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1. Transformada Delta
- Transformada Delta_______________________________________________
- 1.1. Discretización ______________________________________________________
- 1.2. Operador Desplazamiento ____________________________________________
- 1.3. Transformada Z ____________________________________________________
- 1.4. Transformada Delta _________________________________________________
- 1.4.1. Definición de la transformación. ___________________________________________
- 1.4.2. Función de Transferencia Delta ____________________________________________
- 1.4.3. Estabilidad ____________________________________________________________
- 1.5. Resumen de Características __________________________________________
- 1.6. Diseño de Reguladores _______________________________________________
- 1.7. Variables de Estado _________________________________________________
- 1.8. Implementación de un Filtro Digital en Delta ___________________________
- 1.9. Identificación _____________________________________________________
1.1. Discretización
función continua f t ( )
discretización
k
f f kT [ 1. 1 ]
Ejemplo
( ) 3cos(2 ) cos 20
f t t t
[ 1. 2 ]
T 0,1 seg [ 1. 3 ]
( ) 3cos(0, 2 ) cos 2
3cos(0, 2 ) 0,
f kT k k
k
[ 1. 4 ]
regla de selección
T [ 1. 5 ]
Regulador PI
1 1 1
k p k i k
k p k i k
u k e k s
u k e k s
[ 1. 6 ]
1 1
1 1
k k p k k i k
k k p i k p k
u u k e e k e
u u k k e k e
[ 1. 7 ]
1.2. Operador Desplazamiento
k k 1
n
k k n
qf f
q f f
[ 1. 8 ]
1.3. Transformada Z
Transformadas de Laplace transforma una ecuación diferencial en una ecuación
algebraica
Transformadas en Z transforma una ecuación en diferencias en una ecuación
algebraica
1.4. Transformada Delta
Modelo en ecuación diferencial lineal
1 1
1 0 1 0
n n m n
n m m
y t a y t a y t b u t b u t b u t
[ 1. 17 ]
Modelo en ecuación en diferencias lineal
1
1 1 0 1 1 0
n n
k n k k n m k m k k m
q y a q y a y b u b u b u
[ 1. 18 ]
los coeficientes no son los mismos
sería interesante conseguir una transformación discreta que estructuralmente
mantenga similitud con el sistema continuo
Se define el operador delta como
f k T f kT
f kT
T
[ 1. 19 ]
para períodos de muestreo pequeños, se cumple
0
lim ( ) ( )
T
f kT f t
[ 1. 20 ]
es decir, coincide el operador con la derivada, cosa que no ocurre con Z
Ejemplo 4. Regulador PI
k k 1 p k k 1 i k
u u k e e k e
[ 1. 21 ]
dividiendo por T
k k 1 k k 1 i
p k
u u e e k
k e
T T T
[ 1. 22 ]
resultando
i
k p k k
k
u k e e
T
[ 1. 23 ]
1.4.1. Definición de la transformación.
la transformada de Laplace de un sistema continuo es
0
st
L y t e y t dt
[ 1. 24 ]
y su versión discreta
0
skT
d
k
Y s e y kT T
[ 1. 25 ]
haciendo el cambio de variables
sT
sT
e T
e
T
[ 1. 26 ]
se define la Transformada delta
0
k
k
y kT Y T y kT T
[ 1. 27 ]
1
1
k
Y y kT T Y d
j
[ 1. 28 ]
se observa que
0
lim ( ) ( )
d s
T
Y Y s
[ 1. 29 ]
la relación con la transformada en Z es
1
1
q
z T
q
z
T
Y TY z
Y z Y
T
[ 1. 30 ]
k
f
k
f
k
f
1
i
l
i k
i
a f
1
i
l
i
i
a F z
1
i
l
i
i
a F
k 1
f
zF z ( ) f (1)
T 1 F ( ) f (0)
T
T
Y
e
T
[ 1. 33 ]
cuando T 0 ,
Y ( )
que es la transformada de Laplace de
t
e
Ejemplo 6. Sistema de Segundo Orden
sea
2
G s
s s
[ 1. 34 ]
en la tabla siguiente se muestra la función transferencia delta y zeta para diferentes
muestreos
T Z
2
2
z
z z
2
2
z
z z
2
2
z
z z
2
2
z
z z
Es una transformación muy adecuada para períodos de muestreo pequeños.
