¡Descarga Delta de Dirac: Función Impulsiva en Física y más Apuntes en PDF de Volumen solo en Docsity!
Delta de Dirac
Brev´ısima y sesgada introducci´on para F´ısica 3
Ariel Chernomoretz
October 18, 2017
1 Desde la electrost´atica
Consideremos una densidad de carga ρ(~r) localizada. Entonces vale que:
Q =
V
ρ(~r)dV
Ahora imaginense que queremos utilizar esta f´ormula tambien para el caso en que tengamos una ´unica part´ıcula. C´omo escribimos la ’densidad’ de carga asociada a una part´ıcula puntual de carga q ubicada en la posici´on ~r 0? En principio necesitariamos que la funci´on ρ(~r) satisfaga las siguientes propiedades:
ρ(~r) = 0 ∀~r 6 = ~r 0 (1) Q =
V
ρ(~r)dV si ~r 0 ∈ V (2)
Para escribir una expresi´on que permita cumplir las dos ´ultimas condiciones empleare- mos una funci´on, la delta de Dirac δ(~x), de manera que
ρ(~r) = qδ(~r − ~r 0 ) (3) Ahora, δ(~x) debe ser tal que, cuando el volumen de integraci´on incluya al punto ~r 0 , valga que
Q =
V
ρ(~r)dV =
V
qδ(~r − ~r 0 )dV = q
V
1 δ(~r − ~r 0 )dV ︸ ︷︷ ︸ 1
= q (4)
Cuando el dominio de integraci´on incluye un punto en el cual el argumento de la δ se anula (en este caso ~ro), la integral resulta igual al valor de la funci´on que aparece como factor de la δ, evaluada en dicho punto (en este caso dicha funci´on es la func´on constante 1). Generalizando esto ´ultimo, vamos a considerarcomo definici´on, que la funci´on δ cumple que
∫
V
f (~r)δ(~r − ~r 0 )dV =
f (~r 0 ) si ~r 0 ∈ V 0 sino
1.1 Caso 1D
La funci´on δ no es formalmente una funci´on, sino que puede ser descripta como una secuencia de funciones que tienen un l´ımite definido cuando se las integra. Existen varias maneras de generar estas secuencias, de manera de cumplir con la propiedad explicitada en (5). En todos los casos la representaci´on de la δ involucra una secuencia de funciones que tienden a una forma de ancho infinitesimal, pero de ´area unidad. Por ejemplo, en 1 dimensi´on:
- Representaci´on tipo funci´on escal´on:
δ(x − a) =
2 a^ −^ < x < a^ +^ 0 sino
- Representaci´on tipo Gaussiana:
δ(x − a) = 1
x e−^
(x−a)^2 ^2
En ambos casos se tiene que ∫ (^) +∞ −∞
dxf (x)δ(x − a) =
−∞
dxf (x − a)δ(x)
=
−∞
dx[f (a) + xf ′(a) + ...]δ(x)
donde asumimos que f (x) es una funci´on bien comportada en el sentido que todas las integrales convergen para todo valor de .
