
( ) ' ( ) ( ) 0 ' ( ') t T t T t N t = N T e −^ λ −^ = σ n e −λ ∫ dt I t e λ (7.23)
En el caso b) el isótopo se produce en forma acumulativa, es decir tanto por consecuencia directa de la irradiación como por el decaimiento de un padre también producido en la radiación. Supongamos que el padre p es producido durante la irradiación con sección eficaz σ p , y decae con constante de decaimiento λ p y constante de decaimiento relativa fp a un nucleido hijo h , que durante la irradiación es producido con sección eficaz σ h y decae con constante de decaimiento λ h. Entonces, para t < T el siguiente sistema de ecuaciones debe verificarse
Dado que para el padre se aplican las ecuaciones del caso a) , tenemos que para t > T
( ) ' 0 ( ) ( ) p^ p^ ' ( ') p t T t T t N (^) p t N (^) p T e (^) pn e dt I t e = −^ λ −^ = σ −λ λ ∫ (7.31)
De las Ec.(7.30) y (7.31) se obtiene finalmente que para t >T el número de núcleos hijos N (^) h varía según
( ) (^ )
' '^ ' 0 0
h^ p
h h p^ p
t T p^ p t^ T h p p h
p p (^) t T^ t p p t T t h p p p h p h
f N t N T e N T e
f f n e dt I t e n e dt I t e
λ^ λ
λ λ λ λ
λ λ λ
λ λ σ σ σ λ λ λ λ
− − −^ −
− −
⎝ −^ ⎠ ∫^ − ∫
En el caso bastante habitual en que λ p >> λ h , para tiempos grandes el segundo termino de estas ecuaciones es despreciable, es decir que la actividad del hijo tiene un simple decaimiento exponencial y la sección eficaz efectiva es σ = σ (^) h + fp σ p.
Finalmente podemos agregar que el análisis efectuado para el caso b) puede generalizarse para la situación en que haya varios precursores.
7.6 Unidades de radioactividad.
Tradicionalmente la unidad para medir la actividad de una muestra de material radioactivo ha sido el Curie (Ci) , que equivale a 3.7 × 10 10 desintegraciones por segundo. Una actividad de 1 Ci es aproximadamente la correspondiente a 1 g de Ra^226 , o sea a una fuente cuya actividad es muy peligrosa. La mayoría de las fuentes utilizadas en el laboratorio tienen una actividad del orden de los mCi o μ Ci. En parte por ese motivo, en el SI se adoptó como unidad de actividad el Becquerel (Bq) que corresponde a una desintegración por segundo, es decir
1 Ci = 3.7 × 10 10 Bq (7.33)
El número de decaimientos por unidad de tiempo no es suficiente para caracterizar completamente una fuente radiactiva ya que en muchas aplicaciones lo que importa no es la actividad sino la cantidad de energía que una fuente puede proveer a la materia que la circunda. Esto depende no solo de la actividad sino del tipo de radiación y su energía. En el caso de la radiación electromagnética ( γ o X) la exposición se define como la carga total de los iones positivos producidos por la radiación en una masa de aire que ocupa un volumen de 1 cm^3 , a 0° C y 760 mm Hg de presión. La unidad de exposición es el Roentgen (R) , que es la carga de una esu (unidad electrostática de carga) por cm^3 de aire a 0° C y 760 mm Hg de presión. Como 1 esu = 0.333 C y 1 cm^3 de aire a 0° C y 760 mm Hg de presión tiene una masa de 1.293 g se obtiene que
4 3
esu C R cm aire kg
= = × − (7.34)
El número de iones producido puede obtenerse a partir del valor anterior dividiendo por la carga elemental, es decir
1 1.61 1015 pares de iones de aire
R
kg
= × (7.35)
Por otro lado, dado que producir un ión se requiere en promedio 34 eV , 1 R corresponde a una pérdida de
energía, en aire, de 5.47 × 10 16 eV / kg o 87.6 erg / g. En general para materiales distintos del aire la tasa de absorción de energía cuando se los expone a una radiación ionizante, es diferente. Se define entonces la dosis absorbida D de un material como la cantidad de energía depositada por la radiación por unidad de masa del material. Tradicionalmente la unidad de dosis absorbida ha sido el rad definido que corresponde a una dosis de 100 erg / g. La unidad correspondiente en el SI es el Gray (Gy) que equivale a una energía depositada de 1 Joule por Kg del material. Por lo tanto, 1 Gy = 100 rad. Para definir estándares de protección radiológica de los seres vivos es necesario poder cuantificar el efecto biológico de los distintos tipos de radiaciones ionizantes que, en general, son diferentes. Por ejemplo, los rayos α pierden energía rápidamente y por lo tanto depositan prácticamente toda su energía en un intervalo de distancia muy corto. En consecuencia producen mucho mayor daño que un rayo γ o β, para los cuales la perdida de energía se produce mucho mas gradualmente. Para cuantificar estas diferencias se define la efectividad biológica relativa (RBE) como el cociente de la dosis de una cierta radiación respecto de la dosis de rayos X que produce el mismo efecto biológico. Como la RBE es difícil de medir, en general se trabaja con el factor de ponderación de la radiación (w (^) R ) que se calcula para un dado tipo de radiación a una dada energía de acuerdo a la energía depositada por unidad de distancia. Así, radiaciones que depositan poca energía por unidad de longitud tienen w (^) R cercanos a la unidad mientras que aquellas que depositan mucha energía por unidad de longitud pueden llegar a tener w (^) R del orden de
- Los valores de w (^) R para distintos tipos de radiaciones y energías se indican en la Tabla 7.7.