1.4.2. Función de Transferencia Delta
una función de transferencia delta tiene la misma forma que en z o s.
0
A ( ) Y ( ) B ( ) U ( ) f ( , x )
[ 1. 35 ]
1
1 0
1
1 0
n n
n
m m
m m
A a a
B b b b
[ 1. 36 ]
0
0
B f x
Y U
A A
f x
G U
A
[ 1. 37 ]
1.4.3. Estabilidad
La relación entre y z es
z T 1 [ 1. 38 ]
la zona de estabilidad en z es un círculo de radio 1 con centro en el origen por lo
tanto en será un círculo de radio
T
centrado en
T
. Cuando T 0
, la zona de
convergencia tiende a ser el semiplano negativo como en s.
Ejemplo 7. Estabilidad
dada la FTD
G
[ 1. 39 ]
su transformada en z será
T z T
G z
z z T
[ 1. 40 ]
1.5. Resumen de Características
- la transformada delta mantiene la estructura del sistema continuo
- coinciden cuando el período de muestreo es pequeño
- numéricamente más apropiada para trabajar con períodos de muestreo pequeño
1.6. Diseño de Reguladores
Ejemplo 8. Modelo de la Planta
2
G s
s
[ 1. 41 ]
0
0
lim
lim 0
q
T
q
T
A I
B
[ 1. 50 ]
en delta resulta
x A x B u
y Cx
[ 1. 51 ]
con
2 2
2 2
AT
q
q
A I
e I AT A T
A A I
T T
B
AT A T
B B I
T
[ 1. 52 ]
cuando T 0 se obtiene
0
0
lim
lim
T
T
A A
B B
[ 1. 53 ]
1.8. Implementación de un Filtro Digital en Delta
Un filtro digital se obtiene con una ecuación del tipo
1
1 0
1
1 0
n n
n n
n n
n
b z b z b
H z
z a z a
[ 1. 54 ]
su equivalente en delta es
1
1 0
1
1 0
n n
n n
n n
n
b b b
H z
a a
[ 1. 55 ]
la relación de coeficientes es
1 1
2 2 1 2
0 0 1
n n
n n n
n n n n
n n
b b
n n
b b b
T
n n n
b b b b
T
n
b b b b
T n
[ 1. 56 ]
1 1
0 0 1
n n
n
n n
a a
T
n
a d a
n T
[ 1. 57 ]
La estructura es igual solo que hace falta definir un operador
1
equivalente a un
integrador. Para ello se recurre a la definición del operador
k 1 k k
s e T s
[ 1. 58 ]
1.9. Identificación
1
1 0
1
1 0
n n
n n
n n
n
B z b z b z b
G z
A z z a z a
[ 1. 59 ]
T
y A z y B z u [ 1. 60 ]
1
1
T n m
T
n m
q y q u
a b
[ 1. 61 ]
idéntica forma en Delta y para ambos la solución es
1
N
z q q
M y
N
[ 1. 62 ]
con
1
N
T
q q q
M
N
[ 1. 63 ]
cuando T 0 ,
q
M tiende a ser singular
Ejemplo 9. Identificación de sistema de segundo orden
2
1 0
s y a sy a y u [ 1. 64 ]
discretizado,
2
1 0 1 0
q y a qy a y b qu b u [ 1. 65 ]
se puede demostrar que para muestreos muy rápidos los
i
b convergen a
2
T
por lo
que se puede decir que los coeficientes del denominador son conocidos. En este caso se
puede reducir la identificación a solo el denominador y el vector de muestras resulta
