Decaimiento radioactivo, Apuntes de Cálculo diferencial y integral

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b Py VW Ty Ty TEMA : DECAIMIENTO RADIOACTIVO Una sustancia radiactiva decae emitiendo radiación de manera espontánea. vamos a llamar m(t) - masa que queda a partir de una masa ivicial despues de tiempo t t - tiempo my - masa inicial Se ha encontrado de manera experimental que la rapidez de decaimiento relativa es constante 1 dm . o . - — —— - rapidez de decaimiento relativa m dt _L dm m dt dm =k - una constante ecuación diferencial separable =-k dt se resuelven intagrando ambas partes po fra m In(m) =-kt + c, donde c es otra constante distinta de k Para despejar elevamos e en la potencia que está en cada lado de la ecuación nm) _ +c_ ¿A op e =e =e “e =Cge mít) =C e * Conociendo que en tiempo t=0 la masa eram(0) =m, - masa inicial m(t=0) =C,e *%=C,=m m(t) =mpe * EJEMPLO 2 El tiempo de vida media del radio-226 es 1590 años. (a) Una muestra de radio-226 tiene una masa de 100 mg. Hallar una formula para la ma- sa de la muestra que permanece después de 7 años. (b) Hallar la masa después de 100 años exacto a lo más cercano de los miligramos. (c) ¿Cuándo se ha reducido la masa a 30 mg? Los fisicos expresan la relación de decaimiento en términos del tiempo de vida media, el tiempo que se requiere para que la mitad de cualquier cantidad conocida se desintegre. > =e- vamos a despejar T— tiempo de vida media = = Ms 5 - SACAMOS LN DE AMBOS PARTES o In(e”*7) xr =In( >) =In(1) —In(2) =-In(2) -kT=-Im(2) Si se conoce k se puede despejar T T= mM) _ tiempo de vida media