Radiación w (^) R Rayos X y γ (todas las energías) 1 E y muones (todas las energías) 1 neutrones < 10 KeV 5 neutrones < 10 – 100 KeV 10 neutrones > 100 KeV hasta 2 MeV 20 neutrones > 2 – 20 MeV 10 neutrones > 20 MeV 5 protones > 2 MeV 5 α, fragmentos de fisión y núcleos pesados 20
Tabla 7.7: Factores de ponderación de la radiación wR para distintos tipos de radiación y energía.
Es evidente que el decaimiento α solo puede producirse si está energéticamente permitido, es decir si se verifica que Q α satisface
2 (^ ,^ )^ (^ 4,^ 2)^0
Q
M A Z M A Z M
c
α = − − − − (^) α> (7.37)
Sin embargo, a pesar de que ya partir de A ~ 140 se cumple que Q α > 0 , por mucho tiempo el emisor α más liviano conocido fue el Po^210. Según veremos a continuación este hecho se puede explicar notando que para poder ser emitida la partícula α debe atravesar una barrera de potencial, lo cual también explica la existencia de un enorme rango de valores para las vidas medias asociadas a los decaimientos α. En efecto, ya en la década de 1910 Geiger y Nuttall notaron que había una correlación entre la vida media y la energía de la partícula α emitida. Ellos encontraron que, con buena precisión, se cumple la siguiente relación
ln T 1/ 2 ≅ A − B ln E α (7.38)
donde A y B son dos constantes. Para explicar esta relación empírica alrededor de 1928 y en forma casi simultanea, Gamow por un lado y Condon y Gurney por otro desarrollaron la llamada teoría del efecto túnel por la cual para ser emitida la partícula α debe atravesar por efecto túnel la barrera coulombiana generada por el resto del núcleo. Esta teoría constituye la primera aplicación exitosa de la mecánica cuántica al estudio del núcleo atómico. La idea básica es que la constante de decaimiento λ esta dada por
λ = κ P (7.39)
donde κ es la frecuencia con que la partícula α se forma dentro del núcleo y llega a la superficie del mismo y P corresponde a la probabilidad de penetración de la barrera. Es decir, una vez formada la partícula α tiene una probabilidad P de salir del núcleo. La cantidad κ es difícil de calcular ya que depende de los estados nucleares. Una estimación de su valor es κ ≈ v 0 (^) /(2 R ), donde v 0 es la velocidad de
la partícula α dentro del núcleo y R es el radio nuclear. Por otro lado como veremos a continuación la probabilidad P puede estimarse usando la aproximación semiclásica WKB. Esquemáticamente la situación es la que se representa en la Fig.7.
Fig.7.5: Potencial efectivo esquemático para el decaimiento de una partícula α
Es decir que si suponemos que se trata de un problema en una dimensión y utilizamos la aproximación WKB la probabilidad de penetración de la barrera es
2
exp 2 ( ) G^ b R
M
P e −^ α dr V r E α
= ∫ (7.40)
donde G es el llamado factor de Gamow. Si la barrera es debida puramente al potencial coulombiano
2
0
h c
e Z Z V r r
α π ε
donde Z α = 2 y Zh es la carga del núcleo hijo. Si suponemos que el potencial nuclear se puede aproximar por un pozo cuadrado de radio R , la integral en Ec.(7.40) puede hacerse en forma exacta. En este caso se obtiene
2 2 0
G (^) exp 2 h arccos 1 M Z e b (^) R R R P e b b b
α πε
≅ −^ = ⎛⎜^ − ⎡⎢^ ⎛^ ⎞^ − ⎛^ − ⎞⎤⎥⎞⎟
⎜ ⎜⎜^ ⎟⎟^ ⎜^ ⎟ ⎟
⎝ =^ ⎢⎣^ ⎝^ ⎠ ⎝^ ⎠⎥⎦⎠
donde
2 (^20)
b e Z^ h π ε E α
Si tal como ocurre para la gran mayoría de los emisores naturales de partículas α, la altura de la barrera es mucho más grande que E α , resulta que b >> R por lo que
arccos 1 2 2
R R R R
b b b b
⎛ ⎞ (^) ⎛ ⎞ π ⎜⎜ ⎟⎟ −^ ⎜ −^ ⎟≈^ − ⎝ ⎠ ⎝^ ⎠
y en consecuencia
2 2 2 0 0
exp 8 4
P Z e^ h^ M Z e Rh v
α ε α πε
⎝ =^ =^ ⎠
donde v α es la velocidad asintótica de la partícula α. Teniendo en cuenta que la gran mayoría de los emisores α tienen cargas en el rango 82 ≤ Z ≤ 92, es posible aproximar el segundo término en la exponencial de la Ec.(7.45) por una constante ya que en el rango de interés sólo varía en un 6%. Por lo tanto
En un principio se creyó que el compañero del electrón podía ser un rayo γ. De hecho, en algunos casos, dichos rayos γ existen. Sin embargo, dado que el correspondiente espectro es discreto la presencia de estos rayos no brinda una explicación el espectro continuo de los electrones. También se pensó en distintos mecanismos de pérdida de energía del electrón una vez emitido. Sin embargo, ninguno de estos mecanismos fue capaz de explicar el espectro observado. A partir del descubrimiento del espín del electrón quedó claro que el decaimiento mediante la sola emisión de un electrón viola la conservación del impulso angular. Finalmente, en 1931 el problema fue resuelto por medio de una sugerencia hecha por W. Pauli, quien propuso que junto con el electrón debía emitirse una partícula cuya interacción con la materia fuera muy pequeña y que tuviera spin ½ y una masa de aproximadamente nula. Dicha partícula recibió el nombre de neutrino y debieron pasar 25 años para que fuera encontrada experimentalmente mediante experimentos con reactores nucleares. Poco después, en 1934, E. Fermi propuso la primera teoría exitosa del decaimiento β basada en la existencia del neutrino. Con el tiempo se descubrió que existen 3 clases de neutrinos, con sus correspondientes antineutrinos. El que se emite junto con el electrón es el antineutrino
de electrón , ν (^) e. Por lo tanto, un decaimiento β
en el que el núcleo hijo se forma en el estado
fundamental se puede indicar como
( A Z , ) → ( A Z , + 1) + e −+ ν e (7.49)
A un nivel más fundamental lo que ocurre es el decaimiento β
del neutrón, es decir
n p e ν e → + −+ (7.50)
Este decaimiento también ocurre para neutrones libres y tiene una vida media de 887 s. A un nivel aún más fundamental este proceso ocurre debido al decaimiento del quark d en un quark u más un electrón
Fig.7.6: Espectro de energías de los electrones emitidos en el decaimiento β del Bi^210.
más un ν (^) e. La existencia de este tipo de proceso requiere de la introducción de un nuevo tipo de
interacción fundamental, la llamada interacción débil , ya que no puede ser descrito por ninguna de las interacciones estudiadas hasta aquí, es decir la interacción fuerte, electromagnética o gravitatoria.
En algunos decaimientos β
, además de los electrones que forman el espectro continuo, se observan electrones con energías discretas. Esto ocurre cuando el núcleo hijo se forma en un estado excitado que, en lugar de decaer emitiendo rayos γ, transfiere toda su energía a un electrón del átomo, siendo éste emitido con una energía discreta igual a la diferencia entre la energía de excitación del hijo y la suma de la energía de ligadura del electrón y la de retroceso del átomo. En general, las energías observadas corresponden a la emisión de electrones que ocupaban el orbital K del átomo, aunque también hay casos que corresponden a electrones del orbital L. Estos electrones se denominan electrones de conversión y hay que tener en cuenta que el origen de los mismos es atómico y que, por lo tanto, no deben ser confundidos con los que provienen directamente del decaimiento β -. Un ejemplo de esta situación corresponde al decaimiento beta del Cs 137 cuyo espectro de electrones se indica en la Fig. 7.7.
Por supuesto, también puede ocurrir que el estado excitado del núcleo hijo decaiga emitiendo rayos γ. El correspondiente esquema completo de decaimientos se indica en la Fig.7.
Fig.7.8: Esquema completo de los posibles decaimientos β - del Cs^137.
Fig.7.7: Espectro de decaimientos β - del Cs 137. Existen dos modos de decaimiento. El primero tiene energía del punto final E (^) PF =0. MeV y el segundo EPF =1.176. Electrones de conversión correspondientes a las capas atómicas K y L pueden ser emitidos luego del primero de los decaimientos.
